高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆一课一练，共5页。试卷主要包含了已知A，B，[多选]下列说法正确的是，设F1，F2分别是椭圆C，求满足下列条件的椭圆的标准方程等内容，欢迎下载使用。
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．点
解析：选C 由|AC|＋|BC|＝10＝|AB|知点C的轨迹是线段AB.
2．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)，(0,2)的椭圆方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 B．eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,2)＝1
C.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：选D 法一：验证排除，将点(4,0)代入验证可排除A，B，C，故选D.
法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16m＝1，,4n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,16)，,n＝\f(1,4)，))故选D.
3．已知椭圆eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于( )
A．4 B．5 C．7 D．8
解析：选D 焦距为4，则m－2－(10－m)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,2)))2，所以m＝8.
4．已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2eq \r(3) B．6 C．4eq \r(3) D．12
解析：选C 由于△ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝2eq \r(3)，|CA|＋|CF|＝2eq \r(3)，便可求得△ABC的周长为4eq \r(3).
5．[多选]下列说法正确的是( )
A．椭圆 eq \f(x2,144)＋ eq \f(y2,169)＝1的焦点坐标为(－5，0)，(5，0)
B．椭圆 eq \f(x2,m2)＋ eq \f(y2,m2＋1)＝1的焦点坐标为(0，－1)，(0，1)
C．椭圆 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,7)＝1与椭圆 eq \f(x2,m－5)＋ eq \f(y2,m＋4)＝1(m＞0)的焦点坐标相同
D．已知△ABC中，B(－3，0)，C(3，0)，2|BC|＝|AB|＋|AC|，则顶点A的轨迹方程为 eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,27)＝1(x≠±6)
解析：选BD 对于A，因为椭圆方程为 eq \f(x2,144)＋ eq \f(y2,169)＝1，169＞144，所以焦点在y轴上，故A错误；对于B，因为椭圆方程为 eq \f(x2,m2)＋ eq \f(y2,m2＋1)＝1，m2＋1＞m2，所以焦点在y轴上，又c2＝m2＋1－m2＝1，所以焦点坐标为(0，±1)，故B正确；对于C，椭圆 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,7)＝1的焦点坐标为(±3，0)，椭圆 eq \f(x2,m－5)＋ eq \f(y2,m＋4)＝1(m＞0)中m＋4＞m－5，所以椭圆 eq \f(x2,m－5)＋ eq \f(y2,m＋4)＝1(m＞0)的焦点在y轴上，故C错误；对于D，由条件可知|AB|＋|AC|＝2|BC|＝12＞|BC|＝6，且A，B，C三点不共线，所以顶点A的轨迹是以B，C为焦点，且长轴长为12的椭圆去掉(±6，0)这两个点，所以顶点A的轨迹方程为 eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,27)＝1(x≠±6)，故D正确．故选B，D.
6．若焦点在x轴上的椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．
解析：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋c＝3，,a－c＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,c＝1，))则b2＝a2－c2＝3，故椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
答案：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
7．若方程eq \f(x2,7－m)＋eq \f(y2,m－1)＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是________________.
解析：根据椭圆标准方程的形式，可知方程eq \f(x2,7－m)＋eq \f(y2,m－1)＝1表示椭圆的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7－m>0，,m－1>0，,7－m≠m－1，))解得10)．
法一：由椭圆的定义知2a＝eq \r(4－02＋3\r(2)＋22)＋eq \r(4－02＋3\r(2)－22)＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝eq \r(a2－c2)＝4eq \r(2).
所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1.
法二：因为所求椭圆过点(4,3eq \r(2))，所以eq \f(18,a2)＋eq \f(16,b2)＝1.
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.
所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1.
1．已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12 C．9 D．6
解析：选C 由椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝6，所以由基本不等式，得|MF1|·|MF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|MF1|＋|MF2|,2)))2＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C.
2．设F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1的焦点，在曲线C上满足eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝0的点P的个数为( )
A．0 B．2 C．3 D．4
解析：选B 因为eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝0，所以PF1⊥PF2，所以点P即为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且半径为c＝eq \r(8－4)＝2.又因为b＝2，所以点P为该椭圆与y轴的两个端点．
3.如图所示，∠OFB＝eq \f(π,6)，△ABF的面积为2－eq \r(3)，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为________．
解析：设所求椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，
∴|BF|＝a.∵∠OFB＝eq \f(π,6)，∴eq \f(b,c)＝eq \f(\r(3),3)，a＝2b.
∴S△ABF＝eq \f(1,2)·|AF|·|BO|＝eq \f(1,2)(a－c)·b＝eq \f(1,2)(2b－eq \r(3)b)b＝2－eq \r(3)，
解得b2＝2，则a＝2b＝2eq \r(2).
∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.
答案：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1
4．已知椭圆eq \f(x2,5)＋y2＝1的焦点为F1，F2，设P(x0，y0)为椭圆上一点，当∠F1PF2为直角时，点P的横坐标x0＝________；当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标x0的取值范围是________．
解析：由椭圆的方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1，得c＝2，所以F1(－2,0)，F2(2,0)，eq \(PF1,\s\up7(―→))＝(－2－x0，－y0)，eq \(PF2,\s\up7(―→))＝(2－x0，－y0)．若∠F1PF2为直角，则eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝0，
即xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4，①
又eq \f(x\\al(2,0),5)＋yeq \\al(2,0)＝1，②
①②联立消去yeq \\al(2,0)得xeq \\al(2,0)＝eq \f(15,4)，所以x0＝±eq \f(\r(15),2).
若∠F1PF2为钝角，则eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))0)，
由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝5＋3，,2c2＝52－32，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,c＝2，))
所以b2＝a2－c2＝12.
于是所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1或eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1.
法二：设所求的椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1，F2.
由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4.
在方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1中，令x＝±c，得|y|＝eq \f(b2,a)；
在方程eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1中，令y＝±c，得|x|＝eq \f(b2,a).
依题意有eq \f(b2,a)＝3，得b2＝12.
于是所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1或eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1.
6．已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
(1)若∠F1PF2＝eq \f(π,3)，求△PF1F2的面积；
(2)求|PF1|·|PF2|的最大值．
解：(1)由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝20，①
在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs∠F1PF2，
即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.②
①2－②，整理得|PF1|·|PF2|＝eq \f(256,3).
所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sineq \f(π,3)＝eq \f(64,3)eq \r(3).
(2)由eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1可知，a＝10，c＝6.
所以|PF1|＋|PF2|＝20，
所以|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝100，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时，等号成立．
所以|PF1|·|PF2|的最大值是100.