数学必修 第一册4.5 函数的应用（二）随堂练习题

这是一份数学必修 第一册4.5 函数的应用（二）随堂练习题，共6页。试卷主要包含了函数f=2x|lg0，已知函数f=x2-bx+3等内容，欢迎下载使用。

A组


1.下列各图象表示的函数没有零点的是( )





2.已知函数f(x)=2x-1,x≤1,1+lg2x,x>1,则函数f(x)的零点为( )


A.12,0B.-2,0


C.12D.0


3.函数f(x)=2x-1x的零点所在的区间是( )


A.(1,+∞)B.12,1


C.13,12D.14,13


4.若函数y=x2+a存在零点,则a的取值范围是( )


A.a>0B.a≤0


C.a≥0D.a<0


5.函数f(x)=2x|lg0.5x|-1的零点个数为( )


A.1B.2


C.3D.4


6.函数f(x)=(x2-1)(x+2)2(x2-2x-3)的零点个数是 .


7.若函数f(x)=2x2-ax+3有一个零点为32,则f(1)= .


8.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=lg3x+2,h(x)=lg3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是 .





9.已知函数f(x)=x2-bx+3.


(1)若f(0)=f(4),求函数f(x)的零点;


(2)若函数f(x)的一个零点大于1,另一个零点小于1,求b的取值范围.


























10.已知函数f(x)=x2+2mx+3m+4.


(1)若函数f(x)有且仅有一个零点,求实数m的值;


(2)若函数f(x)有两个零点且均比-1大,求实数m的取值范围.















































B组


1.函数f(x)=2x+1x在定义域上的零点个数为( )


A.0B.1C.2D.3


2.若f(x)=x-1x,则函数y=f(4x)-x的零点是( )


A.12B.-12C.2D.-2


3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(0,+∞)内单调,f(2)>0>f(1),则函数f(x)的零点个数为( )


A.0B.1C.2D.3


4.若函数f(x)=x2+2mx+2m+1在区间(-1,0)和(1,2)内各有一个零点,则实数m的取值范围是( )


A.(-∞,1-2]∪[1+2,+∞)


B.(-∞,1-2)∪(1+2,+∞)


C.-56,-12


D.-56,-12


5.函数f(x)=(lg x)2-lg x的零点为 .


6.若函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则n= .


7.已知函数f(x)=|lnx|,x>0,x2+4x+1,x≤0,g(x)=f(x)-a.


(1)当a=2时,求函数g(x)的零点;


(2)若函数g(x)有四个零点,求a的取值范围.























8.已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.


(1)若函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点,求实数q的取值范围;


(2)是否存在常数t(t≥0),当x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间D,且区间D的长度为12-t?


参考答案


A组


1.下列各图象表示的函数没有零点的是( )





答案:D


2.已知函数f(x)=2x-1,x≤1,1+lg2x,x>1,则函数f(x)的零点为( )


A.12,0B.-2,0


C.12D.0


解析:当x≤1时,由f(x)=0,得2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=0,得1+lg2x=0,解得x=12,不符合要求.所以函数的零点只有0.


答案:D


3.函数f(x)=2x-1x的零点所在的区间是( )


A.(1,+∞)B.12,1


C.13,12D.14,13


解析:由f(x)=2x-1x,得f12=212-2<0,f(1)=2-1=1>0,于是f12·f(1)<0,故零点所在区间为12,1.


答案:B


4.若函数y=x2+a存在零点,则a的取值范围是( )


A.a>0B.a≤0


C.a≥0D.a<0


解析:因为函数y=x2+a存在零点,所以x2=-a有解,所以a≤0.


答案:B


5.函数f(x)=2x|lg0.5x|-1的零点个数为( )


A.1B.2


C.3D.4


解析:函数f(x)=2x|lg0.5x|-1的零点个数⇔方程|lg0.5x|=12x=12x的解的个数⇔函数y1=|lg0.5x|与y2=12x的图象的交点个数.作出两个函数的图象如图所示,由图可知两个函数图象有两个交点.





答案:B


6.函数f(x)=(x2-1)(x+2)2(x2-2x-3)的零点个数是 .


解析:f(x)=(x+1)(x-1)(x+2)2(x-3)·(x+1)=(x+1)2(x-1)(x+2)2(x-3).


可知零点为1,-1,-2,3,共4个.


答案:4


7.若函数f(x)=2x2-ax+3有一个零点为32,则f(1)= .


解析:因为函数f(x)=2x2-ax+3有一个零点为32,所以32是方程2x2-ax+3=0的一个解,即2×94-32a+3=0,解得a=5,所以f(x)=2x2-5x+3,则f(1)=2-5+3=0.


答案:0


8.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=lg3x+2,h(x)=lg3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是 .





解析:画出函数y=3x,y=lg3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示,观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=lg3x+2,h(x)=lg3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a

答案:a

9.已知函数f(x)=x2-bx+3.


(1)若f(0)=f(4),求函数f(x)的零点;


(2)若函数f(x)的一个零点大于1,另一个零点小于1,求b的取值范围.


