高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）优秀当堂达标检测题

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1．（2023·吉林长春）函数在下列区间一定有零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，，，所以，
故函数在上一定有零点．故答案为B.
2．（2023·安徽安庆）函数的零点所在的一个区间是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，在和上是增函数，时，，时，，因此存在零点的一个区间是．故选B．
3．（2023·安徽）函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数，在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由函数的一个零点在区间内得，
解得，故选：A
4．（2023湖南）若关于x的方程有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】关于x的方程有解，即与的图象有交点，
画出与的图象如下图，

则，则.
故选：B.
5．（2023春·云南红河 ）已知，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】由题设，当时且递减，当时且递减，
令，则，可得或，如下图示：

由图知：时有一个零点，时有两个零点，故共有3个零点.
故选：C
6．（2023秋·山东滨州·高一统考期末）已知函数在区间内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】函数在上单调递减，函数在上都单调递增，
因此函数在上都单调递减，
在上最多一个零点，，即有，
，则，而，即，
所以.
故选：A
7．（2023秋·广东江门·高一统考期末）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数，，的零点，
即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标，
如图所示：
由图可得.
故选：B
8．（2023春·湖南岳阳·高一校联考阶段练习）设，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数为上的增函数，且，，
因为，由零点存在定理可知；
构造函数，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数为上的增函数，且，，
因为，由零点存在定理可知.
因为，则，因此，.
故选：B.
9．（2023秋·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）函数零点所在的区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由单调性的性质易得在上单调递增，
又，，
所以的零点所在的区间是.
故选：C.
10．（2022秋·江西上饶·高一统考期末）若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）
A．1.2B．1.4C．1.3D．1.5
【答案】B
【解析】因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以满足精确度；
所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .
故选：B
11．（2023山东）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:
那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）可以是（ ）
A．1.25B．1.39C．1.42D．1.5
【答案】C
【解析】依据题意，，，
所以方程的一个近似解为1.42，满足误差不超过0.025，
故选：C.
12．（2023陕西）用二分法求方程在上的解时，取中点，则下一个有解区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，易得为增函数，又因为，
，
，
所以下一个有根区间为
故选：D
13．（2023黑龙江）用二分法求函数在区间上的零点，要求误差不超过0.01时，计算中点函数值的次数最少为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【解析】根据题意，原来区间的长度等于2，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，
则经过n次操作后，区间的长度为，
令，即，计算中点函数值的次数最少为7.
故选：B．
14．（2023秋·高一课时练习）（多选）下列图象表示的函数有零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】函数的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标.
A项中函数图象与x轴没有交点，所以该函数没有零点；
B项中函数图象与x轴有一个交点，所以该函数有一个零点；
C，D两项中的函数图象与x轴有两个交点，所以该函数有两个零点.
故选：BCD
15．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知函数，的零点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称，
设与图象的交点为A，
与图象的交点为，
则与关于直线对称，则，．
因为，所以，则，即，
因为的图象与直线的交点为，
所以，，，则．
故选：ABD.
16．（2022秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）（多选）已知函数．若存在，使得，则下列结论正确的有（ ）
A．B．的最大值为4
C．t的取值范围是D．的取值范围是
【答案】AD
【解析】如图，作出函数的图象，根据，可知，是与的两个交点，
根据对称性可知，则，
因为，所以，故A正确，B错误；
，
由图可知t的取值范围是，故C错误；
因为，所以，又，则的取值范围是，故D正确．
故选：AD
17．（2023秋·高一课时练习）（多选）以下每个图象表示的函数都有零点，其中能用二分法求函数零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】根据二分法的思想，函数在区间上的图象连续不断，且，
即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二或多个小区间，
然后采用二分法逐步得到零点的近似值，
对各图象分析可知，A、B、D都符合条件，
而选项C不符合，因为图象经过零点时，零点两侧函数值的符号没有发生变化，
因此不能用二分法求函数零点，
故选：ABD
18．（2023秋·北京东城）已知函数则函数的零点为
【答案】
【解析】当时，由，即，解得或（舍），
当时，由，解得，
综上可得，函数的零点为．
故答案为：．
19．（2023秋·高一课时练习）函数有两个不同零点，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可知，方程有两个不同解，故，即.
故答案为：.
20（2023秋·高一课时练习）方程x＋lg x＝3解的个数为 ．
【答案】1
【解析】解法一 令，令，
则，
在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象，如图所示．

由图可知函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象只有一个交点，
即函数只有一个零点．故原方程只有1个解．
解法二 设，因为，，
所以，说明函数在区间内有零点．
又在区间上是增函数，所以原方程只有一个解．
故答案为：1
21．（2023秋·全国·高一专题练习）设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为 .
【答案】3
【解析】∵函数是定义域为的奇函数，
∴，所以0是函数的一个零点，
当时，令，
得到，
分别画出函数和的图像，如图所示，有一个交点，

