高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）同步达标检测题

4.5  函数的应用（二）

【题组一 零点的求解】

1.若函数的两个零点是2和3,则函数的零点是

A．和                                   B．和

C．和                                    D．和

【答案】B　

【解析】函数的两个零点是2和3, 由函数的零点与方程根的关系知方程的两根为2和3.

结合根与系数的关系得,即,

∴,∴g(x)的零点为和,故选B.

2．（2020·北京高一期中）已知函数，那么方程f（x）＝0的解是（    ）

A． B．x＝1 C．x＝e D．x＝1或x＝e

【答案】C

【解析】依题意，所以.故选：C

3.（2020年广东湛江）若函数的两个零点是2和3,则函数的零点是

A．和                                   B．和

C．和                                    D．和

【答案】B　

【解析】函数的两个零点是2和3, 由函数的零点与方程根的关系知方程的两根为2和3.

结合根与系数的关系得,即,

∴,∴g(x)的零点为和,故选B.

【题组二 零点区间的判断】

1．（2020·浙江高一课时练习）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为函数在上连续单调递增，

且,所以函数的零点在区间内，故选C.

2．（2020·浙江高一课时练习）设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为根据题意可知,当x=1时，则,而当x=2时，则，故选B.

3.（2020天津高一期中）在下列个区间中，存在着函数的零点的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由.

由零点存在定理知函数在上必有零点。故选C.

4．（2020年广东潮州）函数f(x)＝ln(2x)－1的零点位于区间(　　)

A．(2,3) B．(3,4)

C．(0,1) D．(1,2)

【答案】D

【解析】由题意，函数，可得函数为单调递增函数，且是连续函数

又由f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln 4－1＞0，

根据函数零点的存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1,2)上．故选D.

【题组三 零点个数的判断】

1．（2020·浙江高一课时练习）函数在区间（0,1）内的零点个数是（ ）

A．0 B．1

C．2 D．3

【答案】B,在范围内，函数为单调递增函数．又，，，故在区间存在零点，又函数为单调函数，故零点只有一个．

2．（2020·全国）函数的零点个数为（   ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【解析】由，由，

所以函数的零点个数为2，故选B.

3．（2020·山东烟台·高二期末（理））函数零点的个数为（   ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】

函数，由，可得，作出和的图象，可得它们有1个交点，则的零点个数为1，故选B.

4．在下列区间中，函数f（x）＝ex+3x﹣4的零点所在的区间为（　　）

A.（0，） B.（） C.（） D.（1，）

【答案】C

【解析】f′（x）＝ex+3＞0，f（x）为R上的增函数，f（），

因为，所以，所以f（）＜0，但f（1）＝e+3﹣4＞0，∴f（）•f（1）＜0

所以f（x）的零点在区间（，1），故选：C．

【题组四 根据零点求参数】

1．（2019·湖南天心·长郡中学）已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为函数在区间内有唯一零点，

故在区间上只有一个根.

又在上单调递减，其值域为.

故要满足题意，只需.故选：D.

2．（2020·吉林长春外国语学校高二开学考试）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由条件可知，即a(a－3)<0，解得0<a<3.故选C．

3．（2020·浙江高二学业考试）若函数f(x)=x－(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是(    )

A．－2 B．0 C．1 D．3

【答案】D

【解析】因为，又当时，，

故此时函数在区间有零点，故选：D.

4．（2020·福建龙岩）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由基本初等函数的性质，可得函数单调递增,

 函数的一个零点在区间内由题意可得，解得.

故选D.

5．（2020·沙坪坝·重庆八中）已知函数（且）与的图象有两个交点，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】根据题意，分2种情况讨论：

①时，函数的草图如图：

若且与的图象有两个交点，

必有，即，

又由，故；

②时，函数的草图如图：

，

若且与的图象有两个交点，

必有，分析可得，

综合可得：的取值范围为．

故答案为：

6．（2020·天津南开·高二学业考试）函数的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是_________．

【答案】

【解析】因为函数是单调递增函数，

且函数的一个零点在区间内，

所以，，

解得,实数的取值范围是,故答案为.

