人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）表格教学设计

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 第五章 函数的应用（二）
4.5.1 函数零点与方程的解

本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.5.1节《函数零点与方程的解》，由于学生已经学过一元二次方程与二次函数的关系，本节课的内容就是在此基础上的推广。从而建立一般的函数的零点概念，进一步理解零点判定定理及其应用。培养和发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

课程目标
学科素养
1、了解函数（结合二次函数）零点的概念；
2、理解函数零点与方程的根以及函数图象与x轴交点的关系,掌握零点存在性定理的运用；
3、在认识函数零点的过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学数形结合及函数思想；
a.数学抽象：函数零点的概念；
b.逻辑推理：零点判定定理；
c.数学运算：运用零点判定定理确定零点范围；
d.直观想象：运用图形判定零点；
e.数学建模：运用函数的观点方程的根；


教学重点：零点的概念及存在性的判定；
教学难点：零点的确定．

多媒体

教学过程
设计意图
核心教学素养目标
（一）创设问题情境
问题1 求下列方程的根．
（1）； （2）； （3）；
解方程的历史
方程解法时间图 · 中国
公元50年—100年
一次方程、二次方程
和三次方程根
11世纪·北宋·贾宪
三次方程正根数值解法
13世纪·南宋秦九韶
任意次代数方程正根解法
7世纪·隋唐·王孝通
三次或三次以上方程


方程解法时间图 · 西方
一次方程、二次方程
的一般解法
1541年·意大利
塔尔塔利亚
三次方程一般解法
1802～1829挪威·阿贝尔
证明了五次以上一般方程没有求根公式
记载了费拉里的四次方程一般解法
9世纪·阿拉伯花拉子米
1545年·意大利
卡尔达诺

（二）问题探究
探究1：观察函数的图象思考：
方程
x2-2x-3=0
x2-2x+1=0
x2-2x+3=0
根
x1=-1，x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数
y=x2-2x-3
y=x2-2x+1
y=x2-2x+3
图象
4
2
-2
-4
3
-1
1
2
O
x
y

4
2
-2
-4
3
-1
1
2
O
x
y

4
2
-2
3
-1
1
2
O
x
y

图象与x轴的交点
两个交点：
(-1,0)(3,0)
一个交点：(1,0)
没有交点
1.方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系?
1).方程根的个数和对应函数与x轴交点个数相同.
2).方程的根是函数与x轴交点的横坐标.
3).若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x轴无交点.
思考：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？
判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根
两个不相等的实数根x1、x2
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象
O
x
y
x1
x2

O
y
x
x1

O
x
y

函数的图象与x轴的交点
两个交点：
(x1,0)，(x2,0)
一个交点：
(x1,0)
无交点
一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标。若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x轴无交点。
推广到更一般的情况，得：

零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
函数的零点是一个点吗？
问题1: 零点不是一个点，零点指的是一个实数.
问题2: 试归纳函数零点的等价说法？
跟踪训练 1．思考辨析
(1)所有的函数都有零点．(　　)
(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)(x2,0)．(　　)
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　)

2．函数y＝2x－1的零点是(　　)
A.　　　　　　B. C. D．2
A　[由2x－1＝0得x＝.]
零点存在性定理的探索．
问题5：结合图像，试用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否存在零点？
观察函数的图象：
①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）．
②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）．
c
b
d
a
x
O
y
③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）．





零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c就是方程f(x)=0的根.
定理解读
思考1:为什么强调“函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象一条不间断的曲线”？如果函数图象不连续，或者y=f(x)不满足f(a)·f(b) <0，那么零点存在性定理还成立吗？
x
y
O
a
b
O
y
x
b
a

O
y
x
b
a
O
y
x
b
a


例１　求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数．
分析：可以先借助计算工具画出函数y=lnx+2x-6的图象
或列出x，y的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助．
解：设函数fx=lnx+2x-6，利用计算工具，列出函数y=fx的对应值表
并画出图象由表和图可知，f2<0，f3>0 ，则f2f3<0．由函数零点存在定理可知，函数fx=lnx+2x-6在区间（２，３）内至少有一个零点．
容易证明，函数fx=lnx+2x-6 ，x∈（０，＋∞）是增函数，
所以它只有一个零点，即相应方lnx+2x-6=0只有一个实数解．




通过对一元二次方程与二次函数关系的回顾，提出新的问题，提出运用函数求解方程的思路；培养和发展逻辑推理和数学抽象、直观想象的核心素养。





















通过特殊的二次函数问题的探究，推广一般的方程求解问题的方法，提出零的的概念；发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；








































通过零点概念的辨析，进一步提出零点判定定理，发展学生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养；





三、当堂达标
1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点个数是(　　)
A．0　　　　　　B．1
C．2 D．3
【答案】C

2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【答案】B　[∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，
∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)．]
3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则(　　)
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
【答案】D　[∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．]
4．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．
【答案】B(－1,0)　[∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，
∴∴∴－1 5．已知函数f(x)＝x2－x－2a.
(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；
(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.
令f(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2.,即函数f(x)的零点为－1和2.
(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－，所以a的取值范围是a≥－.


通过练习巩固本节所学知识，巩固对函数零点及判定定理的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。




四、小结
本节课主要讲了函数零点的概念以及零点存在性定理。方程有实数根Û函数的图象与轴有交点Û函数有零点．
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数在区间内至少有一个零点，即相应的方程在区间内至少有一个实数解．

五、作业
1. 课时练 2. 预习下节课内容
学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；