解:(1)由f(0)=f(4)得3=16-4b+3,即b=4,所以f(x)=x2-4x+3.


令f(x)=0,即x2-4x+3=0,


解得x1=3,x2=1.


所以f(x)的零点是1和3.


(2)因为f(x)的一个零点大于1,另一个零点小于1,如图.





故f(1)<0,即1-b+3<0,所以b>4.故b的取值范围为(4,+∞).


10.已知函数f(x)=x2+2mx+3m+4.


(1)若函数f(x)有且仅有一个零点,求实数m的值;


(2)若函数f(x)有两个零点且均比-1大,求实数m的取值范围.


解:(1)因为函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点,所以方程f(x)=0有两个相等的实数解.


所以Δ=0,即4m2-4(3m+4)=0,


即m2-3m-4=0,


解得m=4或m=-1.


(2)由题意,知4m2-4(3m+4)>0,-m>-1,f(-1)>0,


即m2-3m-4>0,m<1,1-2m+3m+4>0,解得-5

所以实数m的取值范围为(-5,-1).


B组


1.函数f(x)=2x+1x在定义域上的零点个数为( )


A.0B.1C.2D.3


解析:函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x>0时,有f(x)>0;当x<0时,有f(x)<0.所以函数f(x)在定义域上没有零点,故选A.


答案:A


2.若f(x)=x-1x,则函数y=f(4x)-x的零点是( )


A.12B.-12C.2D.-2


解析:根据函数零点的概念,函数y=f(4x)-x的零点就是方程f(4x)-x=0的解,解方程f(4x)-x=0,即4x-14x-x=0,得x=12,故选A.


答案:A


3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(0,+∞)内单调,f(2)>0>f(1),则函数f(x)的零点个数为( )


A.0B.1C.2D.3


解析:由函数f(x)是定义在R上的奇函数,可知f(0)=0,f(x)在区间(0,+∞)内单调,且f(2)>0>f(1).


故当x>0时,函数有一个零点,易知在其对称区间(-∞,0)内也有一个零点,故共有3个零点.


答案:D


4.若函数f(x)=x2+2mx+2m+1在区间(-1,0)和(1,2)内各有一个零点,则实数m的取值范围是( )


A.(-∞,1-2]∪[1+2,+∞)


B.(-∞,1-2)∪(1+2,+∞)


C.-56,-12


D.-56,-12


解析:函数f(x)=x2+2mx+2m+1的零点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,即函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点一个在区间(-1,0)内,一个在区间(1,2)内,根据图象列出不等式组f(-1)=2>0,f(0)=2m+1<0,f(1)=4m+2<0,f(2)=6m+5>0,


解得m<-12,m>-56,所以-56

所以m的取值范围是-56,-12.


答案:D


5.函数f(x)=(lg x)2-lg x的零点为 .


解析:由(lg x)2-lg x=0,得lg x(lg x-1)=0,


所以lg x=0或lg x=1,故x=1或x=10.


答案:1或10


6.若函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则n= .


解析:因为函数f(x)=3x-7+ln x在定义域上是增函数,所以函数f(x)=3x-7+ln x在区间(n,n+1)上只有一个零点.


因为f(1)=3-7+ln 1=-4<0,f(2)=6-7+ln 2<0,f(3)=9-7+ln 3>0,所以函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(2,3)内.所以n=2.


答案:2


7.已知函数f(x)=|lnx|,x>0,x2+4x+1,x≤0,g(x)=f(x)-a.


(1)当a=2时,求函数g(x)的零点;


(2)若函数g(x)有四个零点,求a的取值范围.


解:(1)当x>0时,由|ln x|=2,


解得x=e2或x=1e2.


当x≤0时,由x2+4x+1=2,


解得x=-2-5(舍去x=-2+5),


所以函数g(x)有三个零点,分别为e2,1e2,-2-5.


(2)函数g(x)=f(x)-a的零点个数即为y=f(x)的图象与y=a的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象与y=a的图象,结合两函数图象可知,函数g(x)有四个零点时,a的取值范围是0




8.已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.


(1)若函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点,求实数q的取值范围;


(2)是否存在常数t(t≥0),当x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间D,且区间D的长度为12-t?


解:因为函数f(x)=x2-16x+q+3的图象的对称轴是直线x=8,


所以f(x)在区间[-1,1]上单调递减.


因为函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点,


所以必有f(1)≤0,f(-1)≥0,即1-16+q+3≤0,1+16+q+3≥0.


所以-20≤q≤12.


所以实数q的取值范围为[-20,12].


(2)0≤t<10,f(x)在区间[0,8]上单调递减,在区间[8,10]上单调递增.


①当0≤t≤6时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小,故f(t)-f(8)=12-t,即t2-15t+52=0,


解得t=15±172,


所以t=15-172;


②当6

故f(10)-f(8)=12-t,解得t=8;


③当8

故f(10)-f(t)=12-t,


即t2-17t+72=0,


解得t=8或t=9,


所以t=9.


综上①②③,可知存在常数t=15-172或8或9满足条件.