高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积学案设计，共30页。学案主要包含了知识点一，知识点21，例1-1，例1-2，变式1-1，变式1-2，例2-1，例2-2等内容，欢迎下载使用。

一般地，我们可以把多面体展开成平面图形，求出展开图中各个小多边形的面积，然后相加即为多面体的表面积．
1.直棱柱和正棱锥的表面积

(1)直棱柱的侧面积
①侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．
②直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于直棱柱的高h，因此，直棱柱的侧面积是S直棱柱侧＝ch.
③底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
(2)正棱锥的侧面积
①如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等．
②棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积．如果正棱锥的底面周长为c，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h′，它的侧面积是S正棱锥侧＝eq \f(1,2)ch′.
2.正棱台的表面积
正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．与正棱锥的侧面积公式类似，若设正棱台的上、下底面的周长分别为c′，c，斜高为h′，则其侧面积是S正棱台侧＝eq \f(1,2)(c＋c′)h′.
3.圆柱、圆锥、圆台的表面积

【推导圆柱侧面积及表面积】S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．
【推导圆锥侧面积及表面积】底面周长是2πr，利用扇形面积公式得
S侧＝eq \f(1,2)×2πrl＝πrl，S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．
【推导圆台侧面积及表面积】由题图知，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，则eq \f(x,x＋l)＝eq \f(r,R)，解得x＝eq \f(r,R－r)l.
S扇环＝S大扇形－S小扇形＝eq \f(1,2)(x＋l)×2πR－eq \f(1,2)x×2πr＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，
所以S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．
【知识点21】空间几何体的体积
一、柱体、锥体、台体的体积公式
1．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)．
2．锥体的体积公式V＝eq \f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)．
3．台体的体积公式V＝eq \f(1,3)(S′＋eq \r(S′S)＋S)h(S′，S为上、下底面面积，h为高)．
4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V＝ShV＝eq \f(1,3)(S′＋eq \r(S′S)＋S)hV＝eq \f(1,3)Sh.
二、球的表面积和体积公式
1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)．
2．球的体积公式V＝eq \f(4,3)πR3.
三、球体的截面的特点
1．球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆．
2．利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．
【例1-1】已知正六棱柱的高为，底面边长为，则它的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【例1-2】已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，则该棱台的侧面积为（ ）.
A．B．C．D．
【变式1-1】已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( )
A．B．C．D．
【变式1-2】棱长为的正四面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【例2-1】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）
A．B．1C．D．
【例2-2】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为的直角三角形，俯视图是半径为，圆心角为的扇形，则该几何体的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【变式2-1】如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．8
【变式2-4】如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.
（1）求正三棱锥的表面积；
（2）求正三棱锥的体积.
【例3】若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________ cm2.(结果中保留π)
【变式3-2】把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）
A．10B．C．D．
【例4】已知圆锥的母线长为5，底面周长为，则它的体积为（ ）
A．B．C．D．
【变式4】将半径为，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【例5-1】已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为，求这个球的表面积（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】棱长为的正方体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（ ）
A．B．C．D．
【例6】如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积为（ ）
A．54B．C．D．
【变式6】某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积为（ ）
A．20B．C．16D．
【例7-1】（外接球）(1)设长方体的长，宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．
(2)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．
【例3-3】在正三棱锥S-ABC中，SA=27，AB=6，则该三棱锥外接球的直径为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【例3-4】（球的截面问题）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积与球的体积．
【变式3-1】一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.
(1)求圆锥体的高；
(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．
【变式3-2】长方体共顶点的三个侧面面积分别为eq \r(3)，eq \r(5)，eq \r(15)，则它的外接球表面积为________．
【变式3-3】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．
【变式3-4】三棱锥中， 互相垂直， ， 是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【变式3-5】一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【变式3-6】 三棱锥中， 平面，且，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
课后练习题
1．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为( )
A．12B．24C．28D．32
2．一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为
A．8B．12C．16D．20
3．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21 米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）
A．B．
C．D．
4．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长丈，上底边长丈．高丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）
A．B．C．D．
5．圆柱底面半径为1，母线长为2，则圆柱侧面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为，则圆柱的高为________．
7．把一个棱长为2的正方体木块，切出一个最大体积的圆柱，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
8.在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
9.正三棱柱有一个半径为的内切球，则此棱柱的体积是（ ）.
