1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？
2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？
自主测评
判断：
(1)圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形、扇形、扇环.( )
(2)圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,高缩小为原来的12,它的体积不变.( )
(3)圆台的上底面半径为2,下底面半径为3,高为6,则此圆台的体积为38π.( )
(4)若三个球的半径之比为1∶2∶3,则最大球的体积与最小球的体积之和是另一个球的体积的2倍.( )
2．已知圆锥的底面半径为4 cm,高为25 cm,则这个圆锥的底面积为 cm2,侧面积为 cm2,表面积为 cm2.
3.若球的半径R=3,则过球心的截面圆的面积为 ,球的表面积为 ,体积为 .
4.球的半径球的半径时，其体积和表面积的数值相等.
（二）共同探索
1．圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱、圆锥、圆台的表面积就是围成它的各个面的面积的________.
_________（是底面半径，是母线长）；____________（是底面半径，是母线长）；
___________________（分别是上、下底面半径，是母线长）.
2．圆柱、圆锥、圆台的体积
_____________（是底面半径，是高）；_______________（是底面半径，是高）；
______________________________________（分别是上、下底面半径，是高）.
3. 柱体、锥体、台体的体积
___________________（为底面积，为柱体高）；
___________________（为底面积，为锥体高）；
___________________________________（分别是上、下底面面积，为台体高）.
当______时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当______时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式.
4. 球的表面积
设球的半径为，它的表面积只与半径有关，是以为自变量的函数.
球的表面积是_________.
【思考】在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？
把球的表面积分割成个小网络，
连接球心和每个小网络的顶点，整个球
体就被分割成个“小锥体”.
当越大，每个小网络越小时，每个“小锥体”底面就越_______，，“小锥体”就越近似于________，其高越近似于球___________.设是其中一个“小锥体”它的体积是_____________.
由于球的体积就是这个“小锥体”的体积之______，而这个“小锥体”的底面积之_____就是球的_____________. 因此，球的体积________________________________________________.
由此，我们得到球的体积公式_____________.
例1 如图所示，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m. 如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（取3.14）
例2 如图所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.

例3已知圆锥的表面积为，且它的侧面积展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.

例4将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积.

课堂练习
1.如图，圆锥PO的底面直径和高均是，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积.
2.一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4,截去小圆锥的母线长为3 cm,则圆台的母线长为.
3.若一个正三棱柱存在外接球与内切球,则它的外接球与内切球的体积之比为
课堂总结
圆台的表面积
锥体的表面积
圆柱的表面积
当时
当时
圆台的体积
锥体的体积
圆柱的体积
当时
当时
当底面面积是球面面积，高为球的半径时
球的体积
2024—2025学年下学期高一数学导学案（28）
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积