北师大版数学高二选择性必修第二册 重难点02：求数列前n项和常用10种 解题策略

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重难点02：求数列前n项和常用10种 解题策略考点01：等差数列公式法① 1．两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得，结合题意计算即可求解.【详解】.故选：D.2．已知在等差数列中，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值．【答案】(1)；(2)时取得最大值为.【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；（2）写出等差数列前n项和，应用其二次函数性质求最大值和对应n.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，故，所以.（2）由，且，所以，故时取得最大，最大值为.考点02：等比数列公式法②3．已知正项等比数列的前n项和为．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式计算即可.【详解】设正项等比数列的公比为q（）．∵，∴．∵，∴，故，解得（舍负值），∴，∴，∴．故选：A．4．记为等差数列的前项和，已知，.(1)求的通项公式；(2)若是等比数列，且，，求的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知条件求出数列首项与公差，可求的通项公式；（2）由可得的首项与公比，可求前n项和.【详解】（1）设等差数列公差为，，，解得，所以；（2）设等比数列公比为，，，得，解得，所以.考点03：裂项求和：裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项在利用裂项相消求和时应注意：善于识别裂项类型（1）在把通项裂开后，是否恰好能利用相应的两项之差，相应的项抵消后是否只剩下第一项和最后一项，或者只剩下前边两项和后边两项，有时抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面剩两项,或者前面剩几项,后面也剩几项;（2）对于不能由等差数列，等比数列的前n项和公式直接求和问题，一般需要将数列的结构进行合理的拆分，将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差或系数之积与原通项相等.转化成某个新的等差或者等比数列进行求和。应用公式时，要保证公式的准确性，区分是等差还是等比数列的通项还是前n项和公式。（3）使用裂项法求和时，要注意正负相消时消去了哪些项保留了哪些项，切不可漏写末被消去的项，末被消去的项前后对称的特点，漏掉的系数裂项过程中易出现丢项或者多项的错误，造成计算结果上的错误，实质上也是造成正负相消是此法的根源目的。(4)常见的裂项技巧①等差型（1） （2）（3） （4）②根式型（1）（2）（3）③指数型（1）（2）（3）（4）④对数型 ⑤幂型（1） （2）（3）5．已知离散型随机变量X的分布列为，其中a为常数，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据离散型随机变量的概率之和为1可求解，进而根据概率公式即可求解.【详解】，所以；故故选：B6．记等差数列的前项和为，已知，且．(1)求和；(2)设，求数列前项和．【答案】(1)；；(2)．【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和；（2）利用裂项相消法求和.【详解】（1）设的公差为，因为，所以，又，所以，解得，所以，．（2），所以．7．在已知数列中，，．（1）若数列是等比数列，求常数和数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【详解】分析：（1）若数列是等比数列，故构造，可得数列是以为首项，以2为公比的等比数列；（2）由（1）可得，，分离参数，求的最大值即可.（1）∵，∴，∵，∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，由题意得，，∴，即数列的通项公式为．（2）由（1）可得，，∵，∴，由不等式组得，∴数列的最大项是第2项和第3项，值为．∴，所以实数的取值范围是．点睛：考查数列的通项求法，此题用的是数列通项的构造法，构造为等比数列求解是解通项的关键，对于第二问则转化为函数的最值问题分析是关键.属于中档题.8．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，求的前1012项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，又，则，，因为成等比数列，所以，即，得，又因为是公差不为零的等差数列，所以，即.（2）由（1）知，.考点04：错位相减法：通项公式特点：等差等比，比如，其中代表一个等差数列的通项公式（关于的一次函数），代表一个等比数列的通项公式（关于的指数型函数），那么便可以使用错位相减法9．已知数列的首项，设为数列的前项和，且有．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据得到，两式相减构造常数列即可求出数列的通项公式；（2）利用错位相减法求和方法进行求和即可【详解】（1）由，当时，，两式相减，得，即，即对恒成立，所以是常数列，所以，所以（2）由（1）知，，所以，所以，两式相减，得，所以10．已知数列的前项和为.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据求出通项公式；（2）利用错位相减法求和.【详解】（1）当时，，当时，，显然满足，综上，；（2），故，则，两式相减得，故.考点05：倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n项和公式的推导方法) .11．已知函数，则 ．【答案】/【分析】先计算得到，然后利用倒序相加法求和.【详解】，，设①，则②，①+②得，.故答案为：.12．求的值.【答案】【解析】利用倒序相加结合即可得解.【详解】设，将其右边反序得，又∵，∴，.【点睛】本题主要考查了倒序相加法求和，属于基础题.考点06：分组求和法：有一类数列 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和．注：①形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减②形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减③形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减(2)通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．