A．B．C．D．
10.如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a，那么球的体积为（ ）
A．B．C．D．
8.3 简单几何体的表面积与体积
【知识点一】空间几何体的表面积
一般地，我们可以把多面体展开成平面图形，求出展开图中各个小多边形的面积，然后相加即为多面体的表面积．
1.直棱柱和正棱锥的表面积

(1)直棱柱的侧面积
①侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．
②直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于直棱柱的高h，因此，直棱柱的侧面积是S直棱柱侧＝ch.
③底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
(2)正棱锥的侧面积
①如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等．
②棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积．如果正棱锥的底面周长为c，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h′，它的侧面积是S正棱锥侧＝eq \f(1,2)ch′.
2.正棱台的表面积
正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．与正棱锥的侧面积公式类似，若设正棱台的上、下底面的周长分别为c′，c，斜高为h′，则其侧面积是S正棱台侧＝eq \f(1,2)(c＋c′)h′.
3.圆柱、圆锥、圆台的表面积

【推导圆柱侧面积及表面积】S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．
【推导圆锥侧面积及表面积】底面周长是2πr，利用扇形面积公式得
S侧＝eq \f(1,2)×2πrl＝πrl，S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．
【推导圆台侧面积及表面积】由题图知，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，则eq \f(x,x＋l)＝eq \f(r,R)，解得x＝eq \f(r,R－r)l.
S扇环＝S大扇形－S小扇形＝eq \f(1,2)(x＋l)×2πR－eq \f(1,2)x×2πr＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，
所以S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．
【知识点21】空间几何体的体积
一、柱体、锥体、台体的体积公式
1．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)．
2．锥体的体积公式V＝eq \f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)．
3．台体的体积公式V＝eq \f(1,3)(S′＋eq \r(S′S)＋S)h(S′，S为上、下底面面积，h为高)．
4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V＝ShV＝eq \f(1,3)(S′＋eq \r(S′S)＋S)hV＝eq \f(1,3)Sh.
二、球的表面积和体积公式
1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)．
2．球的体积公式V＝eq \f(4,3)πR3.
三、球体的截面的特点
1．球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆．
2．利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．
【例1-1】已知正六棱柱的高为，底面边长为，则它的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题知侧面积为，两底面积之和为，所以表面积.故选：A.
【例1-2】已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，则该棱台的侧面积为（ ）.
A．B．C．D．
【解析】由题意可知，该棱台的侧面为上下底边长为和，腰长为的等腰梯形
等腰梯形的高为：
等腰梯形的面积为：棱台的侧面积为：
本题正确选项：
【变式1-1】已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意侧棱长为．所以表面积为：．故选：A.
【变式1-2】棱长为的正四面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图
由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，
所以，所以可知：正四面体的表面积为，
故选：A
【例2-1】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【解析】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是故选：A
【例2-2】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为的直角三角形，俯视图是半径为，圆心角为的扇形，则该几何体的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【分析】试题分析由三视图可知，该几何体是一个圆锥的，其中圆锥的底面半径是，高是，
从而可得该几何体的表面积是，故选A.
【变式2-1】如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】三棱锥的体积为：故选：C
【变式2-3】正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．8
【答案】C
【解析】∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，
∴该四棱锥的体积.故选：C.
【变式2-4】如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.
（1）求正三棱锥的表面积；
（2）求正三棱锥的体积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）取的中点D，连接，
在中，可得.
∴.
∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，
∴正三棱锥的侧面积是.
∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴.
则正三棱锥的表面积为；
（2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.
且.
在中，.
∴正三棱锥的体积为.
【例3】若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图圆锥的轴截面是顶角为，即，，,
所以，所以圆锥的侧面积为.
故选：C.
【变式3-1】圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________ cm2.(结果中保留π)
【答案】 1 100π
【解析】 如图所示，
设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π×SA＝2π×10，所以SA＝20.
同理可得SB＝40.所以AB＝SB－SA＝20，
所以S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)×AB＋πreq \\al(2,1)＋πreq \\al(2,2)
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．
故圆台的表面积为1 100π cm2.
