人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积获奖教学设计及反思

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积获奖教学设计及反思，共11页。教案主要包含了做一做1，做一做2，类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，设计意图等内容，欢迎下载使用。

教学设计
本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第八章《立体几何初步》的第三节《简单几何体的表面积和体积》。以下是本节的课时安排：
前面学习了棱柱、棱锥、棱台的相关知识，本节课主要是通过类比棱柱、棱锥、棱台的相关方法与结论，研究圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式；再类比圆面积公式，将知识进行迁移得出球的体积公式。
1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式，培养数学运算的核心素养；
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积，提升逻辑推理的核心素养。
1.重点：通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法。
2.难点：会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积。
（一）新知导入
胡夫大金字塔底边原长230米，高146.59米，经风化腐蚀，现降至136.5米，塔的底角为51°51′.假如把建造金字塔的石块凿成平均一立方英尺的小块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大.
问题 (1)如何计算建此金字塔需用多少石块？
(2)如果在金字塔的表面涂上一层保护液以防止风化腐蚀，如何计算保护液的使用量？
提示 (1)这就需求出金字塔的体积.
(2)首先计算金字塔地上部分的表面面积之和，然后根据单位面积保护液的使用量来估计其总的使用量.
（二）棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
【做一做】棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C．3eq \r(3) D．4eq \r(3)
解析：S表＝4S正△＝4×eq \f(\r(3),4)＝eq \r(3).
答案：A
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
【做一做1】棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于________.
解析：V棱台＝eq \f(1,3)×(2＋4＋eq \r(2×4))×3
＝eq \f(1,3)×3×(6＋2eq \r(2))＝6＋2eq \r(2).
答案：6＋2eq \r(2)
【做一做2】设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为________.
解析：由题意得四棱锥的底面积为S＝2×eq \f(1,2)×2×2＝4.
故四棱锥的体积V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×4×3＝4.
答案：4
（三）典型例题
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1.已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高为eq \f(3,2) cm，求此正三棱台的表面积.
解： 如图所示，画出正三棱台ABC－A1B1C1，其中O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，
所以DD1＝eq \r(OOeq \\al(2,1)＋（OD－O1D1）2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)－\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq \r(3).
所以此正三棱台的表面积S表＝S侧＋S底＝3×eq \f(1,2)×(3＋6)×eq \r(3)＋eq \f(\r(3),4)×32＋eq \f(\r(3),4)×62＝eq \f(99\r(3),4)(cm2).
【类题通法】求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：(1)高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；(2)高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.
【巩固练习1】若正方体的棱长为eq \r(2)，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为( )
A.eq \f(\r(2),3) B.2eq \r(3) C.eq \r(3) D.eq \f(\r(2),6)
解析：所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为eq \f(\r(2),2)的四棱锥的侧面积之和，如图，四棱锥的侧棱长l＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(12＋12),2)))\s\up12(2))＝1，
所以，以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积S＝8×eq \f(1,2)×1×1×sin 60°＝2eq \r(3).故选B.
答案：B
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
例2.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.
解：由V三棱锥A1－D1EF＝V三棱锥F－A1D1E，
∵S△A1D1E＝eq \f(1,2)EA1·A1D1＝eq \f(1,4)a2，
又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，∴V三棱锥F－A1D1E＝eq \f(1,3)×a×eq \f(1,4)a2＝eq \f(1,12)a3，
∴V三棱锥A1－D1EF＝eq \f(1,12)a3.
【类题通法】求几何体体积的常用方法
【巩固练习2】如图，在几何体中，，，，侧棱，，均垂直于底面，，，，求该几何体的体积.
解：在上取点，在上取点，使得，连接，
则几何体为直三棱柱，
因为，，，
所以，
所以是以为直角的直角三角形，
，，
则多面体是四棱锥，高为8，
所以几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的，
，
，
所以该几何体的体积为.
3.组合体的表面积与体积
例3.如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：
（1）该几何体的体积；
（2）该几何体的表面积.
解：连接，交于点，取的中点，连接，，
（1），
∴
（2）∵，，∴
，
【类题通法】求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.
【巩固练习3】如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积.
解：由图可知△A1BD是边长为eq \r(2)a的等边三角形，其面积为eq \f(\r(3),2)a2，故所求几何体A1B1C1D1－DBC的表面积S＝S△A1BD＋3S△DBC＋3S正方形A1B1C1D1＝eq \f(\r(3),2)a2＋3×eq \f(1,2)×a2＋3a2＝eq \f(\r(3)＋9,2)a2.
（四）操作演练 素养提升
1.长方体同一顶点上的三条棱长分别是2，3，4，则该长方体的表面积是( )
A.36 B.24 C.52 D.26
2.三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为( )
A.4 B.6 C.12 D.24
3.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为( )
A.eq \f(1,2) B.1 C.eq \r(5) D.eq \f(\r(13),2)
4.如图所示，已知正四棱锥的侧棱长为4，底面边长为4，求该四棱锥的体积.
答案：1.C 2.A 3.B 4.eq \f(32\r(2),3)

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第116页 练习 第1，2，3,4题
第119 页 习题8.3 第1,2,3题









8.3简单几何体的表面积和体积
课时内容
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
所在位置
教材第114页
教材第116页
新教材
内容
分析
本节内容是棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积求法，由之前学过的正方体、长方体的表面积与体积导入，引出本节要学的内容。
本节内容是圆柱、圆锥、圆台与球的表面积与体积求法，由上一节的多面体表面积与体积导入，引出本节要学的内容。
核心素养培养
借助棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养；通过对棱柱、棱锥、棱台的体积的探究，提升逻辑推理的素养.
借助圆柱、圆锥、圆台、球的表面积、体积的计算，培养数学运算素养；通过对圆柱、圆锥、圆台、球的体积的探究，提升逻辑推理的素养.
教学主线
空间几何体的结构
几何体
体积
说明
棱柱
V棱柱＝Sh
S为棱柱的底面积，h为棱柱的高
棱锥
V棱锥＝eq \f(1,3)Sh
S为棱锥的底面积，h为棱锥的高
棱台
V棱台＝eq \f(1,3)(S′＋eq \r(S′S)＋S)h
S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高