注：（1）分奇偶各自新数列求和（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：①可构建新数列；②可“跳项”求和(3)正负相间求和：①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。注：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.13．等比数列的公比为2，且成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)运用等差中项求出 ，再根据等比数列的通项公式求出 ；(2)根据条件求出 的通项公式，再分组求和.【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，， ， 解得， ；（2）， . ；综上，14．已知数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前100项的和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据与之间的关系，结合等比数列的定义进行求解即可；（2）根据特殊角余弦值的特点，结合等比数列的前项和公式进行求解即可.【详解】（1）当时，，整理得，又，得则数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列.则（2）当时，当时，，当时，，当时，，则考点07：分段求和法：如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和法求和．15.在数列中，，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求．答案（1）；（2）.【分析】（1）根据递推关系式判断数列是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求解.（2）讨论或，利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】（1），，∴数列是等差数列，设其公差为，，，．（2）设数列的前项和为，则由（1）可得，，．由（1）知，令，得．∴当时，，则；当时，，则．【点睛】方法点睛：求数列的前项和，关键在于分清哪些项为非负的，哪些项为负的，最终应化为去掉绝对值符号后的数列进行求和．如果数列为等差数列，为其前项和，，那么有：（1）若，则存在，使得，从而有（2）若，则存在，使得，从而有16.已知数列的前项和.（1）求证：是等差数列；（2）求数列的前项和.答案（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）现根据已知条件求解出的通项公式，然后根据等差数列的定义证明为等差数列；（2）先将的通项公式分段书写，然后对分类讨论，由此求解出的最终结果.【详解】（1）由题意得①若，则，②若，则，经检验满足上式.故，由可知，数列是首项为23，公差为的等差数列.（2）易得：①若，，②若，，综上.【点睛】思路点睛：已知为等差数列，求解的前项和的思路：（1）先根据项的正负将的通项公式分段书写；（2）根据分段的通项公式，分别考虑在对应的范围下的计算方法，由此求解出结果.考点08：奇偶分析求和法17.已知数列满足，，，数列的前n项和为，则（       ）A．351 B．353 C．531 D．533【答案】B【解析】【分析】根据题意讨论的奇偶，当为奇数时，可得，按等差数列理解处理，当为偶数时，可得，按并项求和理解出来，则按奇偶分组求和分别理解处理．【详解】依题意，，显然，当n为奇数时有，即有，，…，，令，故，所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，故；当n为偶数时有，即，，…，，于是，，故选：B．18.设数列的前n项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前15项的和.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用关系及等比数列的定义求的通项公式.（2）由（1）有n为奇数时，n为偶数时，再应用分组求和、等比数列前n项和公式求前15项的和.(1)由得，当n=1时，，解得.当n≥2时，，从而，即，因此数列是等比数列，其首项和公比都等于2，所以.(2)当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以数列的前15项和为.考点09：其它求和法19．数列的前项和，则等于(　　)A．171 B．21 C．10 D．161【答案】D【详解】由题意得．选D． 20．已知数列满足，，则其前6项之和是（　　）A．16 B．20 C．33 D．120【答案】C【分析】根据，分别求出前6项，然后求和即可．【详解】因为，∴，，，，，∴其前6项之和是.故选：C．21．设数列有，则 .【答案】【分析】根据对数性质化简计算即可.【详解】所以故答案为：【点睛】本题考查利用对数性质进行化简，考查基本分析化简能力，属基础题.22．数列的通项公式为，前项和为，则＝ .【答案】【分析】根据题设中的通项公式，列举出数列的前几项，找出规律，然后根据规律求和.【详解】解： ，，，，又的周期为， 故答案为：23．已知数列是等差数列，且，．(1)求的通项公式；(2)表示不超过x的最大整数，如，．若，是数列的前n项和，求．【答案】(1)(2)23【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解，（2）根据所给定义可用列举法求解，即可求和.【详解】（1）设数列的公差为，则，，解得,故；（2）由可得前11项分别为故的前11项分别为所以.24．已知数列的前n项和为，，．(1)求的通项公式；(2)设，，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据与的关系直接求通项公式即可；（2）根据（1）中的通项公式得到，分奇偶讨论并整合即可得到答案.【详解】（1）由题意，当时，，当时，，当时，上式也符合，所以的通项公式为.（2）由（1）得，，所以，．（ⅰ）当n为偶数时，；（ⅱ）当n为奇数时，；综上所述，.走进高考1．（2021·全国·统考高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 .【答案】 5 【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，设，则，两式作差得：，因此，.故答案为：；.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.2．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据即可求出；（2）根据错位相减法即可解出．【详解】（1）因为，当时，，即；当时，，即，当时，，所以，化简得：，当时，，即，当时都满足上式，所以．（2）因为，所以，，两式相减得，，，即，．3．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.