2024-2025学年高中数学人教A版必修二第6章《平面向量》章末总结与练习（学生版+教师版）

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《第六章 平面向量及其应用 》 章末总结 教学设计知识网络构建二、核心知识归纳1.五种常见的向量(1)单位向量：模为1的向量.(2)零向量：模为0的向量.(3)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量.(4)相等向量：模相等，方向相同的向量.(5)相反向量：模相等，方向相反的向量.2.两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.3.两个非零向量平行、垂直的等价条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：(1)a∥b⇔a＝λb(λ≠0)⇔x1y2－x2y1＝0，(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.4.平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x2＋y2).(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1))\r(xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2))).5.投影向量向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θbb，其中θ为a与b的夹角.6.向量的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a，a·b＝b·a.(2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c，a－b－c＝a－(b＋c)，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(4)重要公式：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.7.正弦定理与余弦定理三、典型例题　1.平面向量的线性运算及应用【例1】若D点在三角形ABC的边BC上，且eq \o(CD,\s\up6(→))＝4eq \o(DB,\s\up6(→))＝req \o(AB,\s\up6(→))＋seq \o(AC,\s\up6(→))，则3r＋s的值为(　　)A.eq \f(16,5) B.eq \f(12,5) C.eq \f(8,5) D.eq \f(4,5)解析　因为eq \o(CD,\s\up6(→))＝4eq \o(DB,\s\up6(→))＝req \o(AB,\s\up6(→))＋seq \o(AC,\s\up6(→))，所以eq \o(CD,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)eq \o(CB,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)(eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→)))＝req \o(AB,\s\up6(→))＋seq \o(AC,\s\up6(→))，所以r＝eq \f(4,5)，s＝－eq \f(4,5)，所以3r＋s＝eq \f(12,5)－eq \f(4,5)＝eq \f(8,5).答案　C【类题通法】向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.(2)求解策略：①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.②字符表示下线性运算的常用技巧：首尾相接用加法的三角形法则，如eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(AC,\s\up6(→))；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→)).【巩固训练1】 如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若eq \o(AC,\s\up6(→))＝λeq \o(AM,\s\up6(→))＋μeq \o(BD,\s\up6(→))，则λ＋μ等于(　　)A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3) C.eq \f(15,8) D.2解析　因为eq \o(AC,\s\up6(→))＝λeq \o(AM,\s\up6(→))＋μeq \o(BD,\s\up6(→))，＝λ(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BM,\s\up6(→)))＋μ(eq \o(BA,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))＋μ(－eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)))＝(λ－μ)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＋μ))eq \o(AD,\s\up6(→))，且eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝1，,\f(1,2)λ＋μ＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))所以λ＋μ＝eq \f(5,3)，故选B.答案　B2.向量的数量积【例2】　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝eq \r(3)|a－kb|(k>0).(1)用k表示数量积a·b；(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.解　(1)由|ka＋b|＝eq \r(3)|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.∵|a|＝eq \r(cos2α＋sin2α)＝1，|b|＝eq \r(cos2β＋sin2β)＝1，∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，∴a·b＝eq \f(2k2＋2,8k)＝eq \f(k2＋1,4k)(k>0).(2)a·b＝eq \f(k2＋1,4k)＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,k))).由对勾函数的单调性可知，f(k)＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,k)))在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴当k＝1时，f(k)min＝f(1)＝eq \f(1,4)×(1＋1)＝eq \f(1,2)，此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,2)，又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.【类题通法】数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)求向量的夹角和模的问题①设a＝(x1，y1)，则|a|＝eq \r(xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1)).②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π)，cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1))\r(xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2))).【巩固训练2】　已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则eq \o(AF,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))的值为(　　)A.－eq \f(5,8) B.eq \f(1,8) C.eq \f(1,4) D.eq \f(11,8)解析　∵eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AF,\s\up6(→))＝eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \o(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \o(AC,\s\up6(→))，∴eq \o(BC,\s\up6(→))·eq \o(AF,\s\up6(→))＝(eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(3,4)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq \f(3,4)eq \o(AC,\s\up6(→))2－eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)×1×1－eq \f(1,2)×1×1－eq \f(1,4)×1×1×cos 60°＝eq \f(1,8).答案　B3.　平面向量在几何中的应用【例3】　如图，半径为eq \r(3)的扇形AOB的圆心角为120°，点C在eq \o(AB,\s\up8(︵))上，且∠COB＝30°，若eq \o(OC,\s\up6(→))＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＋μeq \o(OB,\s\up6(→))，则λ＋μ等于(　　)A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(4\r(3),3) D.2eq \r(3)解析　由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则O(0，0)，A(0，eq \r(3))，C(eq \r(3)，0)，B(eq \r(3)cos 30°，－eq \r(3)sin 30°)，因为eq \o(OC,\s\up6(→))＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＋μeq \o(OB,\s\up6(→))，所以(eq \r(3)，0)＝λ(0，eq \r(3))＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)×\f(\r(3),2)，－\r(3)×\f(1,2)))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)＝μ×\r(3)×\f(\r(3),2)，,0＝\r(3)λ－\r(3)×\f(1,2)μ，))则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(μ＝\f(2\r(3),3)，,λ＝\f(\r(3),3)，))所以λ＋μ＝eq \r(3).答案　A【类题通法】把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.【巩固训练3】　在△ABC中，AB＝AC，D为AB的中点，E为△ACD的重心，F为△ABC的外心，证明：EF⊥CD.证明　建立如图所示的平面直角坐标系.设A(0，b)，B(－a，0)，C(a，0)，则Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(b,2)))，eq \o(CD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)a，\f(b,2))).易知△ABC的外心F在y轴上，可设为(0，y).由|eq \o(AF,\s\up6(→))|＝|eq \o(CF,\s\up6(→))|，得(y－b)2＝(－a)2＋y2，所以y＝eq \f(b2－a2,2b)，即Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b2－a2,2b))).由重心坐标公式，得Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,6)，\f(b,2)))，所以eq \o(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,6)，－\f(a2,2b))).所以eq \o(CD,\s\up6(→))·eq \o(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)a))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,6)))＋eq \f(b,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,2b)))＝0，所以eq \o(CD,\s\up6(→))⊥eq \o(EF,\s\up6(→))，即EF⊥CD.利用余弦、正弦定理解三角形【例4】　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝eq \r(3)acos B.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.解　(1)由bsin A＝eq \r(3)acos B及正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \r(3)cos B，所以tan B＝eq \r(3)，又0