2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块12-立体几何初步-2025新高考数学专题

这是一份2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块12-立体几何初步-2025新高考数学专题，共36页。试卷主要包含了空间几何体，多面体，旋转体，空间几何体的结构特征，常见的几种四棱柱之间的转化关系，正棱雉的相关概念与性质，正棱台的简单概念与性质，球的相关概念与性质等内容，欢迎下载使用。
在我们周围存在着各种各样的物体, 它们都占据着空间的一部分. 如果只考虑这些物体的形状和大小, 而不考 虑其他因素, 那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.
2、多面体
(1) 定义: 一般地, 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。
(2) 组成元素:
面: 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面;
(2)棱: 两个面的公共边叫做多面体的棱;
(3)顶点: 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
(4)体对角线: 连接不在同一面上上的两个顶点的线段.
3、旋转体
(1) 定义: 一条平面曲线 (包括直线) 绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋
转面, 封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
(2) 旋转体的轴: 平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.
4、空间几何体的结构特征
5、常见的几种四棱柱之间的转化关系
侧棱长等于底面是
底面边长正方形 正四棱柱长方体
6、正棱雉的相关概念与性质
(4) 正棱雉: 底面是正多边形, 并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱雉叫做正棱雉. 如《注意正三棱锥与正四面 图易知正棱雉的侧面都是全等的等腰三角形. 体的区别与联系:
(2) 正棱雉的斜高: 正棱雉侧面等腰三角形的底边上的高叫做正棱雉所有棱长都相等的三棱雉
体各个面都是等边三角 的斜高. 正棱雉的斜高都相等. 叫做正四面体, 即正四面
(5) 正棱雉的简单性质: 形. 正四面体是正三棱雉,
- 各侧棱相等, 各侧面都是全等的等腰三角形, 斜高都相等. 但正三棱雉只有在侧棱与
- 正棱雉的高、斜高和斜高在底面上的投影组成一个直角三角形, 如底面三角形的边长相等时 图中 Rt △AOE . 正棱雉的高、侧棱和侧棱在底面上的投影也组成才是正四面体. 一个直角三角形,如图中 Rt △AOD .
7、正棱台的简单概念与性质
(1) 正棱台的概念: 由正棱雉截得的棱台叫做正棱台.
一正棱台的简单性质:
- 正棱台的侧棱都相等, 侧面是全等的等腰梯形, 各等腰梯形的
高相等, 它叫做正棱台的斜高.
- 正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形.
- 正棱台两底面中心的连线、相应的边心距和斜高组成一个直角 梯形,如图中直角梯形 OO′E′E . 正棱台两底面的中心连线、侧棱 和两底面中心分别与该侧棱相应端点的连线也组成一个直角梯 形,如图中直角梯形 OO′B′B .
8、球的相关概念与性质
(4) 球面: 半圆以它的直径所在直线为旋转轴, 旋转一周形成的曲面叫做球面. 公球的截面的性质:
- r=R2−d2 ,其中 r 为截面圆的半径, R 为球的半径, d 为球心 O 到截面圆圆心 O′ 的距离,如图.
(球的大圆、小圆:球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆,被 不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆. 例如, 把地球看作一个球
时, 经线是球面上从北极到南极的半个大圆, 赤道是一个大圆, 其余的纬线都是小圆.
球面距离: 两点之间在球面上的最短距离, 就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的 长度, 我们把这个弧长叫做两点的球面距离.
8、正方体的截面形状探究
(1) 截面可以是三角形: 一般三角形、等腰三角形、等边三角形.
※截面若是三角形, 则一定是锐角三角形, 不可能是直角三角形、钝角三角形.
(3) 截面可以是四边形: 梯形、平行四边形、矩形、正方形等. 截面为四边形时, 至少有一组对边 平行.
4 截面不可能是直角梯形.
截面可以是五边形, 当截面为五边形时必有两组分别平行的边, 同时有两个角相等, 截面 五边形不可能是正五边形.
(6)截面可以是六边形, 当截面为六边形时必有三组分别平行的边, 同时有三组对角分别相 等. 截面六边形可以是等角的六边形. 特别地, 可以是正六边形.
一般三角形等腰三角形等边三角形梯形平行四边形
矩形正方形任意五边形任意六边形
9、正四面体的性质（正四面体的棱长为 a ）
(1) 表面积 S=3a2 ; (2) 体积 V=212a3 ; (3) 正四面体的高: h=63a ;
(4) 外接球半径: R=64a ; (5) 内切球半径: r=612a ;
(6) 对棱间的距离: d=22a ; (7) 相邻面所成二面角余弦值: csα=13 ;
(8) 正四面体内任一点到各面距离之和为定值 63a
10、立体图形的直观图
(1) 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1) 在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O . 画直观图时,把它们画 成对应的 x′ 轴与 y′ 轴,两轴相交于点 O′ ,且使 ∠x′O′y′=45∘ (或 135∘ ),它们确定的平面表 示水平面.
