高中数学人教A版 (2019)选择性必修第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置课后测评

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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置课后测评，共5页。试卷主要包含了求过点A且与圆C，已知圆C1等内容，欢迎下载使用。

A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
解析：选B 将两圆化成标准方程分别为x2＋y2＝1，(x－2)2＋(y＋1)2＝9，可知圆心距d＝eq \r(5)，由于22．[多选]设r＞0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
解析：选CD 两圆的圆心距为d＝eq \r(1－02＋－3－02)＝eq \r(10)，两圆的半径之和为r＋4，因为eq \r(10)＜r＋4，所以两圆不可能外切或外离，故选C、D.
3．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
解析：选A 法一：线段AB的中垂线即两圆的连心线所在直线l，由圆心C1(1,0)，C2(－1,2)，得l方程为x＋y－1＝0.
法二：直线AB的方程为4x－4y＋1＝0，因此线段AB的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，故选A.
4．若⊙A，⊙B，⊙C两两外切，半径分别为2,3,10，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选B 因为△ABC的三边长分别为5,12,13,52＋122＝132，所以△ABC为直角三角形．
5．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(121，＋∞)
C．[1,121] D．(1,121)
解析：选C 因为x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36，所以两圆的圆心距d＝eq \r(0＋32＋0－42)＝5.
若两圆有公共点，则|6－eq \r(m)|≤5≤6＋eq \r(m)，
所以1≤m≤121.
6．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为__________．
解析：因为半径长为6的圆与x轴相切，且与已知圆内切，设圆心坐标为(a, b)，则b＝6.
再由 eq \r(a－02＋6－32)＝5，解得a＝±4，
故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
答案：(x±4)2＋(y－6)2＝36
7．已知点A，B分别在两圆x2＋(y－1)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝9上，则A，B两点之间的最短距离为________．
解析：两圆心之间的距离为eq \r(2－02＋5－12)＝2eq \r(5)>4＝r1＋r2，所以两圆外离，
所以A，B两点之间的最短距离为2eq \r(5)－4.
答案：2eq \r(5)－4
8．若两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，且两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．
解析：由题意知，线段AB的中点在直线x－y＋c＝0上，
且kAB＝eq \f(4,1－m)＝－1，即m＝5.
又点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋m,2)，1))在该直线上，
所以eq \f(1＋m,2)－1＋c＝0，所以c＝－2，所以m＋c＝3.
答案：3
9．求过点A(4，－1)且与圆C：(x＋1)2＋(y－3)2＝5相切于点B(1, 2)的圆的方程．
解：设所求圆的圆心M(a，b)，半径为r.
已知圆的圆心为C(－1,3)，
因为切点B在连心线上，
即C，B，M三点共线，
所以eq \f(b－3,a＋1)＝eq \f(2－3,1＋1)，
即a＋2b－5＝0.①
由于AB的垂直平分线为x－y－2＝0，
圆心M在AB的垂直平分线上，所以a－b－2＝0.②
联立①②解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1.))
故圆心坐标为M(3,1)，r＝|MB|＝eq \r(5)，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5.
10．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程．
解：由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＝0.
∵圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆心C1(－2,0)，C2(－1，－1)，
∴两圆连心线所在直线的方程为eq \f(y－0,－1－0)＝eq \f(x＋2,－1＋2)，
即x＋y＋2＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝0，,x＋y＋2＝0，))得所求圆的圆心为(－1，－1)．
又圆心C1(－2,0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离
d＝eq \f(|－2－0|,\r(2))＝eq \r(2)，
∴所求圆的半径r＝eq \r(\r(3)2－\r(2)2)＝1，
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.
1．圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－2)2＝4的公共弦所对的圆心角是( )
A．60° B．45°
C．120° D．90°
解析：选D 圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为M(2，0)，半径为r＝2；圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为N(0, 2)，半径为r＝2，
故圆心距|MN|＝ eq \r(22＋22)＝2 eq \r(2)，弦心距d＝ eq \r(2).
设公共弦所对的圆心角是2θ，
则cs θ＝ eq \f(d,r)＝ eq \f(\r(2),2)，所以θ＝45°，所以2θ＝90°.
2．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 eq \r(2)－4 B． eq \r(17)－1
