北师大版数学高二选择性必修第二册 第二章 导数及其应用 单元综合检测卷

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第二章 导数及其应用 单元综合检测卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一个做直线运动的质点的位移与时间的关系式为，则该质点的瞬时速度为时，（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】对求导，令导数为计算即可.【详解】由题意知，则，令，则，即该质点瞬时速度为时，时间.故选: C.2．已知，则（    ）A．0 B． C．2 D．3【答案】D【分析】利用导数的定义结合求导公式求解即可.【详解】易知，.故选：D3．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）A． B． C．e D．【答案】A【分析】在上恒成立，即，构造函数，，求导得到其单调性，得到，得到，求出答案.【详解】由题意得在上恒成立，，故，即，令，，则在上恒成立，故在上单调递减，故，故，故a的最小值为.故选：A4．已知函数，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得.【详解】作出函数的图象，如图所示.  由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.由，得，即.故选：C.5．已知函数有三个零点，其中，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据解析式得，由，得，设，则，从而可得，求解导函数，分类讨论与两种情况下函数的单调性，从而可得答案.【详解】定义域为，显然，若是零点，则，，所以也是零点，函数有三个零点，不妨设，则，所以，，当时，结合定义域和判别式易知恒成立，即函数在上单调递增，不符合题意；当时，设的两根分别为，易知，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当时，，，，当，，所以由零点存在定理易知有三个零点，满足题意.综上，的取值范围是.【点睛】求解本题的关键是根据函数解析式得若是零点，也是零点，从而得，所以求的取值范围即求的取值范围，然后求解导函数，利用导数分类讨论函数的单调性即可.6．已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】令且恒成立，根据的极值点得到矛盾，有两个不同的零点，利用三次函数性质判断单调性，进而求参数范围.【详解】由题意，令，若恒成立，易知：当时，当时，所以是的极小值点，不合题意，故有两个不同零点．设的两个零点分别为，则，结合三次函数的图象与性质知： ，在、上，单调递减，在、上，单调递增，是的极大值点，符合题意，此时需，得，所以实数的取值范围为．故选：D.7．设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解.【详解】令，得，代入曲线，所以的最小值即为点到直线的距离.故选：B.8．已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，对函数求导，利用的单调性可得答案.【详解】设，因为，所以，对函数求导，得，因为，所以，所以函数是实数集上的增函数，因此由.故选：D.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得09．下列求导运算正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】CD【分析】利用导数公式及运算法则，求解即可.【详解】对于选项A: ,,故选项A错误；对于选项B: ,,故选项B错误；对于选项C: ,,故选项C正确；对于选项D: ,,故选项D正确；故选：CD.10．已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由为奇函数，可知，可得函数图像关于直线对称，再由，可得，函数图像关于点对称，再代入特值，可判断各选项.【详解】由为奇函数可得，即，，即，即，所以函数的图像关于直线对称，由是偶函数可得为奇函数，，即，所以函数的图像关于点对称；将代入，得，将代入，得，B选项正确；将代入得，得，A选项错误；，C选项正确；将代入，得，故，，D选项错误.故选：BC.11．已知函数，恰好存在4个不同的正数，使得，则下列说法正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据给定条件，构造函数，并画出图象，利用导数，结合图象求解判断即得.【详解】令函数，依题意，恰有4个正实根，即直线与函数的图象恰有4个公共点，在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图，显然当时，直线与函数的图象有一个交点，，当时，直线与函数的图象有两个交点，，当时，直线与函数的图象有唯一公共点，，此时直线必为曲线在点处的切线，由求导得，由，得，即，因此，而当时，，则，C错误，D正确；令，求导得，函数在上递减，而，则当时，，，函数在上单调递增，当时，，，函数在上单调递减，因此，A正确，B错误.故选：AD三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分12．已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元．设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的总维修费用最低时的值为 ．【答案】【分析】将池壁的总维修费用表示为关于的函数，利用导数可求得的单调性，结合单调性可得最小值点，从而得到结果.