(2) 已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x′ 轴或 y′ 轴的 线段.
(3) 已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段, 在直观图中长度为原来的一半.
(2) 用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤
一般地, 用斜二测画法画立体图形直观的步骤如下.
(1) 在立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的 x 轴与 y 轴,作出水平平面上图 形的直观图 (保留 x′ 轴与 y′ 轴).
(2) 在立体图形中,过 x 轴与 y 轴的交点取 z 轴,并使 z 轴垂直于 x 轴与 y 轴. 过 x′ 轴与 y′ 轴的交点作 z 轴对应的 z′ 轴,且 z′ 轴垂直于 x′ 轴. (3) 图形中与 z 轴平行 (或重合) 的线段画成与 z ’轴平行 (或重合) 的线段,且长度不变. (4) 顺次连接有关线段.
11、空间中点线面的位置关系
(1) 平面:
1) 直观理解: 课桌面、黑板面、教室底面、平静的水面都给我们以 平面的形象, 但它们都不是平面, 而是平面的一部分.
2) 抽象理解: 平面是平的, 平面是无限延展的, 平面无厚薄.
(2) 基本事实:
(3) 三个推论:
可简记为"线及线外一点,确定一个平面".
(4) 空间点线面位置关系
(1)点与直线、平面的位置关系
(2)直线与直线的位置关系
(3)平面与平面的位置关系
12、空间中直线、平面平行
(1) 基本事实 4:
基本事实 4 平行于同一条直线的两条直线平行.
基本事实 4 表明, 空间中平行于同一条直线的所
有直线都互相平行. 它给出了判断空间两条直线平行 2) 符号语言: a,b,c 是三条不同的直线, a//bb//c⇒a//c . 的依据. 基本事实 4 表述的性质通常叫做平行线的传 递性. 3) 作用: 判断或证明空间中两条直线平行.
(2) 空间等角定理
定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补.
○温馨提示#
1.空间等角定理是用于证明空间两个角相等的判定定理, 它 是平面几何中的等角定理在空间中的推广.
2. 空间等角定理解决了角在空间中经过平移后大小是否改变 的问题,为两条异面直线所成的角及后面的二面角的平面 角的定义提供了理论依据, 保证了其大小的唯一性.
(3) 直线与平面平行的判定定理与性质定理
●名师点睛
1. 判定定理的条件有三条:
(1) a⊄α,2)b⊂α, (3) a//b . 这 三个条件缺一不可.
2. 判定定理可简记为 “若线线 平行, 则线面平行. "
(4) 平面平行的判定定理与性质定理
▪名师点睛
利用判定定理证明两个 平面平行时, 必须具备两个 条件:
1. 一个平面内有两条直线平 行于另一个平面;
2. 这两条直线必须为相交 直线.
注意面面平行判定定理中 的“相交”二字，若不是相交 直线则不能判定。如平面 β 内可以有无数条平行直线 平行于平面 α ,但平面 β 与 平面 α 相交.
【总结】请总结一下空间中直线、平面平行的方法。(写出空间中与平行有关的结论)
性质
13、空间中直线、平面的垂直
(1) 异面直线所成的角
1.两条异面直线所成的角的定义
如图,已知两条异面直线 a,b ,经过空间任一点 O 分别作直 线 a′//a,b′//b ,我们把直线 a′ 与 b′ 所成的角叫做异面直线 a 与 b 所成的角 (或夹角).
○温馨提示#
在定义中,空间一点 O 是任取的,根据空间等角定理,可 以判定异面直线 a,b 所成的角与直线 a′,b′ 所成的锐角 (或直 角) 相等,角的大小与点 O 的位置无关. 为了简便,点 O 常取 在两条异面直线中的一条上. 2.异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角 θ 必须是锐角或直角,即 θ 的范围是 0∘< θ≤90∘ . 异面直线所成角不能是 0∘ ,若是 0∘ ,则两直线平行.
空间两条直线所成角 α 的取值范围是 0∘≤α≤90∘ .
3. 两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角, 那么我们就说这两条 异面直线互相垂直. 直线 a 与直线 b 垂直,记作 a⊥b .
(2) 直线与平面的垂直
一般地,如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,我
图 8.6-9
们就说直线 l 与平面 α 互相垂直,记作 l⊥α . 直线 l 叫做平面 α 的垂线,平面 α 叫做直线 l 的垂面. 直线与平面垂直时,它们唯 一的公共点 P 叫做垂足.
