高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积当堂检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积当堂检测题，共26页。

【必做题】
一．选择题
1．（2022秋•绥化月考）已知圆锥的母线长为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥外接球的表面积为
A．B．24C．D．48
【答案】C
【解析】根据圆锥的母线长为，侧面展开图的圆心角为，设圆锥的底面半径为，
所以圆锥的底面周长为满足，解得；
设圆锥的外接球的半径为，
如图所示：
故圆锥的高为；
设外接球的半径为，
所以，
解得；
所以．
故选C．
2．（2022秋•朝阳区月考）一个正方体内接于表面积为的球，则正方体的表面积等于
A．B．8C．D．
【答案】B
【解析】设球的半径为，则，解得，
所以正方体的对角线长为2，所以正方体的棱长为，
所以正方体的表面积为．
故选B．
3．（2022秋•城北区月考）点，，，均在同一球面上，且，，两两垂直，且，，，则该球的表面积为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，
它也外接于球，对角线的长为球的直径，，
它的外接球半径是，
外接球的表面积是
故选B．
4．（2022秋•浙江月考）直三棱柱的各个顶点都在同一球面上，若，，，则此球的表面积为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，三角形的外心是，外接圆半径，
在中，，，
可得，
由正弦定理，，
可得外接圆半径，
设球心为，连接，，，，
在中，求得球半径，
此球的表面积为．
故选B．
5．（2022秋•浙江月考）已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2且面积为的扇形，则这个圆锥的底面半径为
A．B．C．1D．2
【答案】B
【解析】不妨设圆锥侧面展开图的面积为，半径为，弧长为，
则圆锥的母线为，底面圆周长为，底面半径为，
则，即，得，
故，
故由得，得．
故选B．
6．（2022秋•湖北月考）已知某圆台的体积为，其上底面和下底面的面积分别为，，且该圆台两个底面的圆周都在球的球面上，则球的表面积为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设该圆台的高为，则，解得．
由题意得：上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，
设球心到下底面的距离为，即，则，
由勾股定理得：，
即，解得，
则球的半径，故球的表面积为．
故选D．
7．（2022秋•湛江月考）已知球的半径为2，圆锥内接于球，则圆锥体积的最大值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，由球及其内接圆锥的性质知，球心在其内接圆锥的高所在直线上，
圆锥体积最大时，球心在其内接圆锥的高上，设球心到圆锥底面的距离为，
由球的截面小圆性质得：圆锥底面圆半径，则圆锥的高，
于是得圆锥的体积，，
当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，即圆锥体积的最大值为．
故选C．
二．多选题
8．（2022秋•长沙月考）已知某圆锥的母线长为1，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有
A．圆锥的体积为
B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形
D．圆锥的内切球表面积为
【答案】ABC
【解析】如图1为圆锥的轴截面，圆锥母线，且．则，
所以底面半径，圆锥的高．
对于项，圆锥的体积，故正确；
对于项，圆锥的表面积，故正确；
对于项，圆锥的侧面展开图的半径，弧长为，则圆心角，故正确；
对于项，如图2，作出圆锥及其内切球的轴截面，设圆锥的内切球半径为，
易知，圆锥内切球的半径即等于内切圆的半径，
又，
所以，所以．
圆锥的内切球表面积，故错误．
故选ABC．
9．（2022秋•潍坊月考）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体，如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是
A．该截角四面体的内切球体积
B．该截角四面体的体积为
C．该截角四面体的外接球表面积为
D．外接圆的面积为
【答案】BD
【解析】题中截角四面体由4个边长为的正三角形，4个边长为的正六边形构成，
棱长为的正四面体的高，
该截角四面体的内切球的半径为：，
故该截角四面体的内切球体积：，故选项不正确；
因为棱长为的正四面体的高，
所以，故选项正确；
因为截角四面体上下底面距离为，
所以，
所以，
所以，
故，故选项不正确；
中，，，，，
