高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积精品当堂达标检测题

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2.某几何体的直观图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.36+12π
B.40+12π
C.36+16π
D.40+16π
3.用一个平面去截体积为323π的球,所得截面圆的面积为3π,则球心到截面的距离是( )
A.12 B.3 C.1 D.2
4.(多选题)已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则下列说法正确的是( )
A.圆锥的高是2 B.圆锥的母线长是4
C.圆锥的表面积是16π D.圆锥的体积是833π
5.已知圆锥的轴截面是斜边长为2r的等腰直角三角形,若圆锥的侧面积为2π,则轴截面的面积为 .
6.已知扇环的内弧长为2π,外弧长为4π,扇环的宽为3,若将该扇环卷成圆台,则该圆台的高为 .
二、巩固提高
7.如图,一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水,若放入一个半径为r的实心铁球,水面高度恰好升高r,则Rr= .
8.若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面半径分别为4和5,则该圆台的体积为 .
9.现有一个倒置的圆锥形容器,其轴截面为等边三角形,在其内放置两个球,两个球均与圆锥形容器的侧面相切,且两个球也相切,则小球的体积与大球的体积之比为 .
10.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=π2,∠ADC=3π4,AB=5,CD=22,AD=1,求以边AD所在直线为轴旋转一周所得几何体的体积.
11.在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形,E恰好是梯形的下底边的中点,将所得平面图形绕直线DE旋转一圈.
(1)请说明所得几何体的结构特征;
(2)求所得几何体的表面积和体积.
三、尖子突破
12．若一个正三棱柱存在外接球与内切球,则它的外接球与内切球的体积之比为( )
A.33∶1 B.5∶1 C.55∶1 D.6∶1
13.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在球O的球面上,且AB=AC=1,BC=3.若球O的体积为2053π,则这个直三棱柱的体积等于( )
A.2B.3C.2D.5
2024—2025学年下学期高一数学分层作业（28）
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
参考答案
1.B [解析] 设圆柱的母线长为l,底面半径为r,则由题意得l=2r,2πrl=4π,解得r=1,l=2,∴V圆柱=πr2l=2π.
2.B [解析] 由题意可知几何体的表面积为4×(2+2+2+2)+2×2×2+4π+12×4π×4=40+12π.故选B.
3.C [解析] 设球的半径为R,截面圆的半径为r,∵球的体积为323π,∴43πR3=323π,解得R=2.∵截面圆的面积为3π,∴πr2=3π,∴r=3,∴球心到截面的距离d=R2-r2=4-3=1.故选C.
4.BD [解析] 设圆锥的母线长为l,∵圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,∴πl=2π×2,解得l=4,∴圆锥的高为42-22=23,故A错误,B正确;圆锥的表面积S=π×422+π×22=12π,故C错误;圆锥的体积V=13×π×22×23=833π,故D正确.故选BD.
5.1 [解析] 因为圆锥的轴截面是斜边长为2r的等腰直角三角形,所以圆锥的母线长为2r,底面直径为2r,则此圆锥的侧面积为πr·2r=2π,可得r=1,所以轴截面的面积为12×(2r)2=1.
6.22 [解析] 设圆台的上、下底面的半径分别为r,R,则2πr=2π,2πR=4π,所以r=1,R=2.设圆台的高为h,根据题意知圆台的母线长为3,所以h=9-1=22,即该圆台的高为22.
7.233 [解析] 由题可知,43πr3=πR2r,化简可得Rr=233.
8.61π [解析] 设圆台的上底面半径为r,下底面半径为R,则R=5,r=4.由题意可知,圆台的下底面为球的大圆,所以圆台的高h=R2-r2=3,所以其体积V=13πh(R2+r2+Rr)=13π×3×(52+42+5×4)=61π.
9.1∶27 [解析] 根据题意作出轴截面,并作辅助线如图所示.易知∠CAO=30°,∠OCA=∠O1BA=90°,
设大球O和小球 O1 的半径分别为R,r,即OC=R,O1B=r,则OA=2R,O1A=2r,
又因为OA=O1A+OO1=2r+R+r=2R,所以R=3r.
设小球的体积为V1,大球的体积为V2,
则V1∶V2=4πr33∶4πR33=1∶27.
10.解:以边AD所在直线为轴旋转一周所得几何体为一个圆台中间挖去一个圆锥.
设圆台的上底面圆心为E,因为∠DAB=π2,∠ADC=3π4,AB=5,CD=22,AD=1,
所以CE=DE=22CD=2,得AE=3,所以该几何体的体积V=V圆台-V圆锥=13×(25π+25π×4π+4π)×3-13×π×22×2=13×39π×3-13×8π=109π3.
11.解:(1)根据题意知,所得几何体是上部是一个圆锥,下部是一个圆柱挖去一个半径等于圆柱的高(也等于圆柱的底面半径)的半球的组合体.
(2)该几何体的表面积为S圆锥侧+S圆柱侧+S半球=π×2×22+2π×2×2+12×4π×22=(42+16)π,
该几何体的体积为V圆锥+V圆柱-V半球=13×π×22×2+π×22×2-12×43×π×23=163π.
【选做】
12．C [解析]设正三棱柱底面正三角形的边长为a,则正三棱柱的内切球半径等于底面正三角形的内切圆半径,则内切球的半径r=36a,所以正三棱柱的高h=2r=33a.设底面正三角形的外接圆半径为r1,易得r1=33a,所以正三棱柱外接球的半径R=ℎ22+r1=36a2+33a2=156a.故正三棱柱的外接球与内切球的体积之比为43π×156a3∶43π×36a3=55∶1.故选C.
13.B [解析] 设球O的半径为R,∵球O的体积为2053π,∴4πR33=2053π,解得R=5.∵AB=AC=1,BC=3,∴cs∠CAB=AC2+AB2-BC22AC·AB=12+12-(3)22×1×1=-12,∴∠CAB=2π3,∴S△ABC=12×12×sin2π3=34,△ABC外接圆的半径r满足2r=BCsin∠CAB=3sin2π3=2,解得r=1.设球心O到底面的距离为h,则h=R2-r2=2,∴这个直三棱柱的体积V=2h·S△ABC=2×2×34=3.故选B.