C．6－2 eq \r(2) D． eq \r(17)
解析：选A 由题意知，圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心分别为C1(2，3)，C2(3，4)，且|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4，点C1(2，3)关于x轴的对称点为C(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|＝|PC|＋|PC2|≥|CC2|＝5 eq \r(2)，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5 eq \r(2)－4.
3.[多选]如图，点A(2，0)，B(1，1)，C(－1，1)，D(－2，0)， eq \(CD,\s\up8(︵))是以OD为直径的圆上一段圆弧， eq \(CB,\s\up8(︵))是以BC为直径的圆上一段圆弧， eq \(BA,\s\up8(︵))是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω，则( )
A．曲线Ω与x轴围成的图形的面积等于 eq \f(3,2)π
B． eq \(CB,\s\up8(︵))与 eq \(BA,\s\up8(︵))的公切线的方程为x＋y－1－ eq \r(2)＝0
C． eq \(BA,\s\up8(︵))所在圆与 eq \(CB,\s\up8(︵))所在圆的公共弦所在直线的方程为x－y＝0
D． eq \(CD,\s\up8(︵))所在的圆截直线y＝x所得弦的长为 eq \f(\r(2),2)
解析：选BC eq \(CD,\s\up8(︵))， eq \(CB,\s\up8(︵))， eq \(BA,\s\up8(︵))所在圆的方程分别为(x＋1)2＋y2＝1，x2＋(y－1)2＝1，(x－1)2＋y2＝1.曲线Ω与x轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个 eq \f(1,4)圆，其面积为 eq \f(π,2)＋2＋2× eq \f(π,4)＝π＋2，故A错误．设 eq \(CB,\s\up8(︵))与 eq \(BA,\s\up8(︵))的公切线方程为y＝kx＋b(k<0，b>0)，则 eq \f(|－1＋b|,\r(k2＋1))＝1＝ eq \f(|k＋b|,\r(k2＋1))，所以k＝－1，b＝1＋ eq \r(2).所以 eq \(CB,\s\up8(︵))与 eq \(BA,\s\up8(︵))的公切线的方程为y＝－x＋1＋ eq \r(2)，即x＋y－1－ eq \r(2)＝0.故B正确．由x2＋(y－1)2＝1及(x－1)2＋y2＝1两式相减得x－y＝0，即公共弦所在直线方程，故C正确． eq \(CD,\s\up8(︵))所在圆的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为(－1，0)，圆心(－1，0)到直线y＝x的距离为d＝ eq \f(|－1|,\r(2))＝ eq \f(\r(2),2)，则所求弦长为2 eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝ eq \r(2)，故D错误．
4．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2，1).
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2 eq \r(2)，求圆O2的方程．
解： (1)因为两圆外切，
所以|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2( eq \r(2)－1)，
故圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8 eq \r(2).
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r eq \\al(2,2).
因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程为
4x＋4y＋r eq \\al(2,2)－8＝0.
作O1H⊥AB，则|AH|＝ eq \f(1,2)|AB|＝ eq \r(2)，
|O1H|＝ eq \r(|O1A|2－|AH|2)＝ eq \r(22－(\r(2))2)＝ eq \r(2).
又圆心(0，－1)到直线AB的距离为 eq \f(|r eq \\al(2,2)－12|,4\r(2))＝ eq \r(2)，
得r eq \\al(2,2)＝4或r eq \\al(2,2)＝20，
故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
5．已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x－y＋10＝0上．
(1)若动圆C过点(－5，0)，求圆C的方程．
(2)是否存在正实数r，使得动圆C中满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个，若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
解：(1)依题意，可设动圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25，其中圆心(a，b)满足a－b＋10＝0.
又因为动圆过点(－5，0)，所以(－5－a)2＋(0－b)2＝25.
解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＋10＝0，,(－5－a)2＋(0－b)2＝25，))
可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－10，,b＝0))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－5，,b＝5.))
故所求圆C的方程为(x＋10)2＋y2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25.
(2)圆O的圆心(0，0)到直线l的距离d＝ eq \f(|10|,\r(1＋1))＝5 eq \r(2).
当r满足r＋5O：x2＋y2＝r2相外切的圆；
当r满足r＋5>d时，r每取一个数值，
动圆C中存在两个圆与圆O：x2＋y2＝r2相外切；
当r满足r＋5＝d时，即r＝5 eq \r(2)－5时，
动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2＋y2＝r2相外切．
故当动圆C中与圆O相外切的圆仅有一个时，r＝5 eq \r(2)－5.

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