画直线与平面垂直时, 通常把直线画成与表示平面的平行四 边形的一边垂直, 如图 8.6-9 所示.
(3) 直线与平面垂直的判定定理与性质定理
○温馨提示
1. 线面垂直的判定定理的作用
证明直线与平面垂直. 由定 理可知, 要判定一条已知直 线和一个平面垂直, 只需要 在该平面内找出两条相交 直线与已知直线垂直即可. 至于这两条直线是否与已 知直线有交点, 这是无关紧 要的.
2. 线面垂直的性质定理的作用
1) 证明线线平行.
2) 利用该定理可构造平行线, 使这些直线都垂直于同一 个平面.
2.直线与平面垂直的其他性质
1) 垂直于同一条直线的两个平面互相平行.
1. 与线面垂直有关的结论
2) 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面, 那么另一 条也垂直于这个平面.
1) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 3) 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个, 那么它必垂直
2) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 于另一个平面.
(4) 直线与平面所成的角
1.定义
1) 平面的斜线: 如图,一条直线 l 与一个平 面 α 相交,但不与这个平面垂直,这条直 线叫做这个平面的斜线, 斜线和平面的 交点 A 叫做斜足.
2) 斜线在平面上的射影: 如图,过斜线上斜足以外的一点 P 向平 面 α 引垂线 PO ,过垂足 O 和斜足 A 的直线 AO 叫做斜线在这 个平面上的射影.
○ 最小角定理
斜线和它在平面内的射 影所成的角 (即线面角) 是斜 线和这个平面内的所有直线 所成角中最小的角.
如图所示, θ、θ1、θ2 之间 的关系为 csθ1=csθ . csθ2 .
3) 斜线与平面所成的角: 平面的一条斜线和它在平面上的射影 所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角.
2.直线与平面所成角的范围
斜线和平面所成角的
范围是 0,π2 .
1) 一条直线和平面平行, 或在平面内, 我们说它们所成的角 是 0∘ .
2) 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是 90∘ .
3) 直线与平面所成的角 β 的范围是 0∘≤β≤90∘ .
(5) 二面角
如图 8.6-23,在二面角 α−l−β 的棱 l 上任取一点 O ,以点 O 为垂足,在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB ,则射线 OA 和 OB 构成的 ∠AOB 叫做二面角的平 面角.
图 8.6-23
2
∠AOB 的大小与点 O 在 l 上的位置有关吗? 为 什么?
二面角的大小可以用它的平面角来度量, 二面角的平面角是多少度, 就说这个二面角 是多少度. 平面角是直角的二面角叫做直二面角. 二面角的平面角 α 的取值范围是 0∘≤ α≤180∘.
(6) 平面与平面垂直的判定定理与性质定理
○平面与平面垂直的其他性
质与结论
1. 如果两个平面互相垂直, 那 么经过第一个平面内一点 垂直于第二个平面的直线 在第一个平面内,即 α⊥β,A ∈α,A∈b,b⊥β⇒b⊂α.
2. 如果两个平面互相垂直, 那 么与其中一个平面平行的 平面垂直于另一个平面, 即 α⊥β,γ//β⇒γ⊥α.
3. 如果两个平面互相垂直, 那 么其中一个平面的垂线平 行于另一个平面或在另一 个平面内,即 α⊥β,b⊥β⇒b //α 或 b⊂α .
4. 如果两个相交平面都垂直 于第三个平面, 那么它们的 交线垂直于第三个平面, 即 α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ.
5. 三个两两垂直的平面的交 线也两两垂直,即 α⊥β,α∩ β=l,β⊥γ,β∩γ=m,γ⊥α,γ ∩α=n⇒l⊥m,m⊥n,l⊥n.
(7) 空间中的距离 ○ 求点到平面距离的步骤
1. 找到或作出点到平面的垂 线段.
2. 使垂线段在某一个三角 形中.
3. 在三角形中根据三角形的 边角关系求出距离.
2.直线和平面间的距离到面的距离都相等.
一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个 平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离. 3. 平行平面间的距离
如果两个平面平行, 那么其中一个平面内的任意一点到另一 个平面的距离都相等, 我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 4. 异面直线间的距离
与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公 垂线. 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长 度叫做两条异面直线间的距离.
任意两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.
【总结】请总结一下空间中直线、平面平行的方法。(写出空间中与垂直有关的结论)
【课本优质习题汇总】
新人教 A 版必修第二册 P119
1. 已知圆雉的表面积为 a m2 ,且它的侧面展开图是一个半圆,求这个圆锥的底面直径.
