【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)选修第一册 第二章《直线和圆的方程》（章节综合测试）（含解析）

第二章 直线和圆的方程考点达标练一、单选题1．直线与圆相交，所得弦长为整数，这样的直线有（       ）条A．10 B．9C．8 D．7【答案】C【详解】直线过定点，圆半径为5，最短弦长为，恰有一条，但不是整数；弦长为6的直线恰有1条，有1条斜率不存在，要舍去；最长的弦长为直径10，也恰有1条；弦长为7，8，9的直线各有2条，共有8条，故选：C．2．直线被圆所截得的弦长为（       ）A． B．4 C． D．【答案】A【详解】由题意圆心，圆C的半径为3，故C到的距离为，故所求弦长为.故选：A.3．已知圆C过圆与圆的公共点．若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题，圆，的公共弦为和的两式相减，化简可得，又到的距离 ，故公共弦长为，故圆C的半径为，故圆C的面积为故选：B二、多选题4．已知圆C：，则下列四个命题表述正确的是（       ）A．圆C上有且仅有3个点到直线1：的距离都等于1B．过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，直线MN的方程为C．一条直线与圆C交于不同的两点P，Q，且有，则∠PCQ的最大值为D．若圆C与E：相外切，则【答案】BC【详解】圆C的圆心，半径，圆心到直线l：的距离，故圆C上有4个点到直线l的距离为1，故A不正确；过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，则A、C、M、N四点共圆，且为AC为直径，方程为，MN是其圆C的公共弦，直线MN为，故B正确；设PQ的中点为D，则．因为，即，可得，则，故的最大值为，故C正确；圆E：的圆心，半径根据题意可得，即得，故D错误．故选：BC．三、填空题5．已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长_________．【答案】【详解】由题可知：，即且由两圆向外切可知，解得所以到直线的距离为，设圆的半径为则直线被圆所截的弦长为故答案为： 课后培优练级练培优第一阶——基础过关练一、单选题1．已知直线与直线互相平行，则实数的值为(       )A． B．2或 C．2 D．【答案】D【详解】直线斜率必存在，故两直线平行，则，即，解得，当时，两直线重合，∴．故选：D．2．直线截圆截得的弦长为（       ）A． B．2 C． D．4【答案】D【详解】解：圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以弦长为.故选：D.3．当圆截直线所得的弦最长时，则m的值为（       ）A． B．-1 C．1 D．【答案】C【详解】要使直线与圆所得弦最长，则直线必过圆心，所以，可得.故选：C4．已知直线，，若，则(       )A． B． C．3 D．－3【答案】A【详解】∵，∴．故选：A．5．已知，，则满足的的值是（       ）A． B．0 C．或0 D．或0【答案】C【详解】由可得，得或,当时，，，符合题意；当时，，，符合题意；故满足的的值为0或．故选：C.6．在圆中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：圆，即，圆心为，半径，又，所以过点的最长弦，最短弦，且最短弦与最长弦互相垂直，所以；故选：B7．如图，在圆上取一点A（，），点B为点A关于y轴的对称点，E，F为圆O上的两点，且满足，则EF的斜率为（       ）A．—2 B． C．—1 D．【答案】B【详解】连接，和交于点，如图 又 故选：B8．已知直线l：与圆O：相交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角，则m的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为直线l：经过定点，圆O：的半径为，当∠AOB为直角时，此时圆心O到直线l的距离，解得，则当∠AOB为锐角时，．又直线与圆相交于A，B两点，则，即，所以或，故选：A．二、多选题9．已知M为圆C：上的动点，P为直线l：上的动点，则下列结论正确的是（       ）A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相离C．|PM|的最大值为 D．|PM|的最小值为【答案】BD【详解】圆C：得圆心,半径∵圆心到直线l：得距离∴直线l与圆C相离A不正确，B正确；C不正确，D正确；故选：BD．10．已知圆与圆交于不同的两点，下列结论正确的有（       ）A． B．C． D．【答案】BC【详解】   ①   ②①－②即得公共弦AB所在直线方程：，将A的坐标代入得：   ③，故B正确，将B的坐标代入得：   ④③－④得：，故A错误；两圆圆心分别为，因为两圆半径相等，所以中点和AB中点为同一点，故，C正确，，D错误.故选：BC.三、解答题11．已知圆C：，直线l：.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=时，求直线l的方程.【答案】(1)；(2)或.【解析】(1)由圆：，可得，其圆心为，半径，若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.(2)由（1）知：圆心到直线的距离，因为，即，解得：， 所以，整理得：，解得：或， 则直线为或.12．已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.【答案】（1）x－y＋4＝0；（2）x2＋y2－x＋7y－32＝0.【解析】解：（1）设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解，两式相减得x－y＋4＝0，A，B两点坐标都满足此方程，x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程；(2)解方程组得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)，设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，所以b＝a－4，则＝，解得a＝，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．设为实数，若直线与直线平行，则值为（       ）A． B．