北师大版数学高二选择性必修第二册 重难点01：利用导数求曲线切线的常见题型 解题策略

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重难点01：利用导数求曲线切线的常见题型 解题策略角度一：求曲线切线的斜率(倾斜角)1．（2014·全国·高考真题）曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（     ）.A． B． C．2 D．1【答案】C【详解】试题分析：由，得，故，故切线的斜率为，故选C.考点：导数的集合意义.2．（2008·全国·高考真题）曲线在点处的切线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数的几何意义求解即可．【详解】∵，∴曲线在点处的切线的斜率，则倾斜角为，故选：B．3．（22-23高二下·北京东城·期末）如图，曲线在点处的切线为直线，直线经过原点，则（    ）      A． B． C． D．【答案】C【分析】根据导数的意义及直线的斜率公式求解即可.【详解】由题意，，且，所以.故选：C.4．（9-10高二下·山西晋中·期中）已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用导数的几何意义和直线的斜率公式，结合图象得出答案．【详解】和分别表示函数在和处的切线斜率，结合图象可得，而，表示过和两点的直线斜率，则故选：D5．（21-22高二下·北京顺义·期末）已知函数的部分图象如图所示，其中为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】结合函数图形及导数的几何意义判断即可；【详解】解：由图可知函数在点的切线斜率小于，即，在点的切线斜率等于，即，在点的切线斜率大于，即，所以；故选：B6．（2015·陕西·高考真题）设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．【答案】【详解】设.对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线上点P处的切线斜率为－1，由，得，则，所以P的坐标为(1，1)．考点：导数的几何意义．角度二：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)1．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线在点处的切线方程为，因为，所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C2．（2020·全国·高考真题）函数的图像在点处的切线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详解】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题3．（2007·湖北·高考真题）已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝ ．【答案】3【分析】根据导数的几何意义，可得的值，根据点M在切线上，可求得的值，即可得答案.【详解】由导数的几何意义可得，，又在切线上，所以，则=3，故答案为：3【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查分析理解的能力，属基础题.4．（2023·全国·高考真题）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；【详解】（1）当时，，则，据此可得，函数在处的切线方程为，即.5．（2023·天津·高考真题）已知函数．(1)求曲线在处的切线斜率；【详解】（1），则，所以，故处的切线斜率为；6．（2022·全国·高考真题）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；【详解】（1）的定义域为当时,,所以切点为,所以切线斜率为2所以曲线在点处的切线方程为角度三：求过一点的切线方程1．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．【答案】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；解： 因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；因为是偶函数，图象为：所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.[方法三]：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；.2．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．【答案】【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：3．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .【答案】.【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点，则.又，当时，，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．4．（2015·全国·高考真题）已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .【答案】1【详解】试题分析：.考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得.5．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知曲线，设点坐标为，(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程．(3)若曲线在点处的切线与曲线相切，求点的坐标【答案】(1)(2)或(3)或.【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得；（2）设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，再将点代入切线方程中，求出，即可求出切线方程；（3）设，表示出曲线在点处的切线，联立直线与，根据求出，即可求出点的坐标.【详解】（1）由，可得，所以，则曲线在点处的切线方程为，即；（2）设切点为，则，所以切线方程为，即，又切线过点，所以，即，即，即，即，即，解得或，则切线方程为或，所以过点的切线方程为或.（3）设，则，，所以曲线在点处的切线为，又曲线在点处的切线与曲线相切，由，可得，则，解得或，则或，所以或.6．（21-22高二上·安徽芜湖·期末）已知曲线．(1)求平行于直线且与曲线相切的直线方程；(2)求过点且与曲线相切的直线方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）设过点的切线与直线平行，求出函数的导函数，依题意可得，即可求出切点坐标，从而求出切线方程；（2）设切点为，由求出、，从而求出切线方程.【详解】（1）因为，所以，设过点的切线与直线平行，则，解得，所以，所以切线方程为，即.（2）设切点为，则，所以，解得或，所以切点为或，当切点为时切线的斜率，所以切线方程为；当切点为时切线的斜率，所以切线方程为；所以过点且与曲线相切的直线方程为或.角度四：已知切线(斜率)求参数1．