新人教 A 版必修第二册 P120
3. 如图,一个直三棱柱形容器中盛有水,侧棱 AA1=8 . 若侧面 AA1B1B 水平放置时,水面恰好 过 AC,BC,A1C1,B1C1 的中点. 那么当底面 ABC 水平放置时,水面高为多少?
(第 3 题)
(第 4 题)
4. 如图,圆雉 PO 的底面直径和高均是 a ,过 PO 的中点 O′ 作平行于底面的截面,以该截面为底 面挖去一个圆柱, 求剩下几何体的表面积和体积.
8. 分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴, 其余各边旋转一周形成的曲面围成 3 个几何体. 这 3 个几何体的体积之间有什么关系?
新人教 A 版必修第二册 P132
5. 正方体各面所在平面将空间分成几部分?
新人教 A 版必修第二册 P132
7. 如图, 三条直线两两平行且不共面, 每两条直线确定一个平面, 一共可以确定几个平面? 如果 三条直线相交于一点, 它们最多可以确定几个平面?
(第 7 题)
(第 8 题)
8. 如图, △ABC 在平面 α 外, AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R ,求证: P,Q,R 三点 共线.新人教 A 版必修第二册 P144
7. 如图, α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,AB//α ,求证 CD//EF .
(第 7 题)
(第 8 题)
8. 如图,直线 AA′,BB′,CC′ 相交于点 O,AO=A′O,BO=B′O,CO=C′O ,求证: 平面 ABC// 平面 A′B′C′ .
11. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面, 求证: 另一条也平行于这个平面.
12. 一木块如下页图所示,点 P 在平面 VAC 内,过点 P 将木块锯开,使截面平行于直线 VB 和 AC ,在木块表面应该怎样画线?
(第 12 题)
(第 13 题)
13. 如图, α//β//γ ,直线 a 与 b 分别交 α,β,γ 于点 A,B,C 和点 D,E,F ,求证 ABBC=DEEF .
新人教 A 版必修第二册 P145
14. 如图, a,b 是异面直线, a⊂α,a//β,b⊂β,b//α ,求证 α//β .
(第 14 题)
15. 如图,透明塑料制成的长方体容器 ABCD−A1B1C1D1 内灌进一些 水,固定容器底面一边 BC 于地面上,再将容器倾斜. 随着倾斜度 的不同, 有下面五个命题:
(1) 有水的部分始终呈棱柱形;
(2) 没有水的部分始终呈棱柱形;
(3) 水面 EFGH 所在四边形的面积为定值;
(4) 棱 A1D1 始终与水面所在平面平行;
(5) 当容器倾斜如图 (3) 所示时, BE⋅BF 是定值.
其中所有正确命题的序号是__________, 为什么?
(第 15 题)
新人教 A 版必修第二册 P152
4. 过 △ABC 所在平面 α 外一点 P ,作 PO⊥α ,垂足为 O ,连接 PA,PB,PC .
(1) 若 PA=PB=PC ,则点 O 是 △ABC 的_
(2) 若 PA=PB=PC,∠C=90∘ ,则点 O 是 AB 边的____点.
(3) 若 PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA ,垂足都为 P ,则点 O 是 △ABC 的_
新人教 A 版必修第二册 P162
2. 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“ ​ ,错误的画 “ × ”.
(1) 过平面外一点, 有且只有一条直线与这个平面垂直. ( )
(2) 过平面外一点, 有且只有一条直线与这个平面平行. ( )
(3) 过直线外一点, 有且只有一个平面与这条直线垂直. ( )
(4) 过直线外一点, 有且只有一个平面与这条直线平行. ( )
(5) 过直线外一点, 有且只有一条直线与这条直线平行. ( )新人教 A 版必修第二册 P163
15. 如图,在正方形 SG1G2G3 中, E,F 分别是 G1G2,G2G3 的中点, D 是 EF 的中点. 若沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 G1,G2,G3 三点重合,重合后的点记为
G ,则在四面体 S−EFG 中,哪些棱与面互相垂直?
(第 15 题)
新人教 A 版必修第二册 P164
19. 如图,在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中, ∠ABC=90∘,AA1=AB ,求证 A1C⊥AB1 .
(第 19 题)
(第 20 题)
20. 如上页图, AB 是 ⊙O 的直径,点 C 是 ⊙O 上的动点,过动点
(第 21 题)
C 的直线 VC 垂直于 ⊙O 所在平面, D,E 分别是 VA,VC 的 中点. 判断直线 DE 与平面 VBC 的位置关系,并说明理由.
21. 如图,在四棱雉 P−ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA⊥ 底面 ABCD,PA=AB,E 为线段 PB 的中点, F 为线段 BC 上的动点. 平面 AEF 与平面 PBC 是否互相垂直? 如果垂直, 请证明; 如果不垂直, 请说明理由.
