人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系获奖教案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系获奖教案设计，共15页。教案主要包含了类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，巩固练习4，设计意图等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第八章《立体几何初步》的第四节《空间点、直线、平面之间的位置关系》。以下是本节的课时安排：
上一节课我们认识了点、线、面的位置关系的符号表示及其三个基本事实和推论，本节通过对生活中的观察，认识几何体的基本元素之间相互依存的关系，从而引出对点、线、面的位置关系的研究.
1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系的语言转化，培养数学抽象的核心素养；
2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实，培养逻辑推理的核心素养；
3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系，提升直观想象的核心素养。
1.重点：能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系。
2.难点：三个基本事实的掌握与运用。
（一）新知导入
宁静的湖面、海面，生活中的课桌面、黑板面，一望无垠的草原给你什么样的感觉？
【问题】 (1)生活中的平面有大小之分吗？
(2)几何中的“平面”是怎样的？
【提示】 (1)有.
(2)从物体中抽象出来的，绝对平、无大小、厚度之分、无限延展的.

（二）平面
【探究1】在初中，我们已经对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象而来的，那么现在的平面又是怎么来的呢？有什么特点呢？
[提示]平面是从课桌面、黑板面，平静的水面等抽象出来的，类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的．
知识点一 平面
(1)平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的．
(2)平面的画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．
(3)平面的表示方法
我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD．
【思考1】几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
【提示】 没有.平行四边形.
【思考2】一个平面把空间分成了几部分？
【提示】 二部分.
知识点二 点、线、面之间的关系及符号表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面．
知识点三 三个基本事实及推论
【探究1】在日常生活中，我们经常看到这样一个场景：自行车用一个脚架和两个车轮就可以站稳，三脚架的三脚着地就可以支撑照相机，这是一种什么原理呢？
[提示]这实际上就是我们平常说的三角形的稳定性，其原理就是三点可以确定一个平面．
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
图形：
符号：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α
【探究2】直线l与平面α如果只有一个公共点P，那么直线在平面内吗？如果直线与平面有两个公共点，那么直线在平面内吗？
[提示]若一个公共点，直线不一定在平面内，两个公共点，则直线一定在平面内．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
图形：
符号：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α

【探究3】把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面只有一个公共点吗？
[提示]由于平面是无限延展的，所以不可能只有一个公共点，它们应该有一条公共直线．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
图形：
符号：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
三个推论：
【思考1】基本事实1有什么作用？
【提示】 ①确定平面的依据；②判定点线共面.
【思考2】基本事实2有什么作用？
【提示】①确定直线在平面内的依据；②判定点在平面内.
【思考3】基本事实3有什么作用？
【提示】 ①判定两平面相交的依据；②判定点在直线上.
【辩一辩】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)平面就是平行四边形. ( )
(2)若A∈a,a⊂α,则A∈α. ( )
(3)经过三点有且只有一个平面. ( )
(4)两个平面的交线可能是一条线段. ( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)×
（三）典型例题
1.立体几何三种语言的相互转化
例1.用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
解析：(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．
【类题通法】三种语言的转换方法：
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要注意符号语言的意义. 如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
【巩固练习1】（1）如图所示，用符号语言可表述为( )
A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n
D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
答案：A
（2）用符号语言表示下列语句，并画出图形：
①三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
②平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.
解析：①符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①.
②符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图②.
2.点、线共面问题
例2.已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明：法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，
∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
法二 (同法一、重合法)∵l1∩l2＝A，
∴l1，l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
【类题通法】 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.
(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.
【巩固练习2】如图，已知：a ⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.
证明：∵PQ∥a，∴PQ 与 a 确定一个平面β.
∴直线a⊂β，点 P∈β.
∵P∈b，b⊂α，∴P∈α.
又∵a⊂α，∴α与β重合．∴PQ⊂α.
3.三线共点问题
例3.如图，已知平面α， β， 且α∩β＝l. 设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.
求证：AB，CD，l共点(相交于一点).
证明：因为梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰.
所以AB，CD必定相交于一点.
设AB∩CD＝M.
又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，M∈β.
所以M∈α∩β.
又因为α∩β＝l，所以M∈l.
即AB，CD，l共点(相交于一点).
【类题通法】证明三线共点的步骤
(1)首先说明两条直线共面且交于一点；
(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；
(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．
【巩固练习3】如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点.求证：FE，HG，DC三线共点.
证明：如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1∥EB，且HC1＝EB，∴四边形HC1BE是平行四边形，∴HE∥C1B.
又C1G＝GC，CF＝BF，
∴GF∥C1B，且GF＝eq \f(1,2)C1B.
∴GF∥HE，且GF≠HE，∴HG与EF相交.设交点为K，
∴K∈HG，HG⊂平面D1C1CD，∴K∈平面D1C1CD.
∵K∈EF，EF⊂平面ABCD，∴K∈平面ABCD，
∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，∴K∈DC，
∴EF，HG，DC三线共点.
4.三点共线问题
例4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.
证明：如图，连接A1B，CD1，BD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1，
∴BD1⊂平面A1BCD1.
同理，BD1⊂平面ABC1D1，
∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
∴Q∈平面ABC1D1.
又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.
∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线.
【类题通法】证明三点共线的方法
(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．
(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．
【巩固练习4】如图所示，在空间四边形各边AD、AB、BC、CD上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH交于一点P，求证：P、B、D在一条直线上．
证明：若EF、GH交于一点P，
则E，F，G，H四点共面，
又因为EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，
平面ABD∩平面CBD＝BD，
所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，
由基本事实3可得P∈BD.
（四）操作演练 素养提升
1.下列有关平面的说法正确的是( )
A.平行四边形是一个平面 B.任何一个平面图形都是一个平面
C.平静的太平洋面就是一个平面 D.圆和平行四边形都可以表示平面
2.下列命题中正确的是( )
A.空间三点可以确定一个平面
B.三角形一定是平面图形
C.若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
D.四条边都相等的四边形是平面图形
3.已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β
B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN
C.A∈α，A∈β⇒α∩β＝A
D.A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合
4.给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确的个数是________.
答案：1.D 2.B 3.C 4.0

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第128页 练习 第1，2,3,4题
第131 页 习题8.4 第1,2,3，6,7，8题









8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
课时内容
8.4.1平面
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
所在位置
教材第124页
教材第128页
新教材内容分析
本节内容是空间、点、直线平面之间位置关系的第一课时，由生活中实际物体引出平面概念，进而引出本节要学的内容。
本节内容是空间、点、直线平面之间位置关系的第二课时，由常见立体图形导入，进而引出本节要学的内容。
核心素养培养
通过对平面有关概念的学习，培养直观想象的数学素养；通过平面基本性质的应用，培养逻辑推理、直观想象的数学素养.
通过空间中两条直线的位置关系的学习，培养直观想象的核心素养；借助直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系的学习，提升逻辑推理的核心素养.
教学主线
点、直线、平面之间的位置关系
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上
A∈l
A在l外
A∉l
A在α内
A∈α
A在α外
A∉α
l在α内
l⊂α
l在α外
l⊄α
l，m相交于A
l∩m＝A
l，α相交于A
l∩α＝A
α，β相交于l
α∩β＝l
推论
内容
图形
作用
推论1
经一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
确定平面的依据
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面