【详解】由题意知：池底面积为，则池底维修费用为（元）；表示较短池壁长，，解得：，池壁的总维修费用表达式为，，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值，即此时泳池的总维修费用最低.故答案为：.13．已知定义在上的函数为奇函数，为偶函数，当时，，则方程在上的实根个数为 ．【答案】【分析】根据条件确定函数周期性，画出函数在区间上的图象，根据图象可得实根个数.【详解】函数为奇函数，即，对称中心为，函数为偶函数，即，对称轴为，又由可得函数是周期函数，且周期为，当时，，则，令，得，单调递增，令，得，单调递减，所以.作出函数在区间上的图象如下：即在区间上，方程有个实根，又,则方程在上的实根个数为.故答案为：.14．若数列满足，则称该数列为“切线-零点数列”，已知函数有两个零点1､2，数列为“切线-零点数列”，设数列满足，，数列的前项和为，则 .【答案】【分析】先根据条件，判断数列是等比数列，确定首项和公比，再求其前项的和.【详解】因为有两个零点，由韦达定理可得，解得，所以，.由题意可得，所以，又因为，所以，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于判断数列为等比数列，也就是要说明为常数，只需要说明：是常数即可.所以根据条件得到：就是解决该问题的突破口.四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步15．（13分）已知函数在处的切线方程为.(1)求，的值；(2)证明：在上单调递增.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得即可；（2）令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到当时，即当时，即可得证.【详解】（1）因为，所以，依题意可得，即，解得，所以.（2）证明：由（1）可得，则，令，，则，所以在上单调递增，又，所以当时，即当时，所以在上单调递增.16．（15分）已知函数．(1)求的最小值；(2)设，证明：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用导数与函数性质的关系即可得解；（2）构造函数，利用导数证得恒成立，从而得证.【详解】（1）因为，，则，令，得；令，得；所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.（2）因为，，所以由，得，即，令，，则，令，得；令，得；所以在上单调递减，在上单调递增，则，即恒成立，所以.17．（15分）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式表示）(2)定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数”最小．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据圆柱体的表面积和体积公式及求出答案；（2）表达出，，构造函数，求导得到其单调性，进而得到S的最小值在或7取得，代入比较后得到结论.【详解】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：，，所以；（2）由题意可得，，令，，所以，令，解得，所以在单调递减，在单调递增，所以S的最小值在或7取得，当时，，当时，，所以在时，该建筑体S最小．18．（17分）已知直线和是函数图像两条相邻的对称轴．(1)求的解析式和单调区间；(2)保持图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图像．若在区间恰有两个极值点，求的取值范围．【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为(2)【分析】（1）根据周期性求出，再结合对称轴处的特殊值和的范围，可求出，从而求出解析式，利用整体代换来求单调区间即可；（2）利用三角函数的伸缩平移变换，可求出的解析式，再利用整体代换和数形结合的思想来求的范围.【详解】（1）由题设条件知的最小正周期，所以．又因为，，所以，．令，得的单调递增区间为，令，得的单调递减区间为．（2）由题可知，所以当时，．若在区间恰有两个极值点，则在区间恰有两个极值点，因此，解得的取值范围是．19．（17分）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：(1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；(2)比较（1）中与的大小.(3)证明：.【答案】(1), ；(2)答案见解析；(3)证明过程见解析.【分析】（1）根据在点处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；（2）令，利用导数可求得在上单调递增，结合可得的正负，由此可得与的大小关系；（3）令，利用导数可求得，即；①当时，由，，可直接证得不等式成立；②当时，分类讨论，由此可证得不等式成立.【详解】（1），，，，，，，即；同理可得：；（2）由（1）知：，，令，则，，，在上单调递增，又，当时，，单调递减；当时，，单调递增；，，在上单调递增，又，当时，；当时，；综上所述：当时，；当时，；当时，；（3）令，则，，在上单调递增，又，在上单调递减，在上单调递增，，即；在点处的阶泰勒展开式为：，，当且仅当时取等号，①当时，由（2）可知，，当且仅当时取等号，所以；②当时，设，，，，当，由（2）可知，所以，，即有；当时，，所以，时，单调递减，从而，即．综上所述：.【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；本题在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方法将不等式进行转化.