（2015·全国·高考真题）已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ．【答案】8【详解】试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．2．（2018·全国·高考真题）曲线在点处的切线的斜率为，则 ．【答案】【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可．【详解】解：则所以故答案为-3.．3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；【详解】（1）因为，所以，因为在处的切线方程为，所以，，则，解得，所以.4．（2022·全国·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．(1)若，求a；【详解】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；5．（2020·全国·高考真题）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．（1）求b．【详解】（1）因为，由题意，，即：，则．6．（2018·北京·高考真题）设函数=[]．（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；详解：解：（Ⅰ）因为=[]，所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f ′(1)=(1–a)e．由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．此时f (1)=3e≠0．所以a的值为1．角度五：两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题1．（2016·山东·高考真题）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是A． B． C． D．【答案】A【分析】若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．【详解】解：函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y＝sinx时，y′＝cosx，满足条件；当y＝lnx时，y′0恒成立，不满足条件；当y＝ex时，y′＝ex＞0恒成立，不满足条件；当y＝x3时，y′＝3x2＞0恒成立，不满足条件；故选A．考点：导数及其性质.2．（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可.【详解】设直线与曲线的切点为且，与曲线的切点为且，又，，则直线与曲线的切线方程为，即，直线与曲线的切线方程为，即，则，解得，故，故选：A.3．（23-24高三上·四川·阶段练习）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意知，过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线的距离最小，结合导数由求得点坐标，再运用点到线的距离公式求解即可.【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线的距离最小，设切点为， 则，因为，所以切线斜率为，由题知，解得或（舍），所以，此时点到直线的距离，故选：B.4．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．【答案】【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.【详解】由题意，，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.5．（2016·全国·高考真题）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．【答案】【详解】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′（x0）（x−x0）．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．6．（2012·北京·高考真题）已知函数，（），（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值【详解】（1），∵曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线∴，∴角度六：已知某点处的导数值求参数或自变量1．（2008·辽宁·高考真题）设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为A． B． C． D．【答案】A【详解】因为,又因为曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则切线的斜率，所以,解得，故选A.2．（2023·全国·模拟预测）若过点与曲线相切的直线只有2条，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得，求得切线方程,结合题意，转化为方程有2个不等实根，根据二次函数的性质，即可求解.【详解】设过点的直线与曲线相切于点，由，可得，所以切线的斜率，整理得，因为切线有2条，所以切点有2个，即方程有2个不等实根，则，解得或，所以的取值范围是．故选：D．3．（22-23高二下·江西吉安·期末）若动点在曲线上，则动点到直线的距离的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】转化为在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，利用导数的几何意义求出切点的坐标，再根据点到直线的距离公式可求出结果.【详解】设，由题意知，则在点处的切线斜率为，当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，由，得，则，所以点到直线的距离.所以动点到直线的距离的最小值为.故选：A4．（22-23高二下·河南郑州·期中）若曲线在处的切线与直线垂直，则实数（    ）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】求出函数的导函数，即可表示出切线的斜率，再得到直线的斜率，根据两直线垂直斜率之积为得到方程，即可求出参数的值.【详解】因为，所以，则，所以曲线在点处的切线的斜率为，又直线的斜率，由切线与直线垂直可知，即，解得．故选：B．5．（多选）（2023·安徽芜湖·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（    ）A． B．切线：C． D．【答案】ABD【分析】由函数零点的存在性定理和，得到，可判定A正确；求得，设切点，求得切线方程，令，求得，可判定D正确；当时，求得，得出切线方程，可判定B正确；计算求得的值，可得判定C错误.【详解】由，可得，即，根据函数零点的存在性定理，可得，所以A正确；又由，设切点，则切线的斜率为，所以切线方程为，令，可得，所以D正确；当时，可得，则，所以的方程为，即，所以B正确；由，可得，，此时，所以C错误；故选：ABD6．（2022·全国·模拟预测）过原点作曲线的切线l，并与曲线交于，两点，若，则 ．【答案】【分析】首先求切线的方程，再利用点三点共线，利用斜率公式，转化为方程，即可求解.【详解】，设切线与曲线相切于点，则，切线过点，代入解得，易知切线l的方程为，所以，由，解得，所以，即．故答案为：