人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置精品课时练习

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考点一 直线与圆的位置关系
【例1-1】（2023春·四川成都）圆：与直线：的位置关系为（ ）
A．相切B．相交C．相离D．无法确定
【答案】A
【解析】圆：的圆心为，半径，
直线：即，则圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切.故选：A
【例1-2】（2023春·北京海淀·高二北理工附中校考期中）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
【答案】C
【解析】由题知，圆心坐标，半径，将直线化为点斜式得，
知该直线过定点，又，故该定点在圆内，所以该直线与圆必相交.
故选：C
【例1-3】（2023春·贵州遵义·高二遵义市南白中学校考阶段练习）（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆上恰有1个点到直线的距离为1，则
B．圆上恰有2个点到直线的距离为1，则
C．圆上恰有3个点到直线的距离为1，则
D．圆上恰有4个点到直线的距离为1，则
【答案】ACD
【解析】圆的圆心为，半径为2，
A选项，要想圆上恰有1个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离为3，
即，解得，A正确；
B选项，要想圆上恰有2个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离大于1，小于3，
即，解得，B错误；
C选项，圆上恰有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离等于1，
即，解得，C正确；
D选项，圆上恰有4个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离小于1，
即，解得，D正确.
故选：ACD
【一隅三反】
1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知圆，直线，则圆C与直线l（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相交且直线过圆C的圆心
【答案】B
【解析】由可得，故圆心，半径，
则圆心到直线的距离，故直线与圆C相切．故选：B
2．（2023秋·高二课时练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（ ）
A．相切B．相交C．相离D．相切或相交
【答案】C
【解析】由题意知为圆内异于圆心的一点，则，
而圆：的圆心到直线的距离为，
故直线与该圆的位置关系为相离，故选：C
3．（2023春·四川成都·高二期末）已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】圆的方程可化为，
其圆心坐标为，半径为，
当时，直线，圆心到直线的距离，此时直线与圆相切，故充分性成立；
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，所以，故必要性成立，
所以“”是“直线与圆相切”的充要条件.故选：C.
4．（2023春·四川成都·高二期末）已知直线 和圆，则“”是“圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】圆的方程可化为，
其圆心坐标为，半径为，
当时，直线，圆心到直线的距离，
此时圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1，故充分性成立；
当圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1时，
圆心到直线的距离，所以，解得，故必要性成立，
所以“”是“圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1”的充要条件.
故选：C.
考点二 直线与圆的弦长
【例2-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二统考期末）已知圆，则直线被圆截得的弦的长度为（ ）
A．2B．7C．D．
【答案】D
【解析】圆的圆心为，半径为5，
则到直线的距离为，
即直线和圆相交，
故直线被圆截得的弦的长度为，故选：D
【例2-2】（2023·广东深圳）若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】 当最短时，直线，所以.又，所以，
所以的方程为，即.故选：D
【一隅三反】
1．（2023·北京·高三专题练习）若圆与y轴交于A，B两点，则（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【解析】联立得，故A、B坐标为，即.故选：D
2．（2023春·河南新乡·高二统考期末）（多选）已知直线：与圆：相交于，两点，则（ ）
A．圆心到直线的距离为1B．圆心到直线的距离为2
C．D．
【答案】BD
【解析】因为圆心到直线的距离，所以A错误，B正确．
因为，所以C错误，D正确．故选：BD
3．（2023春·安徽·高二统考期末）（多选）已知圆，下列说法正确的是（ ）
A．圆心为B．半径为2
C．圆与直线相离D．圆被直线所截弦长为
【答案】BD
【解析】将圆化为标准方程得，
可知圆心，半径，故A错误，B正确；
由圆心到直线的距离，
即，直线与圆相切，故C错误；圆心到直线的距离为，
由圆的弦长公式，可得，所以D正确.故选：BD.
考点三 圆的切线方程
【例3-1】（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）过点作圆的切线，则切线的方程为 .
【答案】
【解析】圆的圆心，
∵，则点在圆上，即点为切点，
则圆心到切点连线的斜率，可得切线的斜率，
故切线的方程，即.
故答案为：.
【例3-2】（2023·北京）过点的圆的切线方程为 ．
【答案】或
【解析】当切线的斜率不存在时，
切线的方程为，圆心到该直线的距离等于半径1，符合题意，
当切线的斜率存在时，
设过点的切线方程为，即，
∵圆心到直线的距离等于半径，
∴，解得，
∴切线方程为，
综上所述，切线方程为或．
故答案为：或．
【例3-3】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ．
【答案】
【解析】设过点的切线与圆相切于点，连接，则，
圆的圆心为，半径为，则，
当与直线垂直时，取最小值，且最小值为，
所以，，即切线长的最小值为.
故答案为：.
【例3-4】（2023春·陕西西安）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】圆可化为，则圆心，半径为；

设，切线为、，则，
中，，所以．
故选：C．
【一隅三反】
1．（2023秋·云南昆明·高二统考期末）圆在点处的切线方程为 .
【答案】
【解析】设圆的圆心，点
将代入圆的方程成立，所以在圆上，与切线垂直，
所以切线斜率，
切线方程为，即.
故答案为：
2．（2023·重庆·统考模拟预测）过点且与圆：相切的直线方程为
【答案】或
【解析】将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为，
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆的切线，满足题意；
当过点的直线斜率存在时，
可设直线方程为，即，
利用圆心到直线的距离等于半径得，解得，
即此直线方程为，
故答案为：或 ．
3．（2023秋·高二课时练习）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【解析】由得，所以圆心为，半径为，设切点分别为,连接,则为两切线的夹角，
由于,所以,
由二倍角公式可得，
故选:B