1 C． D．2【答案】A【详解】由题意，，时，，两直线重合，舍去，时，，，满足两直线平行．所以．故选：A．2．在平面直角坐标系中，圆C与圆外切，且与直线相切，则圆C的面积的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题可知，到直线的距离为，又因为圆C与圆外切，所以圆C的直径的最小值为，所以圆C的面积的最小值为.故选：A.3．已知圆，圆，过动点P分别作圆、圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（       ）．A． B．C． D．【答案】D【详解】由得．因为两圆的半径均为1，则，则，即．所以点P的轨迹方程为．故选：D4．已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形周长取最小值时，四边形的外接圆方程为（       ）A． B．C． D．【答案】D【详解】圆的圆心，半径，点C到直线l的距离，依题意，，四边形周长，当且仅当时取“=”，此时直线，由得点，四边形的外接圆圆心为线段中点，半径，方程为.故选：D5．古希腊三大数学家之一阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中指出：平面内与两定点距离的比为常数k(且的点的轨迹是圆，已知平面内两点A(，0)，B(2，0)，直线，曲线C上动点P满足，则曲线C与直线l相交于M、N两点，则|MN|的最短长度为（       ）A． B． C．2 D．2【答案】C【详解】设动点P的坐标为(x，y)，则，由得：化简后得：曲线C：，故P点轨迹为圆，又可化为直线l过定点A(1，2)，则圆心到直线的距离的最大值为|OA|，此时|MN|的长度最短．所以|MN|的最短长度为．故选：C.6．过圆上的点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（       ）A．2 B． C． D．【答案】B【详解】分别设圆，圆的圆心为，，根据题意可知，，所以，因为PQ与相切于点Q，由几何关系可知，所以当最小时，有最小值，所以当P在线段上时，最小，此时，所以的最小值为.故选：B．二、多选题7．已知圆上两点A、B满足，点满足：，则下列结论中正确的是（       ）A．当时，B．当时，过M点的圆C的最短弦长是C．线段的中点纵坐标最小值是D．过M点作图C的切线且切点为A，B，则的取值范围是【答案】CD【详解】解：圆的圆心，半径，令圆心到直线距离为，对于A，令直线，即，显然有，线段的垂直平分线平行于轴，此时点不存在，即不存在，A不正确；对于B，当 时，点在圆内，而圆的直径长为2，则过 点的圆的最短弦长小于2，而，B不正确；对于C，令线段的中点，则，则，即，解得，当且仅当时取等号，所以，C正确；对于D，依题意及切线长定理得：，解得或，所以的取值范围是，D正确．故选：CD．8．已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，则（       ）A．线段的长度大于B．线段的长度小于C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为【答案】AD【详解】如图示： ,根据直角三角形的等面积方法可得， ,由于，故，由于，故A正确，B错误；当直线与圆相切时，由题意可知AP斜率存在，故设AP方程为 ，则有 ，即 ， 即 或 ，设原点到直线的距离为d,则 ，当时， ；当时，，故C错误；当直线平分圆的周长时，即直线过点,AP斜率存在，设直线方程为，即 ，则 ，即，故原点到直线的距离为,则 ，故D正确；故选:AD三、解答题9．已知圆的圆心在轴上，且经过点．(1)求线段的垂直平分线方程；(2)求圆的标准方程；(3)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．【答案】(1)(2)(3)或【解析】(1)设的中点为，则．由圆的性质，得，所以，得.所以线段的垂直平分线的方程是.(2)设圆的标准方程为，其中，半径为，由（1）得直线的方程为，由圆的性质，圆心在直线上，化简得，所以圆心，，所以圆的标准方程为.(3)由（1）设为中点，则，得，圆心到直线的距离，当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程，即，由题意得，解得；故直线的方程为，即；综上直线的方程为或.10．已知点，动点满足，记的轨迹为曲线．(1)求的方程，并说明是什么曲线；(2)设直线与轴的交点为，过的两条直线都不垂直于轴，与交于点，，与交于点，直线与分别交于两点，证明：．【答案】(1)曲线的方程为，是以点为圆心，半径为2的圆(2)证明见解析【解析】(1)设，，因为，所以，化简得：．所以曲线的方程为，是以点为圆心，半径为2的圆．(2)直线与轴的交点为，设．设直线，则．联立直线和曲线的方程，得方程组，消去得，则．同理三点共线，，，得，同理．，.培优第三阶——高考沙场点兵一、单选题1．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（       ）A． B． C．1 D．【答案】A【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．故选：A．2．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则       A． B． C． D．【答案】C【详解】由题可得圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，则弦长为，则当时，弦长取得最小值为，解得.故选：C.二、填空题3．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．【答案】【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：4．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．【答案】或或【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或.5．（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．【答案】【详解】解：∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，，解得，∴，，的方程为.故答案为：