数学必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制精品巩固练习

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一．任意角
1．角的定义及分类
(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)角的表示：如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O.

(3)角的分类
二．象限角与终边相同的角
1. 象限角与终边相同的角
k有三层含义
①特殊性：对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角．
②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括α自身)．
③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向转动的圈数．k取正整数时，逆时针转动；k取负整数时，顺时针转动；k＝0时，没有转动．
2．象限角的集合表示
3．轴线角的集合表示
三．度量角的两种单位制
1.定义
2.弧度数
(1)正角：正角的弧度数是一个正数.
(2)负角：负角的弧度数是一个负数.
(3)零角：零角的弧度数是0.
(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq \f(l,r).
3.角度制与弧度制的换算
四.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
一．表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简集合{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.
二.已知α所在象限，确定nα或eq \f(α,n)所在象限
(1)用不等式表示α的范围，再确定nα或eq \f(α,n)的范围，再判断角所在象限；
(2)数形结合法，等分象限，确定角所在象限.
三．角度与弧度互化
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×eq \f(π,180)＝弧度数，弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝度数．
角度与弧度互化的方法
考点一 与任意角有关的概念辨析
【例1-1】（2023秋·高一课时练习）（多选）下列选项不正确的是（ ）
A．终边落在第一象限的角为锐角
B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角为钝角
D．小于的角一定为锐角
【例1-2】（2023·全国·高一课堂例题）每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023福建厦门）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边与始边都相同的两个角一定相等
C．小于90°的角是锐角
D．若，则是第三象限角
2．（2023秋·高一课时练习）（多选）下列说法，不正确的是（ ）
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．钝角比第三象限角小
D．小于180°的角是钝角、直角或锐角
3．（2023上海）给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③的角是第一象限的角；④小于的角是钝角、直角和锐角.其中错误的序号是 .
考点二 终边相同的角
【例2】（2023秋·吉林长春）下列各角中，与 角终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023秋·高一课时练习）与405°角终边相同的角是（ ）
A．k·360°－45°，k∈ZB．k·180°－45°，k∈Z
C．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°，k∈Z
2．（2023秋·高一课时练习）与角终边相同的角可表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高一课堂例题）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，作出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在范围内与其终边相同的角．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
考点三 象限角和区间(域)角
【例3-1】（2023·全国·高一课堂例题）写出终边在下图所示的直线上的角的集合．

【例3-2】（2023·北京）（多选）已知是锐角，则（ ）
A．是第三象限角B．是小于的正角
C．是第一或第二象限角D．是锐角
【一隅三反】
1．（2023春·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校联考期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·河南驻马店·高一校考阶段练习）用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.

3．（2023秋·高一课时练习）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．
(1)
(2)
4．（2023春·四川眉山·高一校考期中）（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．

（2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角．
5．（2023春·江西宜春·高一江西省丰城中学校考阶段练习）（镀锡）若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上
考点四 角度与弧度的互化及应用
【例4】（2022·广东广州）将下表中的角度和弧度互化：
【一隅三反】
1．（2023秋·高一课时练习）把下列角度与弧度进行互化．
(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4).(5)
(6)(7)(8)(9)(10)
考点五 弧长公式与面积公式
【例5-1】（2023·全国·高一假期作业）（多选）已知某扇形的周长为44，圆心角为2，则（ ）
A．该扇形的半径为11B．该扇形的半径为22
C．该扇形的面积为100D．该扇形的面积为121
【例5-2】（2023春·宁夏银川）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为
(1)若，，求扇形的弧长
(2)若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大并求出最大面积．
【例5-3】（2023春·江西宜春·高一校考阶段练习）如图，点是圆上的点.
(1)若，，求劣弧的长；
(2)已知扇形的周长为，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.
【一隅三反】
1．（2023·广东）已知扇形的半径为1，圆心角为，则这个扇形的弧长为（ ）
A．B．C．D．60
2．（2023·全国·高一专题练习）已知扇形的周长为30．
(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积;
(2)求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径 .
3．（2023·广东揭阳 ）已知扇形的半径为，弧长为，圆心角为.
(1)若扇形的面积为定值，求扇形周长的最小值及对应的圆心角的值；
(2)若扇形的周长为定值，求扇形面积的最大值及对应的圆心角的值.
名称
定义
图示
正角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有做任何旋转形成的角
象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限
终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和
象限角
象限角α的集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α第二象限角
{α|k·360°＋90°<α第三象限角
{α|k·360°＋180°<α第四象限角
{α|k·360°＋270°<α角α终边的位置
角α的集合表示
在x轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°，k∈Z}
在x轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
在y轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
在y轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
在x轴上
{α|α＝k·180°，k∈Z}
在y轴上
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
在坐标轴上
{α|α＝k·90°，k∈Z}
角度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
周角的eq \f(1,360)为1度的角，记作1°
弧度制
定义
以弧度为单位来度量角的单位制
1弧度的角
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2πrad
2π rad＝360°
180°＝πrad
π rad＝180°
1°＝eq \f(π,180)rad≈0.017 45 rad
1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°≈57.30°
度数×eq \f(π,180)＝弧度数
弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝度数
度量单位类别
α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l＝eq \f(απR,180)
l＝α·R
扇形的面积
S＝eq \f(απR2,360)
S＝eq \f(1,2)l·R＝eq \f(1,2)α·R2
角度
0°
30°
45°
120°
135°
150°
360°
弧度