人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示同步训练题

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A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据函数形式可知，函数的定义需满足，解得：且，
所以函数的定义域为.故选：B
2．（2023春·辽宁）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，所以，要使函数有意义，则解得.故选：D
3．（2022·江西赣州·）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为的定义域是，所以，根据抽象函数定义域求法，
在函数中，，解得或.故选：D.
4．（2023·高一单元测试）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数的定义域是，所以，所以,即的定义域为，所以，解得，即的定义域是.故选:C.
5．（2023·全国·高一专题练习）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【解析】对选项A，因为定义域为R，定义域为R，定义域相同，
但，所以，不是同一函数，故A错误；
对选项B，因为定义域为R，定义域为，
定义域不同，所以，不是同一函数，故B错误；
对选项C，因为定义域为，定义域为，
定义域不同，所以，不是同一函数，故C错误；
对选项D，因为定义域为R，定义域为R，
又，所以，是同一函数，故D正确.
故选：D
6．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】对于A，与定义域均为，所以，
与为相等函数，A正确；
对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；
对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；
对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.
故选：A.
7．（2022·全国·高一专题练习）下列函数中，值域是的是（ ）
A．B．，
C．，D．
【答案】D
【解析】对选项A：，即函数的值域为，错误；
对选项B：，则函数在上为减函数，则，即函数的值域为，错误；
对选项C：函数的定义域为，函数的，值域不连续，错误；
对选项D：，函数的值域为.
故选：D
8．（2023春·宁夏银川·高二统考学业考试）某同学离家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，图中d轴表示该学生离学校的距离，t轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意可知，关于的函数图象呈下降趋势，故A和C都不正确；
由于该同学是先跑后走，所以关于的函数图象下降速度是先快后慢，故B不正确，D正确.故选：D．
9．（2023·云南）（多选）下列四个图象中，是函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由函数的定义可知，对任意的自变量，有唯一的值相对应，
选项B中的图像不是函数图像，出现了一对多的情况，
其中选项A、C、D皆符合函数的定义，可以表示是函数.故选：ACD
10．（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列各组函数不是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】ABD
【解析】对于A，的定义域是，的定义域是R，定义域不同，故不是同一函数，A错；
对于B，与的对应关系不同，故不是同一函数，B错；
对于C，经过化简可知两函数的解析式与定义域都一样，所以为同一函数，C对；
对于D，的定义域是，的定义域是，定义域不同，故不是同一函数，D错.
故选：ABD
11．（2022秋·甘肃兰州·高一校考期中）（多选）下列函数定义域和值域相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A；的定义域为,值域也为，故A正确，
对于B； 的定义域为,值域为,故B错误，
对于C；定义域为，值域为，故C正确，
对于D；的定义域为和值域均为，故D正确，
故选：ACD
12．（2022·高一课时练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（ ）