【详解】（1）设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，，所以数列的通项公式是.（2）方法1：由（1）知，，，当为偶数时，，，当时，，因此，当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.方法2：由（1）知，，，当为偶数时，，当时，，因此，当为奇数时，若，则，显然满足上式，因此当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.4．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.【详解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；（2） ∴5．（2021·全国·统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．【答案】（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和，，．设，    ⑧则．     ⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得，，①，②①②得 ，所以，所以，所以.[方法三]：构造裂项法 由（Ⅰ）知，令，且，即，通过等式左右两边系数比对易得，所以．则，下同方法二．[方法四]：导函数法设，由于，则．又，所以，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.6．（2020·全国·统考高考真题）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设的前项和为，，，①，②①②得，，.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.7．（2019·全国·高考真题）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式.【答案】（1）见解析；（2），．【分析】(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果．【详解】(1)由题意可知，，，，所以，即，所以数列是首项为、公比为的等比数列，，因为，所以，数列是首项、公差为的等差数列，．(2)由(1)可知，，，所以，．【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．8．（2018·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，．    （1）求的通项公式；    （2）求，并求的最小值．【答案】（1）；（2），最小值为–16．【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；（2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出.【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以．[方法二]：函数+待定系数法设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以． （2）[方法1]：邻项变号法由可得．当，即，解得，所以的最小值为，所以的最小值为．[方法2]：函数法由题意知，即，所以的最小值为，所以的最小值为．【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解；（2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值；方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值．9．（2018·全国·高考真题）已知数列满足，，设．（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式．【答案】（1），，；（2）是首项为，公比为的等比数列．理由见解析；（3）.【分析】（1）根据，求得和，再利用，从而求得，，；（2）方法一：利用条件可以得到，从而可以得出，这样就可以得到数列是首项为，公比为的等比数列；（3）方法一：借助等比数列的通项公式求得，从而求得.【详解】（1）由条件可得，将代入得，，而，所以，．将代入得，，所以，．从而，，；（2）[方法1]：【通性通法】定义法由以及可知，，，所以，，又，所以为等比数列．[方法2]：等比中项法由知，所以，．由知，所以．所以为等比数列．（3）[方法1]：【最优解】定义法由（2）知，所以．[方法2]：累乘法因为，累乘得：．所以．【整体点评】（2）方法一：利用定义证明数列为等比数列，是通性通法；方法二：利用等差中项法判断数列为等比数列，也是常用方法；（3）方法一：根据（2）中结论利用等比数列的通项公式求解，是该题的最优解；方法二：根据递推式特征利用累乘法求通项公式．10．（2017·全国·高考真题）设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列 的前项和．【答案】(1) ；(2).【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列满足时,∴ ∴当时,,上式也成立∴（2）∴数列的前n项和【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.11．（2019·天津·高考真题） 设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足求.【答案】（I），；（II）【分析】（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得，进而求得等差数列和等比数列的通项公式；（II）根据题中所给的所满足的条件，将表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.【详解】（I）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意，得，解得，故，，所以，的通项公式为，的通项公式为；（II），记    ①则   ②②①得，，所以.【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.12．（2014·江西·高考真题）已知首项都是1的两个数列（），满足.（1）令，求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和【答案】（1）（2）【详解】试题分析：（1）已知数列，因此对变形为所以数列是以首项，公差的等差数列，故（2）由知，是等差乘等比型，所以求和用错位相减法. ,相减得所以试题解析：（1）因为，所以所以数列是以首项，公差的等差数列，故（2）由知于是数列前n项和相减得所以考点：等差数列定义，错位相减求和