所以函数在上有一个零点，
又根据对称性知，当时，函数也有一个零点.
综上所述，的零点个数为3.
故答案为：3.
22．（2023秋·高一课时练习）下列是函数在区间上一些点的函数值. 由此可判断：方程的一个近似解为 (精确度0.1)．
【答案】1.438(答案不唯一)
【解析】由题设有，于是，
所以，函数在区间内有零点，此时，
取区间的中点，又，
因为，所以，此时，
再取的中点，又，
因为，所以，此时，
再取的中点，又，
因为，所以，此时，
再取的中点，又，
因为，所以，此时，
再取的中点，又，
因为，所以，
所以，当精确度为0.1时，方程的一个近似解为1.438．
故答案为：1.438．(答案不唯一)
23．（2023秋·高一课时练习）音量大小的单位是分贝，对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由公式(其中是人耳能听到的声音的最低声波强度)计算得到，设dB的声音的声波强度为，dB的声音的声波强度为，则是的 倍.
【答案】10
【解析】由题意得，，所以，
则，所以.
故答案为：
24．（2023秋·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期末）《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议11月6日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险.武汉市某企业生产某种环保型产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）．经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本．每千件产品售价为100万元，设该企业生产的产品能全部售完．
(1)写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)105千件，最大利润是1000万元
【解析】（1）当时，；
当时，；
所以；
（2）当时，，
当时，取得最大值，且最大值为950，
当时，
，
当且仅当时，等号成立．
因为，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，
最大利润是1000万元.
25．（2022秋·江苏南通·高一校考阶段练习）某农科所计划在院内围建一块面积为的矩形基地搞新品种蔬菜种植试验，根据规划要求基地长的一面靠围墙，其余用栅栏围成，设矩形基地的长为m，栅栏长是m.

(1)写出关于的函数关系式：
(2)由于实际需要基地的长不少于m，且不超过m，问如何设计所用相栏长最小？最小值是多少？
【答案】(1)
(2)长为m时所用的栅栏的最小，最小值为m.
【解析】（1）根据题意可得，矩形基地的宽为，
所以栅栏长；
即关于的函数关系式为.
（2）由题意知；
由对勾函数性质函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，随着的增大而增大，
因此，当基底的长为m时所用的栅栏的最小，最小值为m.
即当长为m时所用的栅栏的最小，最小值为m.
26．（2023·全国·高一课堂例题）北京时间2023年3月30日18时50分，中国在太原卫星发射中心成功将宏图一号01组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．据了解，在不考虑空气动力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度（单位：），其中（单位：）是喷流相对速度，（单位：）是火箭（除推进剂外）的质量，（单位：）是推进剂与火箭质量的总和，称为总质比，已知A型火箭的喷流相对速度为．
(1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．
参考数据：，．
【答案】(1)最大速度约为
(2)74
【解析】（1）当总质比为200时，，
∴当总质比为200时，A型火箭的最大速度约为．
（2）由题意，经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为，总质比变为，
要使火箭的最大速度至少增加，则需，
化简得，，
∴，整理得，∴，则，
由参考数据，知，
∴，
∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74．
27．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·高一海拉尔第一中学校考期末）某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为(a为常数).已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示.

(1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；
(2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室?
【答案】(1)
(2)至少需要经过0.8个小时后，学生才能回到教室
【解析】（1）由图象可知：当时，图象为正比例函数图象，设为，
可得，解得
所以y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为.
（2）当，令，则，
整理得，则，解得，
所以至少需要经过0.8个小时后，学生才能回到教室.
28．（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据：
若奥密克戎变异株的感染人数y与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．
（参考数据：，，，）
(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人．
【答案】(1)，
(2)11个
【解析】（1）若选，将，和，代入得，解得
得，代入有，不合题意．
若选，将，和，代入得，
解得，得．代入有，符合题意．
（2）设至少需要x个单位时间，则，即，
则，又，，
，∵，
∴x的最小值为11，即至少经过11个单位时间不少于1万人．
29．（2023秋·高一课时练习）下图所示是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象，两地间的距离是.请你根据图象解决下面的问题：