新人教 A 版必修第二册 P169
1. 从多面体角度去考察棱柱、棱雉、棱台, 填写下列表格:
新人教 A 版必修第二册 P169
3. 填空题
(1) 正方体的棱长扩大到原来的 n 倍,则其表面积扩大到原来的_____倍,体积扩大到原 来的______倍;
(2) 球的半径扩大到原来的 n 倍,则其表面积扩大到原来的
(第 4 题)
倍, 体积扩大到原来的______ 倍.
4. 如图,一块边长为 10 cm 的正方形铁片上有四块阴影部分. 将这些阴 影部分裁下来, 然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四 棱雉形容器,把容器的容积 V (单位: cm3 ) 表示为 x (单位: cm ) 的 函数.
5. 三个平面可将空间分成几部分? 请分情况说明.
新人教 A 版必修第二册 P170
7. 如图,四边形 A′B′C′D′ 是 ▫ABCD 在平面 α 上的投影 AA′//BB′//CC′//DD′ ,求证: 四 边形 A′B′C′D′ 是平行四边形.
(第 7 题)
(第 8 题)
8. 如图,一块正方体形木料的上底面有一点 E . 若经过点 E 在上底面上画
一条直线与 CE 垂直,则应该怎样画?
10. 如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,将 △AED , △BEF,△DCF 分别沿 DE,EF,DF 折起,使 A,B,C 三点重合于点 A′ .
(1) 求证 A′D⊥EF ;
(2) 求三棱雉 A′−EFD 的体积.
(第 10 题)
新人教 A 版必修第二册 P171
11. 如下页图,在四面体 A−BCD 中, M 是 AD 的中点, P 是 BM 的中点,点 Q 在线段 AC 上,
且 AQ=3QC . 求证: PQ// 平面 BCD .
(第 11 题)
(第 12 题)
12. 如图,在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,求证:
(1) B1D⊥ 平面 A1BC1 ;
(2) B1D 与平面 A1BC1 的交点 H 是 △A1C1B 的重心.
16. 已知 m,n 为异面直线, m⊥ 平面 α,n⊥ 平面 β . 若直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β , 则 ( ).
(A) α//β,l//α (B) α 与 β 相交,且交线平行于 l
(C) α⊥β,l⊥β (D) α 与 β 相交,且交线垂直于 l 新人教 B 必修第四册 P85
例 2 已知四棱台上、下底面面积分别为 S1,S2 ,而且高为 h ,求这 个棱台的体积.
如图 11-1-56 所示, 将四棱台看成从
图 11-1-56
棱雉 P−ABCD 中截去棱雉 P−A1B1C1D1 所得 到的,且设两个棱雉的高分别为 PO 与 PO1 . 由已知有
S1S2=PO12PO2,
再由 PO−PO1=OO1=h ,因此可得
PO1=S1S2−S1h,PO=S2S2−S1h.
从而可知棱台的体积为
V=13×S2×PO−13×S1×PO1
=h3S2−S1S2S2−S1S1=h3S2−S1S232−S132
=h3S2−S1S212−S112S2+S212S112+S1
=h3S2+S2S1+S1.
一般地,如果台体的上、下底面面积分别为 S1,S2 ,高为 h ,则台 体的体积计算公式为
V台体=13S2+S2S1+S1h.
新人教 B 必修第四册 P88
已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，而且这个
(第 6 题)
正三棱锥的所有棱长都为 2 , 求这个球的体积.
(4) 如图所示,直角梯形 ABCD 分别以 AB,BC,CD,DA 所在 直线为轴旋转, 试说明所得几何体的形状.
新人教 B 必修第四册 P88
四棱台中，与一条侧棱异面的棱有几条? 新人教 B 必修第四册 P89
(1) (1) 已知一个圆台的轴截面是下底为 2 且其余边长为 1 的等腰梯形, 求圆台 的高.
(2) 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥, 截得圆台上、下底面半径的 比是 1:4 ,截去的圆锥的母线长是 3,求圆台的母线长. 新人教 B 必修第四册 P89
(1) 将地球视为球体,记地球半径为 R ,地球球心为 O ,设 A,B 为赤道上两点, 且半径 OA 与 OB 的夹角为 2π3 ,求线段 AB 的长以及赤道在 A,B 两点间的 劣弧长.
新人教 B 必修第四册 P91
(1) 在正方体上任意选择 4 个顶点, 然后将它们两两相连, 则可能组成的几何图 形为________(写出所有正确结论的编号).
