2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第4章《4.5.3函数模型的应用》(含答案详解)

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1．常用函数模型
2.建立函数模型解决问题的基本过程
思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？
提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )
A.一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
A [自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.]
2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alg2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．600只 D．700只
A [将x＝1，y＝100代入y＝alg2(x＋1)得，100＝alg2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100lg2(7＋1)＝300.]
3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000)
B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000)
D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
D [由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)．]
4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年．
7 [设二次函数y＝a(x－6)2＋11，又过点(4,7)，
所以a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11.
解y≥0，得6－eq \r(11)≤x≤6＋eq \r(11)，所以有营运利润的时间为2eq \r(11).又6<2eq \r(11)<7，所以有营运利润的时间不超过7年．]
利用已知函数模型解决实际问题
【例1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(\f(t,h))，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
[解] 先设定半衰期h，由题意知
40－24＝(88－24)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(eq \f(20,h))，
即eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(eq \f(20,h))，
解之，得h＝10，故原式可化简为
T－24＝(88－24)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(eq \f(t,10))，
当T＝32时，代入上式，得
32－24＝(88－24)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(eq \f(t,10))，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(eq \f(t,10))＝eq \f(8,64)＝eq \f(1,8)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3，∴t＝30.
因此，需要30 min，可降温到32 ℃.
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.
1．某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：
P＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＋200设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0[解] 设日销售金额为y(元)，则y＝PQ，
所以y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－t2＋20t＋8000①当0所以当t＝10时，ymax＝900(元)．
②当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，
所以当t＝25时，ymax＝1 125(元)．
结合①②得ymax＝1 125(元)．
因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．
自建确定性函数模型解决实际问题
【例2】 牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值．
[思路点拨] eq \x(畜养率)―→eq \x(空闲率)―→eq \x(\A\AL(y与x之间,的函数关系))eq \(――→,\s\up15(单调性))eq \x(求最值)
[解] (1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为eq \f(x,m)，故空闲率为1－eq \f(x,m)，由此可得y＝kxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x,m)))(0(2)对原二次函数配方，得y＝－eq \f(k,m)(x2－mx)
＝－eq \f(k,m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(m,2)))2＋eq \f(km,4)，即当x＝eq \f(m,2)时，y取得最大值eq \f(km,4).
1．(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如何表示出y关于x的函数解析式？
[解] 根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为eq \f(x,m)，故空闲率为1－eq \f(x,m)，因为羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成反比，由此可得y＝eq \f(k,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x,m))))(02．(变结论)若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k的取值范围．
[解] 由题意知为给羊群留有一定的生长空间， 则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0因为当x＝eq \f(m,2)时，ymax＝eq \f(km,4)，所以00，所以0自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.
拟合数据构建函数模型解决实际问题
[探究问题]
1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？
提示：不一定．
2．对于收集的一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？
提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律．
【例3】 某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
(1)画出2015～2018年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2019年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？
[思路点拨] eq \x(描点)eq \(――→,\s\up15(依散点图))eq \x(选模)eq \(――→,\s\up15(待定系数法))eq \x(求模)eq \(――→,\s\up15(误差))eq \x(验模)→eq \x(用模)
[解] (1)画出散点图，如图所示．
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．
设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1.5，,b＝2.5，))
∴f(x)＝1.5x＋2.5.
检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，
f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．
函数拟合与预测的一般步骤：
1根据原始数据、表格，绘出散点图.
2通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线.
3求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
4利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.
2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
[解] (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．
根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．
取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx得：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7.9＝a·b70，,47.25＝a·b160，))用计算器算得a≈2，b≈1.02.
这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．
(2)将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．
1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论．
2．解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
1．思考辨析
(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．( )
(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．( )
(3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是( )
A B C D
[答案] B
3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A．y＝0.957 6eq \s\up15(eq \f(x,100))
B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0.957 6,100)))x
D．y＝1－0.042 4eq \s\up15(eq \f(x,100))
A [由题意可知y＝(95.76%)eq \s\up15(eq \f(x,100))，即y＝0.957 6eq \s\up15(eq \f(x,100)).]
4．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．
[解] (1)①汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．
②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．
③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜t≤6.5)．
综上，s＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t0≤t≤2.5，,1502.5＜t≤3.5，,325－50t3.5＜t≤6.5，))
它的图象如图(1)所示．
(1) (2)
(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(600≤t≤2.5，,02.5＜t≤3.5，,－503.5＜t≤6.5，))它的图象如图(2)所示．学 习 目 标
核 心 素 养
1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)
2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)
3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)
通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模、数据分析的素养.
常用函数模型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlgax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋bxx
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05