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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示达标测试
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示达标测试，共22页。
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）已知，若的终点坐标为（3，-6），则的起点坐标为（ ）
A．（-4，-8）B．（-4，8）C．（4，-8）D．（4，8）
【答案】C
【分析】用向量的坐标运算求解即可.
【详解】设的起点坐标为，
的终点坐标为（3，-6），
，
又，
，解得，
的起点坐标为，
故选：C.
2．（2023·高一课时练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，若绕点逆时针旋转得到向量，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由坐标可确定其与轴夹角，进而得到与轴夹角，根据模长相等可得到坐标.
【详解】 与轴夹角为 与轴夹角为
又
故选：
【点睛】本题考查向量旋转后坐标的求解问题，关键是能够确定向量与轴的夹角的大小，进而根据模长不变求得向量.
3．（2023·高一课时练习）如图所示，若向量、是一组单位正交向量，则向量2在平面直角坐标系中的坐标为
A．（3，4）B．（2，4）
C．（3，4）或（4，3）D．（4，2）或（2，4）
【答案】A
【分析】以向量、公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系．可得向量2（2，1）且（1，3），结合向量坐标的线性运算性质，即可得到向量2在平面直角坐标系中的坐标．
【详解】以向量、公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系
∵1＝（1，0），2＝（0，1）
∴2（2，1），得∵（1，3），
∴2（2，1）+（1，3）＝（3，4）
即2在平面直角坐标系中的坐标为（3，4）
故选A．
【点睛】本题给出垂直的单位向量，求第三个向量在这组向量作为基底下的坐标，着重考查了平面向量的正交分解及坐标表示的知识，属于基础题．
4．（2023·高一课时练习）已知为坐标原点，若点的坐标，向量，则（ ）
A．点与点重合
B．点在直线上
C．的位置向量为
D．
【答案】C
【分析】由条件可得，然后可判断出答案.
【详解】因为为坐标原点，点的坐标，向量
所以，所以的位置向量为，故C正确，D错误
其中点的位置定不了，可以移动，故A，B错误
故选：C
5．（2023·高一课时练习）在△ABC中，已知，则BC边的中线AD的长是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据中点坐标公式求得点坐标，从而得到，求解即为结果.
【详解】由题意知：中点为
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量模长的坐标运算，属于基础题.
二、填空题
6．（2023·高一课时练习）已知，且的坐标所表示的点在第四象限，则x的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据正交分解与坐标表示的关系求解.
【详解】由题可得，
因为的坐标所表示的点在第四象限，
所以解得，
故答案为: .
7．（2023·高一课时练习）在平面直角坐标系内，已知 、分别是x轴与y轴正方向上的单位向量，若，则的坐标为______．
【答案】
【分析】根据题意结合，即可求得答案.
【详解】由题意可得，则的坐标为.
故答案为：.
8．（2023·高一课时练习）如图，、、的坐标分别为______、______、______．
【答案】 ； ； .
【分析】根据图象，得到向量的起点与终点坐标，即可得出结果.
【详解】由图可得，，，.
故答案为：；；.
9．（2023·高一课时练习）与同向的单位向量为________．
【答案】
【分析】求出，故与其同方向的单位向量.
【详解】由题得:,
所以与向量同向的单位向量.
故答案为：.
10．（2023·高一课时练习）设，是x，y轴正方向上的单位向量，，，则向量，的夹角为______．
【答案】
【分析】分别求出，的表达式，利用定义求出，的夹角即可.
【详解】①，
②,
得，
得，
，
11．（2023·高一课时练习）平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是___________．
【答案】
【分析】根据向量的正交分解直接可得答案.
【详解】因为点，所以
故答案为：
12．（2023·高一课时练习）已知，，，，用与的线性组合表示______．
【答案】或
【分析】建系，分别表示，，的坐标，设，然后根据坐标列方程，解方程即可求解.
