数学选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置优秀第1课时导学案

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学习目标
1．经历探索直线和圆位置关系的过程，理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.
2．能根据定义来判断直线和圆的位置关系，会根据直线和圆相切的定义画出已知圆的切线.
3．根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系.
重点难点
1.重点：会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系
2.难点：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系
课前预习 自主梳理
要点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
思考：几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
提示 “几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”．判断直线与圆的位置关系，一般用几何法．
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( )
(2)直线l：x＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交且过圆心．( )
(3)若直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝a(a>0)相切，则a＝4.( )
(4)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
【详解】 (1)错误．直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切．
(2)正确．因为圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)刚好在直线l：x＝0上，所以直线l：x＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交且过圆心．
(3)错误．若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即eq \f(|a|,\r(2))＝eq \r(a)，解得a＝2.
(4)正确．因为圆心到直线的距离大于半径，所以直线和圆的位置关系是相离，没有公共点，因此联立消元后得到的一元二次方程无解．
2.的半径为7 cm，圆心到直线l的距离为8 cm，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交B．相离
C．相切D．以上均不对
【答案】B
【分析】根据圆与直线的位置关系即可得答案.
【详解】的半径为，圆心到直线l的距离为，则，所以直线与的位置关系是相离.
故选：B.
3.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B为切点，C为圆心，那么四边形PABC面积的最小值是（ ）
A．2B．
C．3D．3
【答案】B
【分析】由圆C的标准方程可得圆心为（1，1），半径为1，由于四边形PACB面积等于，由于，故求解最小时即可确定四边形PACB面积的最小值.
【详解】圆C：x2+y2-2x-2y+1=0 即，
表示以C（1，1）为圆心，以1为半径的圆，
由于四边形PACB面积等于2×××=，而，
故当最小时，四边形PACB面积最小，
又的最小值等于圆心C到直线l：3x+4y+8=0的距离d，而=3，
故四边形PACB面积的最小值为，
故选：B．
4.若直线l：与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】解：直线l：恒过定点，
由，
所以曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，），如下图所示：
当直线l经过点时，l与曲线C有两个不同的交点，此时；
当l与半圆相切时，由，得，
分析可知当时，l与曲线C有两个不同的交点，
故选：A
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
【实际情境】（展示日出的动图）古诗里描写道：“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，它生动地描绘了日出的绚丽景象。大家有没有想过，在日出的过程中，其实也蕴含了有趣的数学知识。
问题1：如果我们把太阳近似看作一个圆，海天交线看做一条直线，请大家观察一下，在日出的过程，体现了直线与圆的哪些位置关系？
1．点与圆的位置关系有哪几种？
2．观察下列三幅图片，地平线与太阳的位置关系是怎样的？ 这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种？
【预设的答案】直线与圆相交，相切，相离。
【设计意图】直线与圆的位置关系在现实生活中有非常多的实例，通过日出的图象来引入本节课的内容，直观且自然，让学生体会到数学是源于实际生活的.
师生活动：
（1）学生经过观察思考，作出解答.
（2）教师针对学生的不同答案作出适时评价，并指出这是从形的角度给出的判定方法.
设计意图：让学生回顾初中直线与圆三种位置关系的定义和直观的判断方法，此法结合坐标运算就是高中的几何法,侧重于“形”的方面.
问题2：（呈现直线与圆的三种位置关系的图象）对于这三种位置关系，图象呈现出什么样的几何特征呢？在初中，我们是怎么判断直线与圆的位置关系的？
【预设的答案】通过直线与圆的公共点个数来判断，直线与圆相交时有两个公共点，相切时有一个公共点，相离时没有公共点。
问题3：除了公共点个数的不同，我们还能直观地看到，从相交到相离，圆和直线的“距离”在“变远”，如何从这个角度来刻画直线与圆的位置关系呢？
【预设的答案】比较圆心到直线的距离d与半径r之间的大小关系，当dr时直线与圆相离。
问题4：这两种判定方法都是从几何特征来认识直线与圆的位置关系，前面我们学习了直线和圆的方程，已知直线和圆的方程，如何判断直线与圆的位置关系呢？下面，我们将通过具体例子来进行研究。
圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r.
(1)d与r的大小有什么关系？
(2)你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗？

①直线和圆相交⇔ d ＜ r；
②直线和圆相切⇔ d ＝ r；
③直线和圆相离⇔ d ＞ r.
判定直线与圆的位置关系的方法有两种：
(1)根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；
(2)根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r 的关系来判断．
【设计意图】通过回顾初中时判定直线与圆位置关系的方法，调动学生原有的知识经验，在定性描述的基础上，结合直线和圆的方法，让学生思考如何定量刻画，从而引出本节课的主要内容。
环节二 观察分析，感知概念
在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系．前面我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系．下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系．
我们知道，直线与圆有三种位置关系：
(1)直线与圆相交，有两个公共点；
(2)直线与圆相切，只有一个公共点；
(3)直线与圆相离，没有公共点．
思考
在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？根据上述定义，如何利用直线和圆方程判断它们之间的位置关系？
下面，我们通过具体例子进行研究．
环节三 抽象概括，形成概念
问题5：下面从特例入手用方程研究直线与圆的位置关系，你能尝试解决下面的问题吗？
例1 已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长．
分析：思路1：将判断直线与圆的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．
思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长．
师生活动：
（1）学生先独立思考，讨论交流后让学生采用先写再讲的形式展示不同解法.
（2）教师在学生讨论时参与讨论并做个别辅导与答疑.