(1)谁出发较早，早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？
(2)两人在途中行驶的速度分别是多少？
(3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式；
(4)指出在什么时间段内两车均行驶在途中（不包括端点）；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x的方程或不等式，并求解．
①自行车行驶在摩托车前面；
②自行车与摩托车相遇；
③自行车行驶在摩托车后面．
【答案】(1)骑自行车者出发较早，早；骑摩托车者到达乙地较早，早
(2)，
(3)，
(4)答案见解析
【解析】（1）由题图可以看出：骑自行车者出发较早，早；骑摩托车者到达乙地较早，早.
（2）对骑自行车者而言：行驶的距离是，耗时，
所以其速度是：；
对骑摩托车者而言：行驶的距离是，耗时，
所以其速度是.
（3）依题意，可设自行车行驶过程的函数图象为，
将代入，得，解得，
所以；
设摩托车行驶过程中的函数图象为，
因为当时，，而且当时，；
所以，解得，
所以表示摩托车行驶过程的函数解析式为.
（4）在时间段内两车均行驶在途中．
①自行车行驶在摩托车前面：，所以.
②由题意得，，得.
③自行车行驶在摩托车后面：，得.
30．（2023秋·高一课时练习）某医学专家为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验，经检测，病毒细胞的个数与天数的记录如下表：
已知该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过的时候小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的.
(1)为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物(精确到天，)?
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命(精确到天)?
【答案】(1)第天
(2)第天
【解析】（1）由题意知：第一次注射药物前病毒细胞个数关于天数的函数关系式为，
为了使小白鼠在试验过程中不死亡，则，，
解得：，又，第一次最迟应在第天注射该种药物．
（2）由题意知：注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为，
则再经过天后小白鼠体内的病毒细胞个数为，
由得，，
即，，
再经过天必须注射药物，即第二次最迟应在第天注射该种药物.
1．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，，满足，，，则，， 的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在同一平面直角坐标系内作出
的图像
过点；过点；
过点；过点，
则与图像交点横坐标依次增大，
又与图像
交点横坐标分别为，则.
故选：C
2．（2022秋·河北邢台·高一邢台市第二中学校考期末）已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意作函数与的图象，
∵方程有四个不同的解且，
∴关于对称，即，
当得或，则，
由题知，，故，
所以，
故，
因为，
设，则由对勾函数的性质可知，
在单调递增，所以，
的取值范围是
故选：B.
3（2022秋·四川成都 ）（多选）已知函数的两个零点分别为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】函数的两个零点即函数与的图象的两个交点的横坐标，作出两个函数的图象，如下图：
则，，即，，故D错误；
由图可知，且，，则，
由，，则，即，可得，即，
故A、C正确，B错误.
故选：AC.
4．（2023秋·江西吉安·高一江西省安福中学校考期末）（多选）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】函数的图象如图所示，
设，则，
则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，
对于A：函数的图象关于直线对称，则，故A正确；
对于B：由图象可知，且，
∴，即，所以，故B正确；
当时，，
由图象可知，则，故C错误；
由图象可知，
所以，故D错误.
故选：AB.
5．（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）函数有零点时，的范围是 .
【答案】
【解析】有零点，等价于有解，
令，得，；
当，即时，；
当，即时，；
若，则，当且仅当时取等号，所以；
若，则，当且仅当时取等号，所以，即；
综上可得.
所以的范围是.
故答案为：
6．（2023秋·河南南阳·高一统考期末）已知函数，若函数有7个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数的图象如下图所示：

令，函数可化为，
函数有7个零点，等价于方程有7个不相等的实根，
当时，可有三个不相等的实根，
当时，可有四个不相等的实根，
当时，可有三个不相等的实根，
设的两根为，且，
若，方程无零根，不符合题意，
若，，由题意可知：
，
若，则有，此时，
这时，显然不满足，
综上所述：实数的取值范围是，
故答案为：
7．（2023秋·高一课时练习）若函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若函数在区间内恰有一个零点，
则方程在区间内恰有一个根，
若，则方程可化为：，得，不成立；
若时，设方程的两根为，且，得，且，
当时，有
故，，不符合题意；
若时，则函数图象开口向上，又，
若函数在上恰有一个零点，则，所以.
综上：.
故答案为：
8．（2023春·广东广州·高一校考期中）已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设，该直线恒过点，方程有四个不同的实数根，
如图作出函数的图象，结合函数图象，则，
所以直线与曲线有两个不同的公共点，
所以在有两个不等实根，
令，
实数a满足，
解得．

故答案为：
9．（2022秋·广西百色·高一统考期末）已知函数，若关于的方程有个不同根，则整数的取值范围是 .
【答案】
【解析】作出函数的图象如图：关于x的方程有6个不同根，
令，，即方程有2个不同的解，
可能一个在上，一个在上，也可能两个都在上.
令，
若在上和上各有一个不同的零点，所以，解得，
若在有两个不同的零点，所以，该不等式组无解，
综上，∴.
故答案为：
.
10．（2023秋·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知函数是定义域上的奇函数，且.
(1)判断并证明函数在上的单调性；
(2)令函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围；
(3)令函数，若对，，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)；
【解析】（1），且是奇函数，
，
，解得，
．
检验，有解析式可知，定义域，关于原点对称，
，
所以是奇函数，满足要求；
函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：任取，且，
则，
，且，
，，
∴，
，即，
函数在上单调递减.
同理可证明函数在上单调递增．
（2）函数在上有两个零点，
即方程在上有两个不相等的实数根，
所以在上有两个不相等的实数根，
则，
解得.
（3）由题意知，
令，，
由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，
，
因为函数的对称轴方程为，
函数在上单调递增，
当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，.
所以，，
又因为对任意的，都有恒成立，
，
即，
解得，
又，
所以的取值范围是．x
1
1.25
1.375
1.4065
1.438
0.165
x
1.5
1.625
1.75
1.875
2
0.625
1.982
2.645
4.35
6
1
2
3
4
5
6
…
(人数)
…
6
…
36
…
216
…
天数
病毒细胞的个数