4.3.2《简单几何体的体积》教案6（北师大版选修2-2）

定积分的简单应用（三）

3.2简单几何体的体积

一、教学目标

1、理解定积分概念形成过程的思想；2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。

二、 学法指导

本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的研究，关键是对定积分思想的理解及灵活运用，建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积问题。

三、教学重难点：

重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题；

难点；数学模型的建立及被积函数的确定。

四、教学方法：探究归纳，讲练结合

五、教学过程

（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？

（二）新课探析

问题：函数，的图像绕轴旋转一周，所得到的几何体的体积              。                           

典例分析

例1、给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体。求它的体积。                                           Y

分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）

学生阅读课本P89页分析，教师引导。

解：圆锥体的体积为                            O              1         X

Y

O                      X

变式练习1、求曲线，直线， 与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。

答案：；

例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。

   分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。则A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB绕X轴旋转一周形成的。

解：将其轴载面按下图位置放

置，并建立如图的坐标系。则， ，设抛物线弧OA所在的抛物线方程为：，代入求得：

∴抛物线方程为：（）

设直线AB的方程为：，代入求得：

∴直线AB的方程为：

∴所求“冰激凌”的体积为：

变式练习2

如图一，是火力发电厂烟囱示意图。它是双曲线绕其一条对称轴旋转一周形成的几何体。烟囱最细处的直径为，最下端的直径为，最细处离地面，烟囱高，试求该烟囱占有空间的大小。         （图二）                          （图一）

（精确到）      答案：

 归纳总结：求旋转体的体积和侧面积

由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体体积为.其侧面积为

.

求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：1．先求出的表达式；2．代入公式，即可求旋转体体积的值。

（三）、课堂小结：求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：1．先求出的表达式；2．代入公式，即可求旋转体体积的值。

（四）、作业布置：课本P90页练习题中2；习题4-3中6、7

五、教后反思