高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理精练，共6页。
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点不共面
D．O，A，B，C四点中任意三点不共线
解析：选ACD A正确，若四点共线，则 eq \(OA,\s\up6(―→))， eq \(OB,\s\up6(―→))， eq \(OC,\s\up6(―→))共面，构不成基底；B错误，C正确，若四点共面，则 eq \(OA,\s\up6(―→))， eq \(OB,\s\up6(―→))， eq \(OC,\s\up6(―→))共面，构不成基底；D正确，若有三点共线，则这四点共面， eq \(OA,\s\up6(―→))， eq \(OB,\s\up6(―→))， eq \(OC,\s\up6(―→))构不成基底．
2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A．3a，a－b，a＋2b
B．2b，b－2a，b＋2a
C．a，2b，b－c
D．c，a＋c，a－c
解析：选C 因为a，b，c不共面，故a，2b，b－c也不共面，能构成空间的一个基底．其他选项皆共面．
3．已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量 eq \(MA,\s\up6(―→))， eq \(MB,\s\up6(―→))， eq \(MC,\s\up6(―→))成为空间的一个基底的关系是( )
A． eq \(OM,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,3) eq \(OC,\s\up6(―→))
B． eq \(MA,\s\up6(―→))＝ eq \(MB,\s\up6(―→))＋ eq \(MC,\s\up6(―→))
C． eq \(OM,\s\up6(―→))＝ eq \(OA,\s\up6(―→))＋ eq \(OB,\s\up6(―→))＋ eq \(OC,\s\up6(―→))
D． eq \(MA,\s\up6(―→))＝2 eq \(MB,\s\up6(―→))－ eq \(MC,\s\up6(―→))
解析：选C 对于选项A，由 eq \(OM,\s\up6(―→))＝x eq \(OA,\s\up6(―→))＋y eq \(OB,\s\up6(―→))＋z eq \(OC,\s\up6(―→)) (x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知 eq \(MA,\s\up6(―→))， eq \(MB,\s\up6(―→))， eq \(MC,\s\up6(―→))共面；对于选项B、D，易知 eq \(MA,\s\up6(―→))， eq \(MB,\s\up6(―→))， eq \(MC,\s\up6(―→))共面，故选C.
4．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：选C 根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得 eq \(AC,\s\up6(―→))· eq \(CD,\s\up6(―→))＝ eq \(DB,\s\up6(―→))· eq \(CD,\s\up6(―→))＝0，所以 eq \(AB,\s\up6(―→))· eq \(CD,\s\up6(―→))＝( eq \(AC,\s\up6(―→))＋ eq \(CD,\s\up6(―→))＋ eq \(DB,\s\up6(―→)))· eq \(CD,\s\up6(―→))＝ eq \(AC,\s\up6(―→))· eq \(CD,\s\up6(―→))＋| eq \(CD,\s\up6(―→))|2＋ eq \(DB,\s\up6(―→))· eq \(CD,\s\up6(―→))＝| eq \(CD,\s\up6(―→))|2＝1，所以cs 〈 eq \(AB,\s\up6(―→))， eq \(CD,\s\up6(―→))〉＝ eq \f(\(AB,\s\up6(―→))·\(CD,\s\up6(―→)),|\(AB,\s\up6(―→))||\(CD,\s\up6(―→))|)＝ eq \f(1,2)，所以AB与CD所成的角为60°.
5．在空间四边形OABC中， eq \(OA,\s\up6(―→))＝a， eq \(OB,\s\up6(―→))＝b， eq \(OC,\s\up6(―→))＝c，点M在OA上，且 eq \(OM,\s\up6(―→))＝2 eq \(MA,\s\up6(―→))，N为BC中点，则 eq \(MN,\s\up6(―→))＝( )
A． eq \f(1,2)a－ eq \f(2,3)b＋ eq \f(1,2)c B．－ eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c
C． eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b－ eq \f(2,3)c D． eq \f(2,3)a＋ eq \f(2,3)b－ eq \f(1,2)c
解析：选B eq \(MN,\s\up6(―→))＝ eq \(MA,\s\up6(―→))＋ eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \(BN,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(―→))＋ eq \(OB,\s\up6(―→))－ eq \(OA,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,2)( eq \(OC,\s\up6(―→))－ eq \(OB,\s\up6(―→)))＝－ eq \f(2,3) eq \(OA,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(OB,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(OC,\s\up6(―→))＝－ eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c.
