2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块06-幂函数、指数函数对数函数-2025新高考数学专题

这是一份2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块06-幂函数、指数函数对数函数-2025新高考数学专题，共13页。试卷主要包含了幂函数，指数与指数幂的运算，指数函数，对数及对数运算，对数函数，反函数，指数不等式与对数不等式，指数方程与对数方程等内容，欢迎下载使用。
(1) 函数 y=xα ( α 为常数) 叫做幂函数,其中 x 是自变量.
幂函数特征 (1) 系数为 ; (2) xα 中底数自变量,指数是常数; (3) 后面不加任何项,如 y=3x,y=xx+2 , y=x2+2 都不是幂函数
(2) 五个常见幂函数的图象
当 α=1,2,3,12,−1 时,我们得到五个幂函数 y=x,y=x2,y= x3,y=x12,y=x−1 ,通过描点作图得到五个幂函数在同一平面直角 坐标系中的图象, 如图所示.
○ 温馨提示
在直线 x=1 右侧的函数
图象, 从上到下, 指数逐渐减 小, 即 “指大图高”; 在区间 (0, 1) 内, y=x12,y=x−1 的图象在 y =x 的图象上方, y=x2,y=x3 在 y=x 的图象的下方.
(3) 五个常见幂函数的性质
(3) 幂函数 y=xα ( α 为常数) 的性质
1) 幂函数 y=xα ( α 为常数) 在 0,+∞ 上都有定义,并且图象都过点 1,1 ;
2) α>0 时,幂函数的图象过原点,并且在区间 [0,+∞) 上是增函数;
3) α0,r,s∈R;
(2) ars= a>0,r,s∈R;
(3) abr= a>0,b>0,r∈R .
(3) 指数幂运算
○ 乘法公式 a′÷a′=a′•a−s=ar−s.
当 a>0,b>0 时, a12+b12⋅ 1) 有理数指数幂除上述运算性质之外,还有: (1) ar÷ar−s ( a>0 ,
a11−b13=a−b,a−b=(a13−
r,s∈Q); (2)abr=arbra>0,b>0,r∈Q.
b+a++a+b++b+,a+±
b13)2=a+b±2a13b13 . 2) 在有理数指数幂的运算性质中,规定 a>0 的原因:
(1)若 a=0,∵0 的负数指数幂无意义, ∴ 当 r0 ; (2) 当 a≠0 时, a0= 1,而当 a=0 时, a0 无意义; (3)若 ar=asa>0,且a≠1 ,则 r=s ; (4)乘法公式仍适用于分数指数幂.
3、指数函数
(1) 指数函数的概念:
一般地,函数 y=axa>0,且a≠1 叫做指数函数 (expnential functin),其中指 数 x 是自变量,定义域是 R .
(2) 指数函数的图象与性质
特别说明: 指数函数 y=axa>0且a≠1 的图象与函数 y=1ax 的图象关于 y 轴对称.
(3) 底数对指数函数图象的影响
A a>b>c>d .
1. 无论是 a>1 还是 00 ,则
(1) lgaMN=
(3) lgaMn=
(4) 恒等式: algab= ;lgambn= .
(5) 换底公式: lgab=
(6) 其他变形
1) lgab⋅lgba=1a>0,且a≠1,b>0,且b≠1 :
2) lgab⋅lgbc⋅lgcd=lgad(a>0 ,且 a≠1,b>0 ,且 b≠1,c>0 ,且
c≠1,d>0 ;
3) lganbn=nmlgaba>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R .
lgambn=lgbnlgam=nlgbmlga=nm⋅lgblga=nmlgab.
5、对数函数
(1) 对数函数的概念:
一般地,函数 y=lgaxa>0,且a≠1 叫做对数函数 (lgarithmic functin),其中 x 是自变量,定义域是 0,+∞ .(2) 对数函数 y=lgax a>0且a≠1 的图象与性质
●记忆口诀
对数增减有思路, 函数图 象看底数;
底数只能大于 0 , 等于 1 来也不行;
底数若是大于 1 , 图象从 下往上增;
底数 0 到 1 之间, 图象从 上往下减;
无论函数增和减, 图象都 过 1,0 点.
利用图象直接得到。
特别说明: (1) 函数 y=lgaxa>0且a≠1 的图象与函数 y=lg1x 的图象关于 x 轴对称. (3) 底数对对数函数 y=lgax a>0且a≠1 的图象的影响
1) 当 a>1 时,对数函数的图象 “上升”;
当 00,且a≠1 互 为反函数, 它们的定义域与值域正好互换.
注: 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称.
7、指数不等式与对数不等式
(1) 解指数不等式
(1)同底的指数形式: 利用单调性
afx>agx⇔a>1fx>gx或00gx>0fx>gx或00fx0,t≠1 ,换元法
(2) 解对数方程
(1) 同底的对数方程: lgafx=lgagx ,等价转化为: fx>0gx>0fx=gx 特别地, lgafx=b ,等价为:
fx>0fx=ab
(2)不同底的指数形式: 化为同底,(3) flgafx=0 型: 换元法
【课本优质习题汇总】
新人教 A 版必修一 110
7. (1) 已知 10m=2,10n=3 ,求 103m−2n2 的值;
(2) 已知 a2x=3 ,求 a3x+a−3xax+a−x 的值.新人教 A 版必修一 110
8. 已知 a12+a−12=3 ,求下列各式的值:
(1) a+a−1 ; (2) a2+a−2 .
新人教 A 版必修一 119
8. 按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a (单位: 元),每期利率 为 r ,本利和为 y (单位: 元),存期数为 x .
(1) 写出本利和 y 关于存期数 x 的函数解析式;
(2) 如果存人本金 1000 元,每期利率为 2.25% ,试计算 5 期 后的本利和.
新人教 A 版必修一 120
9. 已知函数 y=a12x+b 的图象过原点,且无限接近直线 y=2 但又不与该直线相交.
(1) 求该函数的解析式, 并画出图象;
(2) 判断该函数的奇偶性和单调性.
10. 已知 fx=ax,gx=1axa>0,且a≠1 ,
(1) 讨论函数 fx 和 gx 的单调性.
(2) 如果 fx