【变式3-2】把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）
A．10B．C．D．
【答案】B
【解析】半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的底面圆周长为，
所以底面圆的半径为r=10，
所以圆锥的高为.
故选：B
【例4】已知圆锥的母线长为5，底面周长为，则它的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，
因为底面周长为，所以，解得，
又因为母线长为5，所以h=4，所以圆锥的体积是故选：B
【变式4】将半径为，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由扇形弧长公式可求得弧长，圆锥底面周长为，
圆锥底面半径，圆锥的高，
圆锥的体积.
故选：.
【例5-1】已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设正方体的棱长为a，球的半径为R，则，
球的表面积为，正方体的表面积为，
.故选：B
【例5-2】已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为，求这个球的表面积（ ）
A．B．C．D．
【解析】设该正三棱锥为，将三棱锥补成正方体，如下图所示：
则正方体的棱长为，该正方体的体对角线长为，
所以，正三棱锥的外接球直径为，可得，
该球的表面积为.
故选：C.
【变式5-1】棱长为的正方体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长，所以，解得，
所以球的表面积为：.故选：C
【变式5-2】将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】正方体的棱长为3cm，所以球体最大体积的半径，
所以球的体积：.故选：B
【例6】如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积为（ ）
A．54B．C．D．
【答案】C
【解析】器皿的表面积是棱长为3的正方体的表面积减去半径为1的圆的面积，再加上半径为1的半球的表面积，即器皿的表面积
．
故选：C．
【变式6】某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积为（ ）
A．20B．C．16D．
【答案】A
【解析】由题意，正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.
故选：A
【例7-1】（外接球）(1)设长方体的长，宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．
(2)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．
【答案】（1） 6πa2
解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为eq \r(2a2＋a2＋a2)＝eq \r(6)a，
得球的半径为eq \f(\r(6),2)a，则球的表面积为4πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)a))2＝6πa2.
（2）解 如图，等边△ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O.
设球的半径OE＝R，OA＝eq \f(OE,sin 30°)＝2OE＝2R.
∴AD＝OA＋OD＝2R＋R＝3R，BD＝AD·tan 30°＝eq \r(3)R，
∴V球＝eq \f(4,3)πR3，V圆锥＝eq \f(1,3)π·BD2×AD＝eq \f(1,3)π(eq \r(3)R)2×3R＝3πR3，
∴V球∶V圆锥＝4∶9.
【例3-3】在正三棱锥S-ABC中，SA=27，AB=6，则该三棱锥外接球的直径为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】D
【解析】作的外接圆，过点C作外接圆的直径CM，连接PM，则PM为三棱锥P-ABC的外接球的直径，如图所示;
∵
∴
又 平面
∴
∴，即
∴,故选D.
【例3-4】（球的截面问题）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积与球的体积．
【答案】如图所示，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于点O1，由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心，设M是AB的中点，由于AC＝BC，则O1∈CM.设O1M＝x，易知O1M⊥AB，则O1A＝eq \r(22＋x2)，
O1C＝CM－O1M＝eq \r(62－22)－x.
又O1A＝O1C，∴eq \r(22＋x2)＝eq \r(62－22)－x，解得x＝eq \f(7\r(2),4).
∴O1A＝O1B＝O1C＝eq \f(9\r(2),4).
在Rt△OO1A中，O1O＝eq \f(R,2)，∠OO1A＝90°，OA＝R，
由勾股定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9\r(2),4)))2＝R2，解得R＝eq \f(3\r(6),2)，
则S球＝4πR2＝54π，V球＝eq \f(4,3)πR3＝27eq \r(6)π.
【变式3-1】一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.
(1)求圆锥体的高；
(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．
【答案】(1)设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l，
则h＝eq \r(l2－R2)＝eq \r(102－62)＝8(cm)．
(2)球放入圆锥体后的轴截面如图所示，设球的半径为r，
由△OCD∽△ACO1，得eq \f(OD,AO1)＝eq \f(OC,AC)，
所以eq \f(r,6)＝eq \f(8－r,10)，解得r＝3.