【详解】情况一：
如图建立平面直角坐标系，由题可知，，，,
设，所以，解得，所以 ；
情况二：
此时，，所以，解得，所以.
故答案为：或.
13．（2023·高一课时练习）设是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的单位向量，且，则面积的值等于______．
【答案】5
【分析】由题意，，可得,可先由公式 求出两向量夹角余弦，再求出，代入面积公式，即可求出三角形的面积
【详解】由题意知
又，
又
故答案为:5
【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查了向量坐标的定义，向量夹角的坐标表示，向量模的坐标表示，同角三角函数关系，三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握三角形的面积公式，由公式确定出解题的方向先求出两向量的夹角由题设条件得出两向量的坐标是本题的难点，理解向量坐标表示的定义是突破难点的关键．
14．（2023·高一课时练习）已知向量，点的坐标是，则点的坐标是__．
【答案】
【分析】设点坐标为，表示出，即可求出.
【详解】设点坐标为，点的坐标是，
，
即，，
解得：，，
故点的坐标.
故答案为：.
15．（2023·高一课时练习）若向量的起点的坐标为，且，则终点的坐标为______.
【答案】
【分析】设点，由向量的坐标表示求得，再根据向量相等，即可求解.
【详解】设点，由向量的坐标表示， 可得向量，
因为，所以，解得，即终点的坐标为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了根据向量的坐标表示，以及向量相等的条件的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，以及相等向量的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
三、双空题
16．（2023·高一课时练习）向量的坐标表示为______；坐标为的向量，用正交分解表示为______.
【答案】
【分析】根据向量的坐标表示，以及向量的正交分解，即可求解，得到答案.
【详解】根据向量的坐标表示，可得向量的坐标表示为，
坐标为的向量为，即坐标为的向量的正交分解为.
故答案为：，
【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的正交分解，其中解答中熟记向量的坐标表示方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
四、解答题
17．（2023·高一课时练习）如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为、、．
(1)写出向量，的坐标；
(2)如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标表示求解；（2）根据平行四边形中对边平行且相等的关系转化为向量的相等关系，利用坐标表示即可求解.
【详解】（1），
.
（2）设，所以
四边形ABCD是平行四边形，
所以，所以解得，
所以.
18．（2023·高一课时练习）已知边长为1的正方形中（如图所示），与轴正半轴成角，求与的坐标．
【答案】，．
【分析】平移正方形，使得点与原点重合，平移后的正方形为，此时、分别是、角的终边与单位圆的交点，然后求出的坐标，然后可得答案.
【详解】
由题知平移正方形，使得点与原点重合，
平移后的正方形为，此时、分别是、角的终边与单位圆的交点．
设、．
由三角函数的定义，
得，，
所以．所以，
同理：，，
所以．所以．
【选做题】
一、单选题
1．（2022春·福建莆田·高一莆田第二十五中学校考期中）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】法一：构建以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴的直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求x、y即可求值；
法二：过C作交AB的延长线于E，作交AD的延长线于F，利用向量加法的平行四边形法则可得求x、y，进而求值；
法三：应用转化法，结合平面向量数量积的运算律、及已知条件构建方程求x、y即可.
【详解】法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设，则，由，，则且，
又，，即，
∴，
由，有，解得，故.
法二：如图，过C作交AB的延长线于E，作交AD的延长线于F，
∴.
由，及，易知：B是线段AE的中点，于是.
由，，得，易知，，
∴，则，故，于是，又，
∴，即.
法三：设，由，，得，，
由，得，又，则.
又，
，
∴，于是，故.
故选：B.
二、多选题
2．（2022春·高一课时练习）下列命题正确的有（ ）．
A．
B．若，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为
C．在中，若点满足，则点是的重心
D．在中，若，则点的轨迹经过的内心
【答案】ACD
【分析】选项A利用向量的加减法运算判定；选项B利用向量的坐标表示判定；选项C利用三角形重心的向量表示判定；选项D根据条件得点在的角平分线上，从而有点的轨迹经过的内心.