6．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a，b的关系是__________.
解析：∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0，
∴a⊥b.
答案：a⊥b
7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．
解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc，
于是有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝2λ，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2.))
答案：2 －2
8.如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，若{ eq \(AB,\s\up6(―→))， eq \(AC,\s\up6(―→))， eq \(AD,\s\up6(―→))}为基底，则 eq \(GE,\s\up6(―→))＝________．
解析： eq \(GE,\s\up6(―→))＝ eq \(GA,\s\up6(―→))＋ eq \(AD,\s\up6(―→))＋ eq \(DE,\s\up6(―→))＝－ eq \f(1,3)( eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \(AC,\s\up6(―→)))＋ eq \(AD,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,4)( eq \(AB,\s\up6(―→))－ eq \(AD,\s\up6(―→)))＝－ eq \f(1,12) eq \(AB,\s\up6(―→))－ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(―→))＋ eq \f(3,4) eq \(AD,\s\up6(―→)).
答案：－ eq \f(1,12) eq \(AB,\s\up6(―→))－ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(―→))＋ eq \f(3,4) eq \(AD,\s\up6(―→))
9．如图所示，已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面体．
(1)化简 eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \(BC,\s\up6(―→))＋ eq \(AB,\s\up6(―→))；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的 eq \f(3,4)分点，设 eq \(MN,\s\up6(―→))＝α eq \(AB,\s\up6(―→))＋β eq \(AD,\s\up6(―→))＋γ eq \(AA1,\s\up6(―→))，试求α，β，γ的值．
解：(1)∵ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，∴ eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \(BC,\s\up6(―→))＋ eq \(AB,\s\up6(―→))＝ eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \(B1C1,\s\up6(―→))＋ eq \(A1B1,\s\up6(―→))＝ eq \(AC1,\s\up6(―→)).
(2)∵ eq \(MN,\s\up6(―→))＝ eq \(MB,\s\up6(―→))＋ eq \(BN,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,2) eq \(DB,\s\up6(―→))＋ eq \f(3,4) eq \(BC1,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(―→))－ eq \(AD,\s\up6(―→)))＋ eq \f(3,4)( eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \(AD,\s\up6(―→)))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,4) eq \(AD,\s\up6(―→))＋ eq \f(3,4) eq \(AA1,\s\up6(―→))，又 eq \(MN,\s\up6(―→))＝α eq \(AB,\s\up6(―→))＋β eq \(AD,\s\up6(―→))＋γ eq \(AA1,\s\up6(―→))，∴α＝ eq \f(1,2)，β＝ eq \f(1,4)，γ＝ eq \f(3,4).
10.在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点，G在线段AE上，且AG＝2GE.
(1)试用{ eq \(OA,\s\up6(―→))， eq \(OB,\s\up6(―→))， eq \(OC,\s\up6(―→))}表示向量 eq \(OG,\s\up6(―→))；
(2)若OA＝2，OB＝3，OC＝4，∠AOC＝∠BOC＝60°，求 eq \(OG,\s\up6(―→))· eq \(AB,\s\up6(―→))的值．
解：(1)∵ eq \(AG,\s\up6(―→))＝2 eq \(GE,\s\up6(―→))，∴ eq \(OG,\s\up6(―→))－ eq \(OA,\s\up6(―→))＝2( eq \(OE,\s\up6(―→))－ eq \(OG,\s\up6(―→)))，
∴3 eq \(OG,\s\up6(―→))＝2 eq \(OE,\s\up6(―→))＋ eq \(OA,\s\up6(―→))，又2 eq \(OE,\s\up6(―→))＝ eq \(OB,\s\up6(―→))＋ eq \(OC,\s\up6(―→))，
∴ eq \(OG,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,3) eq \(OC,\s\up6(―→)).