，
所以是直角三角形，外接圆的面积为：，
故选项正确．
故选BD．
10．（2022秋•浙江月考）如图，已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，其顶点都在同一球面上，且该球的表面积为，则侧棱长为
A．B．2C．D．
【答案】AD
【解析】球的表面积为，设球的半径为，
，解得，
在正四棱台中，，，
则，，
连接、相交于点，、相交于点，连接，如图所示：
图①图②
作出截面，设外接球的球心为，若在截面内，如图①所示：
，，
，
；
若在截面外，如图②所示：
，，
，
，
综上所述，侧棱长为或，
故选AD．
11．（2022秋•深圳月考）已知圆柱的轴截面的周长为12，圆柱的体积为，圆柱的外接球的表面积为，则下列结论正确的是
A．圆柱的外接球的表面积有最大值，最大值为
B．圆柱的外接球的表面积有最小值，最小值为
C．圆柱的体积有最大值，最大值为
D．圆柱的体积有最小值，最小值为
【答案】BC
【解析】如图，设圆柱的底面半径为，高为，圆柱的外接球的半径为，
由，得，
又，，
圆柱的体积为，
则，
当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
所以时，取最大值，所以，
圆柱的外接球的表面积，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，取最小值，所以，
故选BC．
三．填空题
12．（2022秋•杨浦区月考）一个圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则这个圆柱的体积为 ．
【答案】
【解析】设圆柱的底面半径为，
因为圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，
则圆柱的高与底面周长相等，均为，
则，解得，
所以圆柱的体积为．
故答案为：．
13．（2022秋•南京月考）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球表面积为 ．
【答案】
【解析】因为，，由余弦定理得，
由题由正弦定理得外接圆直径为，得，
因为，，由勾股定理得
又因为，，由勾股定理得，
，平面，，
所以平面，
设球心到平面的距离为，所以，
所以三棱锥的外接球半径为，
则三棱锥的外接球表面积为．
故答案为：．
14．（2022秋•连江县期中）已知一个圆锥的底面半径为4，其侧面积，则圆锥的体积为 ．
【答案】
【解析】由圆锥侧面积，
解得母线，
圆锥的高，
圆锥的体积为．
故答案为：．
15．（2022秋•道里区期中）在圆锥的轴截面中，若两条母线的夹角为，且母线长为4，则此圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【解析】由题可得圆锥的底面圆的半径为，又母线长为4，
所以圆锥的侧面积为．
故答案为：．
16．（2022秋•儋州期中）已知圆锥的侧面展开图为半圆，其内切球的体积为，则该圆锥的高为 ．
【答案】3
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，其内切球的半径为，
由题意，得，
所以，
因为内切球的体积为，
所以，
因为圆锥内切球半径等于圆锥轴截面三角形的内切圆半径，且，
由三角形的面积公式得，
解得，
所以．
故答案为：3．
四．解答题
17．（2022秋•儋州期中）如图，正四棱锥底面正方形的边长为2，侧棱长为．
（1）求该正四棱锥的表面积；
（2）求该正四棱锥外接球的体积．
【答案】（1）正四棱锥底面正方形的边长为2，侧棱长为，
取中点，连接，则，
从而，
；
（2）连接，，设，连接，
在上取一点，使，
在△中，，
又在△中，，即，
解得，
从而．
18．（2022春•丰泽区期中）鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥是一鳖臑，其中，，，，且高，．
（1）求三棱锥的体积和表面积；
（2）求三棱锥外接球体积和内切球的半径．
【答案】（1）三棱锥是一鳖臑，其中，，，，且高，，
三棱锥的体积，
三棱锥的表面积，
（2）由条件知，可将三棱锥补成一个长方体，则三棱锥的四个顶点也为长方体的顶点，
因此长方体的外接球也为三棱锥的外接球，即为三棱锥外接球的直径，
因为，所以三棱锥外接球体积，
，
记内切球的球心为，连结，，，，得到四个等高的三棱锥，
且该高为内切球的半径，则，
得，
所以，
故三棱锥内切球的半径为．
19．（2022春•集贤县期中）圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱体积之比．
【答案】设球的半径为，则由题意可得圆柱的底面半径为和高为，
所以球与圆柱的体积之比为
．
20．（2022春•东莞市期中）一个圆台的母线长为，母线与轴的夹角是，两底面的半径之比是．
（1）求圆台的高；
（2）求截得此圆台的圆锥的母线长．
【答案】（1）过圆台的轴作截面，如图，截面为等腰梯形，
