高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）精品习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）精品习题，共3页。试卷主要包含了换底公式的正用，换底公式的逆用，换底公式的基本变形一，换底公式的基本变形二，解对数方程，证明对数恒等式等内容，欢迎下载使用。

换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．


题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．


一、换底公式的正用


例1 (1)lg29×lg34等于( )


A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．2 D．4


考点 对数的运算


题点 换底公式的应用


答案 D


解析 lg29×lg34＝eq \f(lg 9,lg 2)×eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(2lg 3,lg 2)×eq \f(2lg 2,lg 3)＝4.


(2)已知lg152＝a，b＝lg35，则lg12518＝________.


答案 eq \f(ab＋a＋2,3b)


解析 a＝lg152＝eq \f(lg32,lg315)＝eq \f(lg32,lg35＋1)＝eq \f(lg32,b＋1)，


所以lg32＝a(b＋1)＝ab＋a，


lg12518＝eq \f(lg318,lg3125)＝eq \f(lg32×32,lg353)


＝eq \f(lg32＋2,3lg35)＝eq \f(ab＋a＋2,3b).


二、换底公式的逆用


例2 计算：eq \f(lg5\r(2)×lg727,lg5\f(1,3)×lg74)＝________.


答案 －eq \f(3,4)


解析 原式＝eq \f(lg5\r(2),lg5\f(1,3))×eq \f(lg727,lg74)


＝×lg427＝eq \f(lg\r(2),lg\f(1,3))×eq \f(lg 27,lg 4)


＝eq \f(\f(1,2)lg 2,－lg 3)×eq \f(3lg 3,2lg 2)＝－eq \f(3,4).


三、换底公式的基本变形一：lgab＝eq \f(1,lgba)


例3 已知2a＝5b＝10，求eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的值．


解 ∵2a＝10，∴a＝lg210，


∴eq \f(1,a)＝eq \f(1,lg210)＝lg 2，


5b＝10，∴b＝lg510，∴eq \f(1,b)＝eq \f(1,lg510)＝lg 5.


∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lg 2＋lg 5＝1.


四、换底公式的基本变形二：＝eq \f(m,n)lgab


例4 已知lg1627＝a，则lg916＝________.


答案 eq \f(3,2a)


解析 ∵lg1627＝a，∴＝a，


∴eq \f(3,4)lg23＝a，∴lg23＝eq \f(4,3)a，


∴lg916＝＝eq \f(4,2)lg32＝2lg32＝2·eq \f(1,lg23)


＝2×eq \f(3,4a)＝eq \f(3,2a).


五、解对数方程


例5 若lgab·lgbc·lgc3＝2，则a的值为________．


答案 eq \r(3)


解析 ∵lgab·lgbc·lgc3＝eq \f(lg b,lg a)·eq \f(lg c,lg b)·eq \f(lg 3,lg c)


＝eq \f(lg 3,lg a)＝2.


∴lg 3＝2lg a＝lg a2，


∴a2＝3，解得a＝eq \r(3)，或a＝－eq \r(3)(舍去)．


六、证明对数恒等式


例6 证明：(ab)lg a＋lg b＝alg a·blg b·a2lg b.


证明 左边＝alg a＋lg b·blg a＋lg b


＝alg a·alg b·blg a·blg b，


又


所以左边＝alg a·blg b·blg a·alg b


＝alg a·blg b·alg b·alg b


＝alg a·blg b·a2lg b＝右边．


即原等式成立．