7．（2020·乌鲁木齐市第四中学高二期末（文））若函数,在上单调且有一个零点，k的取值范围_____________

【答案】

【解析】因为函数在上单调且有一个零点，

所以，即，解得故答案为：

【题组五 二分法】

1．（2020·全国）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（    ）

A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5

【答案】C

【解析】由表中参考数据可得，，，

所以，由二分法定义得零点应该存在于区间内，又

精确度为，且，故方程的一个近似根为.故选：C

2．（2020·郸城县实验高中高一月考）如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（    ）

A．[－2.1，－1] B．[4.1，5]

C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]

【答案】C

【解析】结合图象可得：ABD选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，

C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点.故选：C

3．（2020·北京门头沟·大峪中学高二期中）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

那么方程的一个近似根（精确到0．1）为（    ）

A．1．2 B．1．3 C．1．4 D．1．5

【答案】C

【解析】由题意，根据表格中的数据，可得，，

可得，所以方程的一个近似根为.故选：C.

4．（2019·陕西秦都·咸阳市实验中学高一月考）下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数的零点的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】B选项中的零点不是变号零点，该零点不宜用二分法求解，

故选：B.

5．（2019·河北运河·沧州市一中高一月考）用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，

所以函数在上有零点.故可以取区间作为计算的初始区间，用二分法逐步计算.

故选：A.

6．（2019·陕西韩城）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在的区间和等二次应计算的函数值分别为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】函数，且，，

所以其中一个零点所在的区间为，

第二次应计算的函数值为和的中点，即时，

所以应计算.

故选.

7．（2020·洞口县第九中学高二月考）若函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（ ）

A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5

【答案】C由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C

8．（2020·全国高一专题练习）某同学用二分法求方程在x∈（1，2）内近似解的过程中，设，且计算f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，则该同学在第二次应计算的函数值为

A．f（0.5） B．f（1.125）

C．f（1.25） D．f（1.75）

【答案】C

【解析】∵f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x–8存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值1.25，故选C．

【题组六 函数模型】

1．（2020·安徽宣城·高一期末）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.

（1）求森林面积的年增长率；

（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？

（3）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？

（参考数据：，）

【答案】（1）；（2）年；（3）至少还需要年.

【解析】（1）设增长率为，依题意可得

所以即，解得

（2）设已经植树造林年，则

即

解得，故已经植树造林年.

（3）设至少还需要年，则

即即解得

故至少还需要年

2．（2019·湖南高一期末）为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2017年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长．

(1)写出第年(2018年为第一年)该企业投入的资金数(万元)与的函数关系式，并指出函数的定义域

(2)该企业从第几年开始(2018年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元？(参考数据，)

【答案】（1），定义域为（2）第8年

【解析】(1)第一年投入的资金数为万元，
第二年投入的资金数为万元，
第年(2018年为第一年)该企业投入的资金数(万元)与的函数关系式万元，
其定义域为
(2)由可得，即，
即企业从第8年开始(2018年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元．

3．（2019·四川高一期末）某种树木栽种时高度为A米为常数，记栽种x年后的高度为，经研究发现，近似地满足，其中，a，b为常数，，已知，栽种三年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）求栽种多少年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍参考数据：，．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）5年.

【解析】Ⅰ，，  ，

又，即，，

联立解得，，

Ⅱ由Ⅰ得，由得，，

．

故栽种5年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍．

4．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54，58为了预测以后各月的患病人数，甲选择的了模型，乙选择了模型，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66，82，115，

1你认为谁选择的模型较好？需说明理由

2至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你选择的较好模型解决上述问题．

【答案】（1）应将作为模拟函数,理由见解析；（2）个月.

【解析】由题意，把，2，3代入得：，

解得，，，所以，

所以，，

；

把，2，3代入，得：，

解得，，，所以，

所以，，；

、、更接近真实值，

应将作为模拟函数．

令，解得，

至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人．