(2)由(1)可知， eq \(OG,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,3) eq \(OC,\s\up6(―→))， eq \(AB,\s\up6(―→))＝ eq \(OB,\s\up6(―→))－ eq \(OA,\s\up6(―→))，又∠AOC＝∠BOC＝60°，∴ eq \(OG,\s\up6(―→))· eq \(AB,\s\up6(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(OA,\s\up6(―→))＋\f(1,3)\(OB,\s\up6(―→))＋\f(1,3)\(OC,\s\up6(―→))))·( eq \(OB,\s\up6(―→))－ eq \(OA,\s\up6(―→)))＝－ eq \f(1,3) eq \(OA2,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,3) eq \(OB2,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(―→))· eq \(OC,\s\up6(―→))－ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(―→))· eq \(OC,\s\up6(―→))＝－ eq \f(1,3)×22＋ eq \f(1,3)×32＋ eq \f(1,3)×3×4×cs 60°－ eq \f(1,3)×2×4×cs 60°＝ eq \f(7,3)，即 eq \(OG,\s\up6(―→))· eq \(AB,\s\up6(―→))的值为 eq \f(7,3).
1.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若 eq \(AG,\s\up6(―→))＝x eq \(AB,\s\up6(―→))＋y eq \(AA1,\s\up6(―→))＋z eq \(AC,\s\up6(―→))，则x＋y＋z＝( )
A．1 B． eq \f(1,2) C． eq \f(3,2) D． eq \f(3,4)
解析：选C 如图，连接AM，AN，∵G是MN的中点，∴ eq \(AG,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AM,\s\up6(―→))＋ eq \(AN,\s\up6(―→)))＝ eq \f(1,2)( eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(―→))＋ eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(AA1,\s\up6(―→)))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \f(3,4) eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(―→)).根据题意知 eq \(AG,\s\up6(―→))＝x eq \(AB,\s\up6(―→))＋y eq \(AA1,\s\up6(―→))＋z eq \(AC,\s\up6(―→)).∴x＋y＋z＝ eq \f(3,2).
2.[多选]如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设 eq \(AB,\s\up6(―→))＝a， eq \(AC,\s\up6(―→))＝b， eq \(AA1,\s\up6(―→))＝c，若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则下列说法正确的是( )
A． eq \(MN,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,3)a＋ eq \f(1,3)b＋ eq \f(2,3)c B．| eq \(MN,\s\up6(―→))|＝ eq \f(\r(5),3)
C. eq \(AB1,\s\up6(―→))⊥ eq \(BC1,\s\up6(―→)) D．cs 〈 eq \(AB1,\s\up6(―→))， eq \(BC1,\s\up6(―→))〉＝ eq \f(1,6)
解析：选BD 因为BM＝2A1M，C1N＝2B1N，所以 eq \(A1M,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,3) eq \(A1B,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,3)( eq \(AB,\s\up6(―→))－ eq \(AA1,\s\up6(―→)))， eq \(A1N,\s\up6(―→))＝ eq \(A1B1,\s\up6(―→))＋ eq \(B1N,\s\up6(―→))＝ eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,3) eq \(B1C1,\s\up6(―→))＝ eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,3)( eq \(AC,\s\up6(―→))－ eq \(AB,\s\up6(―→)))＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(―→)).所以 eq \(MN,\s\up6(―→))＝ eq \(A1N,\s\up6(―→))－ eq \(A1M,\s\up6(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(―→))－ eq \f(1,3)( eq \(AB,\s\up6(―→))－ eq \(AA1,\s\up6(―→)))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,3) eq \(AA1,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,3)a＋ eq \f(1,3)b＋ eq \f(1,3)c.故A错误．因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，a·c＝b·c＝ eq \f(1,2)，所以 eq \(MN,\s\up6(―→))2＝ eq \f(1,9)(a＋b＋c)2＝ eq \f(1,9)(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)＝ eq \f(1,9)(3＋2)＝ eq \f(5,9).所以| eq \(MN,\s\up6(―→))|＝ eq \f(\r(5),3).故B正确．因为 eq \(AB1,\s\up6(―→))＝ eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \(AA1,\s\up6(―→))＝a＋c， eq \(BC1,\s\up6(―→))＝ eq \(BC,\s\up6(―→))＋ eq \(BB1,\s\up6(―→))＝ eq \(AC,\s\up6(―→))－ eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \(AA1,\s\up6(―→))＝b＋c－a，所以 eq \(AB1,\s\up6(―→))· eq \(BC1,\s\up6(―→))＝(a＋c)·(b＋c－a)＝a·b＋b·c－a2＋c2＝ eq \f(1,2).故C错误．因为 eq \(AB1,\s\up6(―→))2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2a·c＝3，所以| eq \(AB1,\s\up6(―→))|＝ eq \r(3).因为 eq \(BC1,\s\up6(―→))2＝(－a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c＝3，所以| eq \(BC1,\s\up6(―→))|＝ eq \r(3).所以cs 〈 eq \(AB1,\s\up6(―→))， eq \(BC1,\s\up6(―→))〉＝ eq \f(\(AB1,\s\up6(―→))·\(BC1,\s\up6(―→)),|\(AB1,\s\up6(―→))||\(BC1,\s\up6(―→))|)＝ eq \f(\f(1,2),\r(3)×\r(3))＝ eq \f(1,6).故D正确．
3．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μ e2＋ve3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝________．
解析：∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
∴e1，e2，e3为不共面的向量．
又∵λe1＋μ e2＋ve3＝0，∴λ＝μ＝v＝0，
∴λ2＋μ2＋v2＝0.