(1) 矩形; (2) 不是矩形的平行四边形; (3) 有三个面为等腰直角三角形, 有一个 面为等边三角形的四面体; (4) 每个面都是等边三角形的四面体; (5) 每个面都 是直角三角形的四面体.
(2) 表面积和高都相等的正 n 棱柱与圆柱,哪一个的体积更大? 说明理由.
新人教 B 必修第四册 P104
(4) 如图,平面 α,β,γ 两两相交, a,b,c 为 3 条交线,且 a//b . 求证: a//c,b//c .新人教 B 必修第四册 P108
(2) 如图,已知 α,β,γ 都是平面,且 α//β//γ ,两条直线 l,m
(第 2 题)
分别与平面 α,β,γ 相交于点 A,B,C 和点 D,E,F . 已 知 AC=14 cm,DE=5 cm,AB:BC=3:4 ,求 AB,BC , EF 的长.
新人教 B 必修第四册 P110
(3) 已知平面 α 与平面 β 平行,直线 AB,AC 分别与 α,β 交于 D,B 和 E,C , 求证:
ADAB=AEAC.
(第 4 题)
(4) 如图,已知 α∩β=l,a//α,a//β ,求证: a//l .
(3) 正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, M,N,E,F 分别是 A1B1 , A1D1,B1C1,C1D1 的中点. 求证: 平面 AMN// 平面 EFDB .
(3) 如图, P 是三棱雉 A−BCD 侧面 ACD 上一点,过点 P 作一个 截面,使得 AB 与 CD 都与截面平行. 请作出截面与三棱雉各面的交线,并 写出作法.
(第 6 题)
(第 7 题)
※ 如图, 棱雉 S-ABCD 中, 底面是平行四边形, E 为 SD 的中点. 求证: SB// 平面 AEC . 新人教 B 必修第四册 P110
(1) 如图, a,b 是异面直线, a⊂α,a//β,b⊂β,b//α ,求证: α//β .
(第 1 题)
新人教 B 必修第四册 P110
(3) 如图所示,在四棱雉 P−ABCD 的底面 ABCD 中, AB//DC . 回答下面的问题.
(1) 在侧面 PAB 中能否作一条直线段使其与 DC 平行?
(第 3 题)
如果能, 请写出作图过程并给出证明; 如果不能, 请 说明理由.
(2) 在侧面 PBC 中能否作一条直线段使其与 AD 平行? 如果能, 请写出作图过程并给出证明; 如果不能, 请 说明理由.
新人教 B 必修第四册 P117
例 4 如图 11-4-12 所示,已知 AB 是平面 α
图 11-4-12
的一条垂线, AC 是平面 α 的一条斜线, l⊂α , l⊥BC . 求证: l⊥AC .
证明 因为 AB⊥α,l⊂α ,所以
AB⊥l .
又因为 l⊥BC 且 AB∩BC=B ,所以
l⊥ 平面 ABC ,
而且 AC⊂ 平面 ABC ,所以 l⊥AC .
例 4 的结果可以简述为 “平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线”. 新人教 B 必修第四册 P118
(5) 如图所示,已知 AB 是平面 α 的一条垂线, AC 是平面 α 的
(第 5 题)
一条斜线, l⊂α,l⊥AC . 求证: l⊥BC (即“平面内垂直 于斜线的直线也垂直于射影”). 新人教 B 必修第四册 P125
(1) 已知大小为 60∘ 的二面角的一个面内有一点,它到另一个面的距离是 3,求这 个点到二面角的棱的距离.
(2) 如图 (1)所示, △ABC 和 △ACD 都是直角三角形, AB=BC=6,∠CAD= 30∘ . 如图(2)所示,把 △ABC 沿 AC 边折起,使 △ABC 所在平面与 △ACD 所在平面垂直,连接 BD .
(1) 求 BD 与平面 ADC 所成的角的余弦值;
(2) 求点 C 到平面 ABD 的距离.
(2)
新人教 B 必修第四册 P129
6. 如图所示,已知三棱台 ABC−A1B1C1 的上、下底面都是
(第 6 题)
等腰直角三角形, CC1⊥ 平面 ABC,AC=2,A1C1=1,CC1=1 . 求这个三棱台的全面积.
7. 求正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积比 (以正棱 柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱称为正棱柱的内切圆柱, 以正棱柱两个底面的外接圆面为底面的圆柱称为正棱柱的外接圆柱).
新人教 B 必修第四册 P129
9. 已知一个等边三角形的边长为 a ,这个等边三角形绕其一边所在的直线旋转 一周, 求所得旋转体的表面积和体积.