（3）教师引导学生对不同解法特点进行总结：
解法1： 联立直线与圆的方程，得
消去，得，解得，．
所以，直线与圆相交，有两个公共点．
把，分别代入方程①，得，．
所以，直线与圆的两个交点是，． 因此．
解法2：圆的方程可化为，因此圆心的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离． QUOTE 所以直线l与圆C相交，有两个公共点．
如图2.5-1，由垂径定理，得．
追问 本例中直线与圆是相交的，那么直线截圆得到的弦长是多少？
师生活动：
学生独立完成解答并展示：在代数法中求得交点为代入两点间距离公式可得；如图由垂径定理，得.
设计意图：本环节由一个问题，一个例题和一个追问构成，从特殊到一般的研究路径，旨在让学生经历用方程判断直线与圆的位置关系的过程,并计算在直线和圆相交时得到得弦长，其实两种方法都是通过坐标研究几何图形的位置关系，只是侧重点不一样，因为几何法还利用了图形的几何性质，计算量相对较少；代数法是坐标法的重要体现，更具程序性和普适性，在次例基础上体会运用坐标法研究几何问题的一般流程，为一般化几何法和代数法做准备。
环节四 辨析理解 深化概念
问题6：把以上的方法一般化，即：在平面直角坐标系中，直线与圆,如何根据方程来判断直线与圆的位置关系？
师生活动：
学生完成总结：
通过上述解法我们发现，在平面直角坐标系中，要判断直线与圆的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组
的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系．若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．
我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径r，从而求得圆心到直线的距离d，通过比较d与r的大小，判断直线与圆的位置关系若相交，则可利用勾股定理求得弦长．
适当地利用已知图形的几何性质，有助于简化计算．
追问：以上两种方法你更喜欢哪一种？说出你的理由.
师生活动：
（1）学生思考后回答.
（2）教师补充及总结：联立方程组用判别式法的代数特征更明显，更具有一般性，这在以后研究直线与圆锥曲线的位置关系时仍然适用。d与r的大小关系法更关注几何图形的结构特征，注重“形”的运用，解析几何是研究几何图形的，若能充分挖掘形的特征，往往会有意外的惊喜。
思考
与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？例1中两种解法的差异是什么？
环节五 概念应用，巩固内化
例2 过点作圆的切线，求切线的方程．
分析：如图2.5-2，容易知道，点位于圆外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．我们设切线方程为 QUOTE ?−1=??−2 ，为斜率．由直线与圆相切可求出的值．
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 QUOTE ?−1=??−2 ，即．
由圆心到切线的距离等于圆的半径1，得
QUOTE 1−2??2+1=1 ，
解得或．
因此，所求切线的方程为，或．
解法2：设切线的斜率为，则切线的方程为 QUOTE ?−1=??−2 ．
因为直线与圆相切，所以方程组
，
只有一组解．
消元，得
． ①
因为方程①只有一组解，所以
．
解得或．
因此，所求切线的方程为，或．
设计意图：在研究完直线与圆的位置关系后，再让学生解决圆的切线问题，因为是熟悉的问题情景，所以学生更加容易入手。直线与圆相切是直线与圆特殊而又重要的位置关系。本例中的待定系数法求圆的切线方程具有普遍意义。
环节六 归纳总结,反思提升
问题7：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
本节课学习的概念有哪些？
在解决问题时，用到了哪些数学思想？
知识方面：直线与圆的位置关系、弦长问题、圆的切线方程；
方法方面：几何法、代数法；
思想方面：数形结合思想，分类讨论思想，类比思想等。
判定直线与圆的位置关系的方法有两种
根据定义，由直线 与圆的公共点的个数来判断；
根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断。在实际应用中，常采用第二种方法判定.
环节七目标检测，作业布置
完成教材：教科书第95页 习题第1，2，3,4题.
设计意图：课后巩固所学.
备用练习1. 若关于x的方程有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况,再用数形结合,先求出相切时的斜率,再得到有两个交点的情况.
【详解】将方程转化为:半圆,与直线有两个不同交点.
当直线与半圆相切时,有，，
半圆与直线有两个不同交点时.
直线,一定过,
由图象知直线过时直线的斜率k取最大值为，
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查用解析几何法来解决方程根的情况,关键是能够转化为一些特定的曲线才能用数形结合求解.
2.已知直线：，圆：，下列结论错误的是（ ）
A．直线的纵截距为
B．上的点到直线的最大距离为5
C．上的点到点的最小距离为
D．上恰有三个点到直线的距离为2
【答案】B
【分析】根据直线方程的性质、直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，依次判断选项即可.
【详解】对选项A，直线：，纵截距为，故A正确.
对选项B，圆：，圆心，半径，
上的点到直线的最大距离为，故B错误.
对选项C，因为，所以点在圆外，
所以上的点到点的最小距离为，
故C正确.
对选项D，圆心到直线：的距离，
因为，所以上恰有三个点到直线的距离为2，故D正确.
故选：B
3.已知直线与圆相交于A､B两点，且，则直线l的倾斜角为 .
【答案】0或
【分析】求出圆心到直线的距离，再由圆的半径，圆心到直线的距离和弦长之间的关系求出k的值，进而求出直线l的倾斜角．
【详解】直线，即，
可得圆心到直线l的距离，
圆的半径r＝2，
所以弦长，
由题意
整理可得：，
解得或
所以倾斜角为0或；
故答案为：0或.
4.．过圆上一点作圆的切线，则直线的方程为 ．
【答案】x-2y-5=0
【分析】本题考查在某点切线问题，根据，可得直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程．
【详解】根据题意易知直线得斜率存在，则，即．
则直线得方程为：即：x-2y-5=0．
故答案为：x-2y-5=0．
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
图形
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离 d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
dd＝r
d>r
代数法：联立它们的方程
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0