考点四 两圆的位置关系
【例4-1】（2023春·江西南昌·高二校联考阶段练习）圆O：与圆C: 的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．外切D．内切
【答案】C
【解析】圆是以为圆心，半径的圆，
圆:改写成标准方程为，则圆是以为圆心，半径的圆，
则，=3，所以两圆外切，故选：.
【例4-2】（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）圆与圆的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】圆的圆心坐标为，半径为5；
圆的圆心坐标为，半径为3，
所以两圆的圆心距为，
因为，所以两圆相交，
所以两圆的公切线有2条.
故选：B.
【例4-3】（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）若圆与圆外切，则实数（ ）
A．－1B．1C．1或4D．4
【答案】D
【解析】由条件化简得，即两圆圆心为，
设其半径分别为，，所以有.
故选：D
【一隅三反】
1．（2023·福建宁德·高二统考期中）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．内含D．外离
【答案】B
【解析】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
于是，所以两圆相交.故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）写出一个半径为1，且与圆外切的圆的标准方程： ．
【答案】（答案不唯一，方程满足且即可）
【解析】依题意可设所求圆的方程为，根据两圆外切得两圆的圆心距为，即．
令，则，所求圆的方程可以为.
故答案为：（答案不唯一）
3．（2022秋·四川资阳·高二四川省资阳中学校考期中）已知圆与圆恰有两条公切线，则实数的取值范围 ．
【答案】
【解析】由，即，
可知圆的圆心为，半径为；
因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交，
则，∵，
解得：，即的取值范围是.
故答案为：.
考点五 两圆的公共弦
【例5-1】（2022秋·高二课时练习）已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.故选：D.
【例5-2】（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（ ）
A．B．C．或1 D．
【答案】D
【解析】与两式相减得，即公共弦所在直线方程.
圆方程可化为，可得圆心，半径.则圆心到的距离为，
半弦长为，则有，解得或（舍），此时
故选：.
【例5-3】（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆和交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将和相减得直线，
点到直线的距离，所以．故选：B
【一隅三反】
1．（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为 .
【答案】
【解析】圆：的圆心坐标为，
因为圆过圆的圆心，所以，
所以，所以：，
两圆的方程相减可得相交弦方程为.
故答案为：.
2．（2023·天津滨海新·统考三模）已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则
【答案】
【解析】圆的方程为，即①，
又圆：②，
②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为
圆的圆心到直线的距离，
所以．
故答案为: .
3．（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）已知圆，圆．
(1)求两圆的公共弦长；
(2)求两圆的公切线方程．
【答案】(1)
(2)和
【解析】（1）易知圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3，
两圆方程、相减可得公共弦直线方程为
，所以点到的距离为，
所以公共弦长为；
（2）因为圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3，
由图象可知，有一条公切线为：，
直线与的交点为，
设另一条公切线的方程为，也即，
则点到此公切线的距离，解得：，
所以另一条公切线的方程为：，
综上，两圆的公切线方程为和．

考点六 与圆有关的最值问题
【例6-1】（2023·吉林长春）已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】D
【解析】将圆C化为标准方程得，所以圆心为，
直线的方程为，所以直线过定点，
过点C作，垂足为Q，当CP不垂直l时，显然，当时，，
所以圆心C到直线l的最大距离为.
故选：D

【例6-2】．（2022·全国·高二专题练习）已知实数x，y满足方程，则
（1）的最大值和最小值分别为 和 ；
（2）y－x的最大值和最小值分别为 和 ；
（3）的最大值和最小值分别为 和 ．
【答案】（1） （2） / /
（3） / /
【解析】程可化为，表示以（2，0）为圆心，为半径的圆．
（1）的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时（如图），斜率k取最大值或最小值，此时，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
（2）y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b＝－2±，
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
（3）表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为2，所以的最大值是，的最小值是.
故答案为：（1）；（2）；（3）；.
【一隅三反】
1．（2023·广西·校联考模拟预测）已知直线和圆，则圆心O到直线l的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，直线可化为，
联立方程组，解得，即直线过定点，
又由，可得定点在圆内，
由圆的几何性质知，圆心到直线的距离．
故选：B.
2．（2023广东湛江）已知实数x、y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，则 的最大值和最小值分别为 .
【答案】2，
【解析】如图，由已知，点在线段上运动，其中，
而，其几何意义为直线的斜率．由图可知，而，
故所求的的最大值为，最小值为.
3．（2023·广西）已知为圆C：上任意一点，且点．
（1）求的最大值和最小值．
（2）求的最大值和最小值．
（3）求的最大值和最小值．
【答案】（1）最大值为，最小值为
（2）最大值为，最小值为
（3）最大值为9，最小值为1
【解析】（1）圆C：，如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时取得最小值，
即，
与B重合时取得最大值即，故最大值为，最小值为；
（2）易知，由图形知当与圆C相切时取得最值，如图所示.
可设，则C到其距离为，解得，
故最大值为，最小值为
（3）设，如图所示，即过点M的直线的截距，如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值.圆心C到该直线的距离为，所以或9，故最大值为9，最小值为1.