答案：0
4．已知{i，j，k}是空间的一个基底，设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.试问是否存在实数λ，μ，υ，使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，请给出证明．
解：假设存在实数λ，μ，υ使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立，则有3i＋2j＋5k
＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋υ(－2i＋j－3k)＝(2λ＋μ－2υ)i＋(－λ＋3μ＋υ)j＋(λ－2μ－3υ)k.
∵{i，k，j}是一组基底，
∴i，j，k不共面．
∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2λ＋μ－2υ＝3，,－λ＋3μ＋υ＝2，,λ－2μ－3υ＝5.))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－2，,μ＝1，,υ＝－3.))
故存在λ＝－2，μ＝1，υ＝－3使结论成立．
5.如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是3，且二面角A-CD-E为60°，M为对角线AC靠近点A的三等分点，N为对角线DF的中点，求线段MN的长．
解：由已知可得，DE⊥DC，DA⊥DC.所以∠ADE即为二面角A-CD-E的平面角，即∠ADE＝60°.
因为 eq \(DF,\s\up6(―→))＝ eq \(DC,\s\up6(―→))＋ eq \(DE,\s\up6(―→))，N为对角线DF的中点，所以 eq \(DN,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,2) eq \(DF,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,2)( eq \(DC,\s\up6(―→))＋ eq \(DE,\s\up6(―→))).
因为M为对角线AC靠近点A的三等分点，所以 eq \(AM,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,3)( eq \(DC,\s\up6(―→))－ eq \(DA,\s\up6(―→))).
所以 eq \(DM,\s\up6(―→))＝ eq \(DA,\s\up6(―→))＋ eq \(AM,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,3) eq \(DC,\s\up6(―→))＋ eq \f(2,3) eq \(DA,\s\up6(―→)).
所以 eq \(MN,\s\up6(―→))＝ eq \(DN,\s\up6(―→))－ eq \(DM,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,2)( eq \(DC,\s\up6(―→))＋ eq \(DE,\s\up6(―→)))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(DC,\s\up6(―→))＋\f(2,3)\(DA,\s\up6(―→))))＝－ eq \f(2,3) eq \(DA,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,6) eq \(DC,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(DE,\s\up6(―→)).
所以 eq \(MN,\s\up6(―→))2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)\(DA,\s\up6(―→))＋\f(1,6)\(DC,\s\up6(―→))＋\f(1,2)\(DE,\s\up6(―→))))2＝ eq \f(4,9) eq \(DA,\s\up6(―→))2＋ eq \f(1,36) eq \(DC,\s\up6(―→))2＋ eq \f(1,4) eq \(DE,\s\up6(―→))2－ eq \f(2,9) eq \(DA,\s\up6(―→))· eq \(DC,\s\up6(―→))－ eq \f(2,3) eq \(DA,\s\up6(―→))· eq \(DE,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,6) eq \(DC,\s\up6(―→))· eq \(DE,\s\up6(―→))＝ eq \f(4,9)×9＋ eq \f(1,36)×9＋ eq \f(1,4)×9－0－ eq \f(2,3)×9× eq \f(1,2)＋0＝ eq \f(7,2).
所以| eq \(MN,\s\up6(―→))|＝ eq \r(\f(7,2))＝ eq \f(\r(14),2).
所以线段MN＝ eq \f(\r(14),2).