设，分别为，的中点，
连接，作于点，
由已知可得腰长，
在中，，所以，
所以圆台的高为；
（2）延长，交于点，
设截得此圆台的圆锥的母线长为，
则由，可得即，
，即截得此圆台的圆锥的母线长为．
【选做题】
一．选择题
1．（2022秋•海伦市期中）已知四面体的所有顶点在球的表面上，平面，，，，则球的体积为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，设底面的外接圆的圆心为，外接圆的半径为，
由正弦定理得，，
过作底面的垂线，与过的中点作侧面的垂线交于，
则就是外接球的球心，并且，
外接球的半径，
球的体积为；
故选D．
2．（2022秋•红塔区期中）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥底面的面积为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，
则圆锥的表面积为，
圆锥侧面积展开图是一个半圆，，
，
．
故选A．
3．（2022秋•七里河区期中）已知点是球内一点，过点作球的截面，其中最大截面圆的面积为，最小截面圆的面积为，则的值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据球的结构特征，过点作球的截面，
当截面过球心时，截面面积最大为，设球的半径为，
则，解得，
当截面与垂直时，截面面积最小，最小截面圆的面积为，
则截面的半径，
，
故选C．
4．（2022秋•云南期中）若一个长方体的长、宽、高分别为4，，2，且该长方体的每个顶点都在球的球面上，则球的表面积为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意知，长方体的体对角线为球的直径，
，
，
．
故选D．
5．（2022秋•邹城市期中）设半径为的球面上有，，，四点，且，，两两垂直，若，则球半径的最小值是
A．2B．C．D．4
【答案】A
【解析】设，，，，，两两垂直，，
，当且仅当等号成立，即．
故选A．
6．（2022秋•香坊区期中）在直三棱柱中，，，，，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】直三棱柱中，，，，
设直角三角形 的内切圆半径为，，解得，
由于，
所以该封闭的三棱柱内最大球的半径为，
该三棱柱内能放置的最大球的表面积为．
故选D．
7．（2022秋•雨湖区期中）如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，是的中点，，，则三棱锥外接球的表面积是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取中点，连接，，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
平面，，
，，为中点，
，，
，又，，平面，
平面，平面，，
，均为以为斜边的直角三角形，为斜边中点，
，为三棱锥的外接球球心，
三棱锥的外接球半径，
三棱锥的外接球表面积．
故选B．
8．（2022秋•秦淮区期中）2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场．歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部空间大约 立方米
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形可知，圆锥底面半径为1米，圆锥高为米，
根据圆锥体积公式得．
故选B．
二．多选题
9．（2022秋•香坊区期中）已知圆锥的底面半径，侧面积为，内切球的球心为，外接球的球心为，则下列说法正确的是
A．外接球的表面积为
B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
C．过点作平面截圆锥的截面面积的最大值为2
D．设母线中点为，从点沿圆锥表面到的最近路线长为
【答案】ABD
【解析】对选项，设母线长为，则，
，高，
设圆锥的外接球的球心为，半径为，如图所示：
则在中，由勾股定理得，
即，解得，外接球面积为，选项正确；
对选项，设圆锥的内切球球心为，半径为，垂直于交于点，如图所示：
则，
，解得，而，，选项正确；
对选项，设过点作平面截圆锥的截面等腰三角形的顶角为，
又易知当截面为轴截面时最大，
而由选项的分析可得，轴截面的等腰三角形的顶角为，
过点作平面截圆锥的截面面积的最大值为，选项错误；
对选项，沿母线，剪开，并将圆锥的半侧面展开如图，
易知，又弧长为，
，
所求最近路线长，选项正确．
故选ABD．
10．（2022秋•浙江期中）若圆锥的表面积为，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为
A．圆锥的母线长为2B．圆锥的底面半径为2
C．圆锥的体积为D．圆锥的侧面积为
【答案】AC