A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min
B．甲从家到公园的时间是30min
C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为
D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为
【答案】BCD
【解析】由图象可知，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，故A错误，
由题中图象可知，甲从家到公园的时间是30min，故B正确，
当0≤x≤30时，设y＝kx（k≠0），则2＝30k，解得k，故C正确，
当30≤x≤60时，设y＝kx+b，直线过点（40，2），（50，3），
则，故y与x的关系式为，故D正确．
故选：BCD
13．（2023·广东河源）（多选）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】由图像可知ACD选项的图像满足一一对应，一个有唯一的与之对应，
选项B表示的是一个圆，不满足一一对应，除左右与轴的交点外，
一个有两个与之对应，故选项B不能表示y是x的函数.
故选：ACD.
14．（2022春·北京·高一校考期中）函数的定义域为______.
【答案】
【解析】要使有意义，则，解得，且；即，且，
所以的定义域为.故答案为：
15．（2023·江苏·高一假期作业）若函数的定义域为[－2,1]，则的定义域为________，的定义域为________．
【答案】
【解析】满足，解得，即，
即函数的定义域为.
由，得，即函数的定义域为.
故答案为：；.
16．（2023·浙江）（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．
（2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．
【答案】
【解析】（1）令，则，
因为函数的定义域为，所以，所以函数的定义域为．
（2）令，，则，．
因为函数的定义域为，所以，所以函数的定义域为，
所以，所以，所以函数的定义域为．
故答案为：；
17（2023甘肃）试求下列函数的定义域与值域.
(1)，
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)定义域为，值域为.
(2)定义域为，值域为
(3)定义域为，值域.
(4)定义域是，值域.
【解析】（1）函数的定义域为，则，
同理可得，，，，所以函数的值域为.
（2）函数的定义域为，因为，所以函数的值域为.
（3）函数的定义域为，因为，
所以函数的值域为.
（4）要使函数有意义，需满足，即，故函数的定义域是.
设，则，于是，
又，所以，所以函数的值域为.
18．（2022·高一单元测试）（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．
（5）已知的定义在R上的函数，，且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
（5）
【解析】（1）因为，所以．
（2）方法一 设，则，，即，
所以，所以．
方法二 因为，所以．
（3）因为是二次函数，所以设．由，得c＝1．
由，得，
整理得，
所以，所以，所以．
（4）用－x替换中的x，得，
由，解得．
（5）方法一 令，则，所以．
方法二 令，则，即，令，则
19．（2022·全国·高一假期作业）甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出y＝f（x）的函数解析式．
【答案】f（x）＝
【解析】当x∈[0，30]，设y＝k1x＋b1，由已知得
∴k1＝，b1＝0，y＝x；
当x∈（30，40）时，y＝2；
当x∈[40，60]时，设y＝k2x＋b2，
由已知得
∴k2＝，b2＝－2，y＝x－2.∴f（x）＝
20．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）已知函数
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的定义域和值域．
【答案】(1)
(2)或
(3)作图见解析，定义域为，值域为．
【解析】（1）解：因为所以．
（2）解：当时，，不合题意，应舍去；
当时，，解之得或（舍）；
当时，，则，
综上，或．
（3）解：由题可作图如下：
则函数定义域为，值域为．
21．（2022秋·广东佛山·高一佛山市顺德区容山中学校考期中）已知函数
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)在给定的坐标系中，作出函数的图像.
【答案】(1)，
(2)或或
(3)答案见解析
【解析】（1），
（2）当时，，因为，得；当时，，因为，得；当时，，因为，得，综上所述：或或
（3）描点连线，作图即可
22．（2023·江苏·高一假期作业）求下列函数的值域．
(1)，；
(2)；
(3)，；
(4)y＝；
(5)y＝2x－.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)）
(5).
【解析】（1）函数的定义域为，
因为，，，
所以该函数的值域为．
（2）函数的定义域为R，因为，所以该函数的值域为.
（3）函数的定义域为，，所以该函数的值域为.
（4），显然，所以y≠2.
故函数的值域为.
（5）令，则，

所以，
由t≥0，再结合函数的图象（如图），可得函数的值域为.
1．（2022·北京）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】设题中函数为，则，
当时，；
当时，视其为关于x的二次方程，
判别式，
综上，故值域为．
故选：C.
2．（2022秋·福建厦门）若函数的值域是，则此函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由函数的值域是，
所以当时，，
当时，
即，解得，
所以函数的定义域为：，
故选：D
3．（2023·高一课时练习）已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（ ）
A．2，3B．3，4C．3，5D．2，5
【答案】D
【解析】函数的定义域为A，值域为B，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，；
所以，又，
所以若，解得或，因为，所以.
此时，所以，则；
若，又，所以不成立.
综上，.
故选：D.
4．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域为，则常数______．
【答案】7或
【解析】因为，所以，
，即，
因为函数的值域为，
所以是方程的两个根，
所以，，
解得或，所以7或.
故答案为：7或.
5．（2023·黑龙江哈尔滨）函数在上有意义，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意函数在上有意义，
即在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，解得，
故实数a的取值范围为，
故答案为：
6．（2023·广东深圳）已知函数．
(1)求与与；
(2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现；
(3)求．
【答案】(1)；
(2)；证明见解析
(3)
【解析】（1）∵，
∴，＝， ，
＝.
（2）由（1）发现.
证明如下：
＝++.
（3）.
由（2）知，
，
…
，
∴原式.
7．（2023秋·高一单元测试）水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放且个单位的营养液，它在水中释放的浓度克/升随着时间天变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于克/升时，它才能有效．
(1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？
(2)若先投放2个单位的营养液，6天后再投放个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能够持续有效，试求的最小值．
【答案】(1)6天
(2)2
【解析】（1）因为一次投放4个单位的营养液，所以水中释放的营养液浓度为， ．
当时，，解得； ．
当时，，解得； ．
综上求得，
所以一次投放4个单位的营养液，则有效时间可持续6天． ．
（2）设从第一次投放起，经过x（）天后，浓度为 ．
因为，所以，
所以即
所以
当且仅当，即时，等号成立，所以
答：为使接下来的4天中能够持续有效m的最小值为2
8．（2023春·湖北荆州·高一统考阶段练习）已知定义域为的函数，对于任意的恒有.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)1；
(2)1.
【解析】（1）因为对于任意的恒有，
则令，得，又，则，
又令，得，即，
因此，，
，，
所以.
（2）因为对于任意的恒有，
则令，得，而，有，
令，得，又，则有，
所以.