10. 我国古代数学名著《九章算术》中 “开立圆术” 曰: 置积尺数, 以十六乘 之, 九而一, 所得开立方除之, 即立圆径. “开立圆术” 相当于给出了已知球的体积 V ,求其直径 d 的一个近似公式 d≈3169V . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据 π=3.14159⋯ 判断,下列近似公式中最精确的一个是 ( ).
(A) d≈3169V (B) d≈32V (C) d≈3300157V (D) d≈32111V
11. 已知球 O 的半径为 2,一平面截球面所得圆的圆心为 O1 ,且 A,B 都是圆 O1 上的点, AO1⊥BO1,AO1=1 ,求 △OAB 的面积.
新人教 B 必修第四册 P129
13. 已知 A,B,C 是球 O 上的 3 点, AB=10,AC=6,BC=8 ,球 O 的半径 等于 13,求球心 O 到平面 ABC 的距离.
14. 已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点, SA⊥ 平面 ABC,AB⊥BC,SA= AB=1,BC=2 ,求球 O 的表面积.
15. 已知直三棱柱 ABC−A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上. 若 AB=3 , AC=4,AB⊥AC,AA1=12 ,求球 O 的半径.
16. 已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点, PA⊥ 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形. 若 PA=26 ,求 △OAB 的面积.
17. 已知 A,B 是球 O 的球面上两点, ∠AOB=90∘,C 为球面上的动点. 若 三棱雉 O−ABC 体积的最大值为 36,求球 O 的表面积.新人教 B 必修第四册 P130
22. 如图所示,四面体 ABCD 被一平面所截,截面与 4 条棱 AB,AC,CD , BD 相交于 E,F,G,H4 点,且截面 EFGH 是一个平行四边形.
(1) 求证: EF//BC ;
(2) 求证: AD// 平面 EFGH .
(第 22 题)
(第 23 题)
23. 如图所示,在四棱雉 P−ABCD 中, PA⊥ 平面 ABCD ,且 AB=4,BC= 3,AD=5,∠ABC=90∘,E 是 CD 的中点,求证: 平面 PCD⊥ 平面 PAE .
新人教 B 必修第四册 P130
1. 球面上是否存在共线的 3 个点? 为什么?
2. 我国古代数学名著《数书九章》中有 “天池盆测雨” 题: 在下雨时, 用一个 圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸, 盆底直径为一尺二寸, 盆深一 尺八寸. 若盆中积水深九寸, 求该处的平地降雨量 (盆中积水体积与盆口面积之比).
3. 一个正方体内接于一个球 (即正方体的 8 个顶点都在球面上), 过球心作一 截面, 则截面的图形可能是
(第 3 题)
4. 如图所示四面体中, E,F 分别是 AD,BC 的中点,若
(第 4 题)
ΛC=BD=a,EF=22a,∠BDC=90∘ ,求证: BD⊥ 平面 ΛCD .
5. 设 A,B,C,D 是空间中 4 个不同的点,在下列命题 中, 不正确的是 ( ).
(A) 若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面
(B) 若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线
(C) 若 AB=AC,DB=DC ,则 AD=BC
(D) 若 AB=AC,DB=DC ,则 AD⊥BC新人教 B 必修第四册 P131
6. 平面 α 的斜线 AB 交 α 于点 B ,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 α 于 点 C ,判断动点 C 的轨迹并说明理由.
7. 已知正三棱雉 P−ABC ,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的球面上,若 PA , PB,PC 两两相互垂直,求球心到截面 ABC 的距离.
8. 已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点, AB=3,∠ASC= ∠BSC=30∘ ,求棱雉 S−ABC 的体积.
9. 如图所示, 水平的广场上有一盏路灯挂在高
(第 9 题)
10 m 的电线杆顶上,记电线杆的底部为点 A . 把路 灯看作一个点光源,身高 1.5 m 的女孩站在离点 A 5 m 的点 B 处. 回答下面的问题.
(1) 若女孩以 5 m 为半径绕着电线杆走一个圆 圈, 人影扫过的是什么图形, 求这个图形的面积;
(2) 若女孩向点 A 前行 4 m 到达点 D ,然后从点 D 出发,沿着以 BD 为对角线的正方形走一圈,画出 女孩走一圈时头顶影子的轨迹, 说明轨迹的形状.结构特征
图 示
表面积体积
柱体
棱柱
两底面相互平 行,其余各面都 是平行四边形; 侧棱平行且相 等.
Sii,ℏ=2Sii,m,n+Siinn,n Vti=Ssh
圆柱
两底面相互平行: 以矩形一边所在 直线为旋转轴，其 余三边旋转形成 的曲面所围成的 几何体.
=2πrl+2πr2 =2πrr+l Vti=Sfih
锥体
棱锥
底面是多边形， 各侧面均是三 角形; 各侧面有一个 公共顶点.