因为圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，
所以V锥－V球＝eq \f(1,3)×π×62×8－eq \f(4,3)π×33
＝96π－36π＝60π(cm3)．
【变式3-2】长方体共顶点的三个侧面面积分别为eq \r(3)，eq \r(5)，eq \r(15)，则它的外接球表面积为________．
【答案】9π
【解析】设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝\r(3)，,bc＝\r(5)，,ac＝\r(15)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(3)，,b＝1，,c＝\r(5)，))
∴外接球半径为eq \f(\r(a2＋b2＋c2),2)＝eq \f(3,2)，
∴外接球表面积为4π×(eq \f(3,2))2＝9π.
【变式3-3】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．
【答案】eq \f(7,3)πa2
【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(\r(3),3)a，
OP＝eq \f(1,2)a，所以球的半径R＝OA满足R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a))2＝eq \f(7,12)a2，故S球＝4πR2＝eq \f(7,3)πa2.
【变式3-4】三棱锥中， 互相垂直， ， 是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】是线段上一动点，连接，∵互相垂直，∴就是直线与平面所成角，当最短时，即时直线与平面所成角的正切的最大．
此时， ，在直角△中， ．
三棱锥扩充为长方体，则长方体的对角线长为，
∴三棱锥的外接球的半径为，
∴三棱锥的外接球的表面积为．选B.
【变式3-5】一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【解析】A
由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图，则这个几何体的外接球的球心在高线上，且是等边三角形的中心，这个几何体的外接球的半径，则这个几何体的外接球的表面积为，故选A.
【变式3-6】 三棱锥中， 平面，且，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】作的外接圆，过点C作外接圆的直径CM，连接PM，则PM为三棱锥P-ABC的外接球的直径，如图所示;
∵
∴
又 平面
∴
∴，即
∴,故选D.
课后练习题
1．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为( )
A．12B．24C．28D．32
【答案】C
【解析】设长方体底面矩形的长与宽分别为，则.
又由题意知，解得或.
故长方体的侧面积为.
故选：C.
2．一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为
A．8B．12C．16D．20
【答案】B
【解析】由题得侧面三角形的斜高为，
所以该四棱锥的全面积为.
故选B
3．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21 米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
如图正四棱锥中，，，
所以正四棱锥的体积为，
故选：A
4．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长丈，上底边长丈．高丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
. 故选:
5．圆柱底面半径为1，母线长为2，则圆柱侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圆柱底面半径为1，母线长为2，
圆柱侧面积为 ,故选：A
6．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为，则圆柱的高为________．
【答案】4
【解析】设圆柱的高为，有，得．故答案为：4.
7．把一个棱长为2的正方体木块，切出一个最大体积的圆柱，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】正方体棱长为，所以正方体底面正方形的内切圆半径为，面积为，以此内切圆为底、高为的圆柱是可切出的最大圆柱.且该圆柱的体积为.
故选：C
8.在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为，则，
由于三棱锥的表面积为，
所以所以
所以正方体的外接球的半径为，
所以正方体的外接球的体积为
故选：．
9.正三棱柱有一个半径为的内切球，则此棱柱的体积是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵正三棱柱有一个半径为的内切球，则正三棱柱的高为cm，
底面正三角形的内切圆的半径为cm，
设底面正三角形的边长为cm,则，解得cm，
∴正三棱柱的底面面积为cm2，
故此正三棱柱的体积V＝cm3．
故选：B．
10.如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a，那么球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的，
所以球的半径为，所以球的体积为，
故选：D.
图形
表面积公式
旋转体
圆柱
底面积：S底＝2πr2，
侧面积：S侧＝2πrl，
表面积：S＝2πr(r＋l)
圆锥
底面积：S底＝πr2，
侧面积：S侧＝πrl，
表面积：S＝πr(r＋l)
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2，
下底面面积：S下底＝πr2，
侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)，
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
图形
表面积公式
旋转体
圆柱
底面积：S底＝2πr2，
侧面积：S侧＝2πrl，
表面积：S＝2πr(r＋l)
圆锥
底面积：S底＝πr2，
侧面积：S侧＝πrl，
表面积：S＝πr(r＋l)
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2，
下底面面积：S下底＝πr2，
侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)，
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)