【详解】选项A：因为，所以选项A正确；
选项B：若，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标依然是，故选项B错误；
选项C：由三角形的重心的向量表示可知，若点满足，则点是的重心，故选项C正确；
选项D：在中，若，则点在的角平分线上，所以点的轨迹经过的内心，故选项D正确；
故选：ACD.
3．（2022·高一课时练习）如图所示设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，．则下列结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】，则，故A正确；，故B正确；，故C错误；由于在上的投影为，故D正确.
【详解】对于A：，则，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：由于，故在上的投影为，故D正确。
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义，关键在于紧扣新定义，进行向量的坐标运算和模的计算，向量的投影的计算，以及向量的数量积的计算.
三、填空题
4．（2023·高一课时练习）已知向量，，为坐标原点，向量与互为负向量，则点的坐标为______.
【答案】
【分析】根据向量坐标的定义可得，的坐标，根据向量和的运算可得的坐标，由与互为负向量可得的坐标，即得点的坐标.
【详解】∵，，∴，，
∴，
又∵向量与互为负向量，∴，
即点的坐标为，
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了向量坐标的定义，向量线性运算的坐标表示，属于基础题.
5．（2022·高一课时练习）如图，在四边形中，，，点和点分别是边和的中点，延长和交的延长线于两点，则的值为___________.
【答案】0
【分析】由图可知四点共线,则,将问题转化为,以边为轴正方向,建系,设,,,分别写出各点坐标,利用数量积求解即可
【详解】设,,,如图建系,
则,,
因为,所以,,
因为点和点分别是边和的中点,
所以,,
则,,
所以,
因为,
所以
因为四点共线,所以,
则,
故答案为:0
【点睛】本题考查数量积的运算,考查向量的坐标表示的应用,考查三角函数的应用,考查数形结合思想
四、解答题
6．（2022春·福建厦门·高一厦门市第三中学校考阶段练习）如图，已知为平面直角坐标系的原点，，．
（1）求两点与的坐标；
（2）求向量在向量上的投影向量．
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）结合图象以及已知条件求得的坐标.
（2）利用投影向量公式计算出投影向量.
【详解】（1）过作轴，垂足为；过作轴，垂足为；过作，垂足为，如图所示.
依题意可知，
，，，则，
，所以.
（2），
所以向量在向量上的投影向量为.
7．（2022春·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，，记．
（1）试用向量表示向量，并求向量的坐标；
（2）若函数的最大值为，求实数的值．
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）利用向量的加法法则，即可求解.
(2)先得到的解析式，再通过换元，得到一个关于t的一元二次函数，再对m进行分类讨论，即可求出答案.
【详解】（1）
（2），
记
①当时
②当时舍去；
③当时舍去；
综上
8．（2022·高一课时练习）平面直角坐标系中，已知向量，且．
（1）求与之间的关系式；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）16.
【解析】（1）由题知，再根据即可得；
（2）由题知，，进而根据得，结合（1）联立方程得或，再结合分类讨论即可得答案.
【详解】解：（1）由题意得，
因为，，
所以，即，
所以与之间的关系式为： ①
（2）由题意得，，
因为，
所以，即，②
由①②得或
当时，，，
则
当时，，，
则
所以，四边形的面积为16.
【点睛】本题解题的关键在于由得，故只需解决即可求解，考查向量的坐标运算，是中档题.
9．（2022春·安徽淮南·高一淮南市第五中学校考阶段练习）已知，，其中.
（1）求向量与所成的夹角；
（2）若与的模相等，求的值（为非零的常数）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先求出，利用数量积运算法则可求得，从而证得结论；（2）利用向量坐标运算求得和，利用模长相等可求得，根据角的范围可确定最终取值.
【详解】（1）由已知得：，
则：，
因此：，
因此，向量与所成的夹角为；
（2）由，，
可得，
，
，
，
，
整理可得：，
即：，
，
，
即，
，
因此：，
即：.