S绿表=S底面积+S侧面积 V锥=13Sh
圆锥
底面是圆:以直角 三角形的一直角 边所在的直线为 旋转轴，其余两边 旋转形成的曲面 所围成的几何体.
S点彩=12lr=12αr2 S班k=πrl+πr2 =πrr+l V锥=13Sh
台体
棱台
两底面相互平 行;是用一个平 行于棱锥底面的 平面去截棱锥， 底面和截面之间 的部分.
S台表 = S底面积+S侧面积 V=13S⊥+S⊥ST+S∓h
圆台
两底面相互平 行;用一平行圆 锥底面的平面截 圆锥，底面和截 面之间的部分.
Sin=πR+rl Ssk=πrl+πr2+πRl+πR2 V=13S±+S±S∓+S∓h
球
球心到球面上各点的 距离相等;是以半圆的 直径所在直线为旋转 轴, 半圆面旋转一周形 成的几何体.
Sik,*=4πR2 V球体=43πR3
基本事实
内容
图形表示
符号表示
基本事实 1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一 个平面. (不共线的三点确定一个平面)
A、B、C 三点不共线 ⇒ 存在 唯一平面 α ,使 A、B、C∈α
基本事实 2
如果一条直线上的两点在一个平面内，那 么这条直线在这个平面内 .
A∈l、B∈l 且 A∈α,B∈α ⇒l⊂α
基本事实 3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α 且 P∈β ⇒α∩β=l 且 P∈l
论
图形表示
符号表示
推 1
经过一条直线和这条 真线外一点，有且只 有一个平面
A∉a⇒ 有且只 有一个平面 α , 使 A∈α,a⊂α
可简记为“两相交线
推
内容
图形表示
符号表示
确定一个平面".
推 论 2
经过两条相交直线， 有且只有一个平面
a∩b=P⇒ 有且 只有一个平面 α ,使 a⊂α , b⊂α
可简记为“两平行线确 定一个平面”.
推 论 3
经过两条平行直线， 有且只有一个平面
a//b⇒ 有且只 有一个平面 α , 使 a⊂α,b⊂α
文字语言
符号语言
图形语言
点 A 在直线 l 上
A∈l
−4−t
点 A 在直线 l 外
A∉l
→*A
点 A 在平面 α 内
A∈α
点 A 在平面 α 外
A∉α
文字语言
符号语言
图形语言
公共点个数
直线 a 与直线 b 异面
没有公共点
直线 a 与直线 b 共面
相交
a∩b=P
有且只有一 个公共点
平行
a//b
没有公共点
直线 l 在 平面 α 内
l⊆α
有无数个 公共点
直线 1 在平面
l∩α=P
有且只有一 个公共点
α 外, l T α
平行
l// α
没有公共点
文字语言
符号语言
图形语言
公共点个数
两个平面平行
α//β
没有公共点
两个平面相交
α∩β
有无数个公 共点
文字语言
图形语言
符号表示
直线与 平面平 行的判 定定理
如果平面外一条直 线与此平面内的一 条直线平行，那么 该直线与此平面 平行
直线与 平面平 行的性 质定理
一条直线与一个平 面平行,如果过该 直线的平面与此平 面相交，那么该直 线与交线平行
a⊂β α∩β=b ⇒a//b
自然语言
图形语言
符号表示
平面与 平面平 行的判
如果一个平面 内的两条相交 直线与另一个
a,b⊂α a∩b=P a//β,b//β)
定定理
平面平行，那么 这两个平面平行
⇒α//β
平面与 平面平 行的性 质定理
两个平面平行， 如果另一个平 面与这两个平 面相交，那么两 条交线平行
β∩γ=b
文字语言
图形语言
符号表示
如果一条直线 与一个平面内
a⊂α b⊂α
直线与平 面垂直的 判定定理
的两条相交直 线垂直，那么 该直线与此平 面垂直
a∩b=P l⊥a l⊥b ⇒l⊥α
直线与平 面垂直的 性质定理
垂直于同一个 平面的两条直 线平行
a⊥αb⊥α ⇒a//b
文字语言
图形语言
符号表示
平面与平 面垂直的 判定定理
如果一个平面过 另一个平面的垂 线，那么这两个 平面垂直
l⊂βl⊥α⇒β⊥α
平面与平 面垂直的 性质定理
两个平面垂直， 如果一个平面内 有一直线垂直于 这两个平面的交 线，那么这条直 线与另一个平面 垂直
α⊥β a⊥l
多面体
顶点数 V
棱数 E
面数 F
V+F−E
n 棱柱
n 棱雉
n 棱台