【解析】设圆锥的底面半径为，母线为，由于其侧面展开图是一个半圆，
则，解得，
又圆锥的表面积为，
表面积，解得，
故母线长，
圆锥的高，
侧面积，体积．
故选AC．
11．（2022春•顺德区期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球面面积相等
D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小
【答案】ABC
【解析】依题意球的表面积为，
圆柱的侧面积为，所以选项正确．
圆锥的侧面积为，所以选项正确．
圆锥的表面积为，
圆柱的表面积为，所以选项不正确．
故选ABC．
12．（2022春•六枝特区期中）已知一个圆柱底面半径为2，高为，则下列关于此圆柱描述正确的是
A．侧面展开图是一个正方形B．表面积是
C．体积是D．此圆柱有内切球
【答案】ABC
【解析】已知圆柱的底面半径，底面周长为，
又高，侧面展开图是一个正方形，故正确；
圆柱的表面积为，故正确；
圆柱的体积为，故正确；
由于底面直径为4，高为，而，则此圆柱没有内切球，故错误．
故选ABC．
三．填空题
13．（2021春•滨海新区期中）已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是
【答案】
【解析】圆锥的底面积为，
圆锥侧面展开图的弧长为，
所以圆锥侧面展开图的扇形半径为；
所以圆锥的侧面积为，
所以圆锥的表面积为．
故答案为：．
14．（2022秋•奉贤区期中）若三棱柱的底面是以为斜边的直角三角形，平面，，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】三棱锥的外接球即直三棱柱的外接球，
直角三角形的外心在斜边的中点，
所以外接球的半径，
所以外接球的表面积为．
故答案为：．
15．（2022秋•奉贤区期中）如图所示，扇形的半径为2，圆心角为，若扇形绕旋转一周，则图中阴影部分绕旋转一周所得几何体的体积为 ．
【答案】
【解析】图中阴影部分绕旋转一周所得几何体为一个半球“挖掉”一个圆锥，
其体积为：．
故答案为：．
16．（2022秋•李沧区期中）在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，点为的垂心，且平面，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图，连接并延长，交于点，与交于点，则，，
因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面，平面，
所以，
因为是正三角形，故为中点，
又，所以是等边三角形，，
易得，，
所以，
设外接球心为，则在上，半径为，
在中有，
解得，
故外接球表面积为．
故答案为：．
四．解答题
17．（2022春•开封期中）如图，一个圆锥的底面半径，高，在其内部有一个高为的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上）．
（1）求圆锥的侧面积；
（2）当为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．
【答案】（1）圆锥的母线长为，
圆锥的侧面积为；
（2）设圆柱的底面半径为，
如图可得，即，
得．
圆柱的侧面积．
是的二次函数，当时，取得最大值．
即当时，圆柱的侧面积最大，最大面积为．
18．（2022春•东莞市期中）一个圆台的母线长为，母线与轴的夹角是，两底面的半径之比是．
（1）求圆台的高；
（2）求截得此圆台的圆锥的母线长．
【答案】（1）过圆台的轴作截面，如图，截面为等腰梯形，
设，分别为，的中点，
连接，作于点，
由已知可得腰长，
在中，，所以，
所以圆台的高为；
（2）延长，交于点，
设截得此圆台的圆锥的母线长为，
则由，可得即，
，即截得此圆台的圆锥的母线长为．
19．（2022春•尖山区期中）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为．
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）求圆锥内半径最大的球的体积．
【答案】（1）设圆锥的高为，由于圆锥的底面半径为6，其体积为，
，解得，
则圆锥的母线长为，
圆锥的侧面积为；
（2）如图所示，
当球为圆锥的内切球时，球的半径最大，
由图象知，，解得，
圆锥内半径最大的球的体积为．
20．（2022春•运城期中）如图，中，，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与、分别相切于点，，与交于点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体．
（1）求该旋转体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积．
【答案】（1）连接，则，
设，，
在中，，
；
（2），，，，
旋转体的体积．