数学人教A版 (2019)3.2 双曲线课后复习题

这是一份数学人教A版 (2019)3.2 双曲线课后复习题，共6页。
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示双曲线，必有mn＜0；当mn＜0时，方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示双曲线，所以“mn＜0”是“方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示双曲线”的充要条件．
2．已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1上的点P到(5,0)的距离为15，则点P到点(－5,0)的距离为( )
A．7 B．23
C．5或25 D．7或23
解析：选D 设F1(－5,0)，F2(5,0)，则由双曲线的定义知：||PF1|－|PF2||＝2a＝8，而|PF2|＝15，
解得|PF1|＝7或23.
3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(eq \r(5)，0)和(－eq \r(5)，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1 B．eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,4)＝1
解析：选C 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|·|PF2|＝2，,|PF1|2＋|PF2|2＝2\r(5)2))⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝eq \r(5)，所以b＝1，故选C.
4．双曲线eq \f(x2,n)－y2＝1(n>1)的两焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(n＋2)，则△PF1F2的面积为( )
A.eq \f(1,2) B．1
C．2 D．4
解析：选B 不妨设F1，F2是双曲线的左、右焦点，
P为右支上一点，|PF1|－|PF2|＝2eq \r(n)，①
|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(n＋2)，②
由①②解得
|PF1|＝eq \r(n＋2)＋eq \r(n)，|PF2|＝eq \r(n＋2)－eq \r(n)，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝4n＋4＝|F1F2|2，
所以PF1⊥PF2，
又由①②分别平方后作差得：|PF1||PF2|＝2，
所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝1.
5．[多选]关于x，y的方程 eq \f(x2,m2＋2)＋ eq \f(y2,4－m2)＝1(其中m2≠4)表示的曲线可能是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．圆心为坐标原点的圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．长轴长为2 eq \r(6)的椭圆
解析：选BC 对于A，若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则m2＋24－m2，,2a＝2\r(m2＋2)))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－m2>0，,m2＋20，b>0)．
由题设知，a＝2eq \r(5)，且点A(2，－5)在双曲线上，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2\r(5)，,\f(25,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝20，,b2＝16.))
故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,20)－eq \f(x2,16)＝1.
(2)椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(eq \r(15)，4)(或(－eq \r(15)，4))．
设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(42,a2)－\f(\r(15)2,b2)＝1，,a2＋b2＝32，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝5.))
故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1.
10．△ABC的一边的两个顶点B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．
解：设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB＝eq \f(y,x＋a)，kAC＝eq \f(y,x－a).
由题意，得eq \f(y,x＋a)·eq \f(y,x－a)＝m，即eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,ma2)＝1(y≠0)．
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m