北师大版数学高二选择性必修第二册 重难点01：常见数列通项的20种解题策略(最全数列通项的求法) 课件

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重难点01：常见数列通项的20种解题策略(最全数列通项的求法) 北师大版数学高二选择性必修第二册等 差 数 列等 比 数 列定 义通 项中 项性 质求和公式适用所有数列仍成等差仍成等比求数列的通项公式数列的通项公式是数列的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.反映了数列中的每一项与每一项的序号的关系例1.分别写出下列数列的一个通项公式．题型一：观察法总结:(1)掌握基本数列的通项公式.(2)分数形式的数列,保持分数线,分子分母分别找通项.(3)当数列中有分数,又有整数时,需要把整数化成分数,即将分母补齐,然后分子分母分别找通项.(4)数列中的项正负交叉出现时,常用 (-1)n+1或(-1)n-1来调解.当数列中的项是负正出现时,常用(-1)n来调解.(5)有的数列虽然有通项公式,但通项公式不唯一.(6)并不是所有的数列都有通项公式题型二：由递推公式求通项在等差数列通项公式中，有四个量，知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一 .题型三：等差数列公式求通项 例3 (1)求等差数列9,5,1,…的第10项；(2)已知等差数列｛an},an=4n-3,求a1和d.解(1)由a1 = 9,d=5-9 = -4,得a10=a1 +(n-l)d=9+(10-l)×(-4) = -27.(2)由an =4n-3,得a1=4×1-3 = 1,且 d=a2-a1 =(4×2-3) -1 = 4.所以等差数列{an}的首项a1=1,公差d=4.变式 ⑴求等差数列8，5，2，…的第20项. ⑵- 401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？解：⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得 a20=8+(20-1) ×(-3)=-49.⑵由a1=-5，d =-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1).由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项.等比数列的通项公式题型四：等比数列公式求通项 例4 一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12，求它的第8项的值. 解 设等比数列的首项为 ，公比为q,则由已知，得②①将①式代入②式，得解得 q =-3或q =2.故数列的第8项是-4 374或256.变式：已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4= ,求an.    解题步骤：（2）再利用累加法(逐差相加法)求解  题型五：累加法  变式：在﹛an﹜中，已知a1=1,an=an-1+n (n≥2),求通项an.累乘法题型六：累乘法 例6：在数列 中，已知 ，若 ，求数列通项 变式： 两边同除以      题型七：构造等差数列   解（法一）：两边同除以   上面各式累加可得解（法二）： 两边同除以 则可考虑待定系数法设   通用方法：待定系数法    题型八：构造等比数列 例8：分析：构造等比数列{an+x}，若可以观察x值更好通用方法：待定系数法  用待定系数法设     例9.用待定系数法设      例10. 已知前n项和，求通项公式题型九：前n项和法      解:当n=1时, a1=s1=31_2=1当n ≥ 2时,an=sn_sn-1=3n_2_(3n-1_2)=3n_3n-1=3×3n-1_3n-1 =2×3n-1由于a1=1不适合上式.∴ an= 变式.已知数列的前n项和sn=3n–2 , 求它的通项公式?例12.解：①②①－②，得解法2：小结：题目中有 Sn 求 an，必用作差法.谁简单化掉谁例12.练习.(全国II，2015)解： 例13.解：题型十：取倒法 形如 的递推式取对数后构造等比数列 题型十一：对数法变式.已知数列{an}中a1=3， .证明：数列{ln(an-1)}是等比数列，并求数列{an}的通项公式．取对数法 解：   ①②题型十二：前n项积求通项例17.设{an }是首项为1的正数数列,且(n+1)a2n+1–na2n+an+1an=0 (n∈N﹡),求an.解:（n+1)a2n+1–na2n+an+1an=0 分解因式为 (an+1+an) [(n+1)an+1–nan]=0. ∵an>0 , ∴ an+1+an≠0. ∴(n+1)an+1–nan=0，即题型十三：因式分解求通项 题型十四：开方或平方法题型十五：裂项叠加法题型十六：不动点求通项 题型十七：特征根法题型十八：换元法题型十九：斐波那契数列通项解：题型二十：周期数列