【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，根据向量模长相等关系求解参数值的问题；关键是能够熟练掌握向量的坐标运算，属于中档题.
10．（2022秋·北京·高一牛栏山一中校考阶段练习）已知向量，其中，，是两两不相等的正整数.记，，其分量之间满足递推关系，，，.
(1)当时，直接写出向量；
(2)证明：不存在，使得中；
(3)证明：存在，当时，向量满足.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）利用并结合题意写出，，，，，，发现规律即可得到答案；
（2）假设存在，使得中，通过推导可得到，能得到，以此类推能得到，与题意矛盾，故可证；
（3）设三个数中最大的为，能得到，因为，故存在，使得，结合题目中的定义可得中三个数中必有0，故可证
【详解】（1）因为，根据题意可得，，，，，
观察到，所以从开始，周期为3，所以；
（2）假设存在，使得中，
设，所以，，，
不妨设，则由，，，
由可得，解得，即，
以此类推，可得，，，这与，，是两两不相等的正整数矛盾，
故假设不成立，所以不存在，使得中；
（3）设三个数中最大的为，记作，
因为，，，，
所以，，
若单调递减，由可得存在，使得，
由（2）的证明可得，这与题设矛盾，
所以不可能单调递减，即存在，使得，
根据的定义，可得中三个数中必有0，
假设三个数中有两个为0，显然，
不妨设，则，，即，这与矛盾，舍去；
假设三个数中有三个为0，显然，通过（2）已经证明不成立；
故三个数中只有一个数为0，
不妨设，则，
设，所以，即
，，
故，则，，
所以存在，当时，向量满足
【点睛】关键点点睛:本题考查平面向量中的新定义，解题的关键在于理解题中运算的含义,在第（3）问中讨论三个数中有两个为0或三个为0的情况并不满足题意，故三个数中只有一个数为0
11．（2022春·北京西城·高一北京四中校考期中）已知集合 .对于，给出如下定义：①；②；③A与B之间的距离为.说明：的充要条件是.
(1)当时，设，求；
(2)若，且存在，使得，求证：；
(3)记.若，且，求的最大值.
【答案】(1)
(2)见解析
(3)26
【分析】（1）当 时，直接利用求得的值
（2）设，则由题意可得
，使得，其中，得出 与同为非负数或同为负数，由此计算 的结果，计算 的结果，从而得出结论
（3）设 中有 项为非负数， 项为负数
不妨设 时， ， 时，
利用，得到
得到
求出 ， ，即可得到 的最大值
得到，再验证得到成立的条件即可；
【详解】（1）解：由于，
则
故
（2）解：设
使，
使得：，
，使得 ，其中 ，
与 同为非负数或同为负数，
，故得证；
（3）解：
设 中有 项为非负数， 项为负数
不妨设 时，
时，
所以
，整理得
又
即
对于
有 ，且
综上所得，的最大值为
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）已知，若的终点坐标为（3，-6），则的起点坐标为（ ）
A．（-4，-8）B．（-4，8）C．（4，-8）D．（4，8）
【答案】C
【分析】用向量的坐标运算求解即可.
【详解】设的起点坐标为，
的终点坐标为（3，-6），
，
又，
，解得，
的起点坐标为，
故选：C.
2．（2023·高一课时练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，若绕点逆时针旋转得到向量，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由坐标可确定其与轴夹角，进而得到与轴夹角，根据模长相等可得到坐标.
【详解】 与轴夹角为 与轴夹角为
又
故选：
【点睛】本题考查向量旋转后坐标的求解问题，关键是能够确定向量与轴的夹角的大小，进而根据模长不变求得向量.
3．（2023·高一课时练习）如图所示，若向量、是一组单位正交向量，则向量2在平面直角坐标系中的坐标为
A．（3，4）B．（2，4）
C．（3，4）或（4，3）D．（4，2）或（2，4）
【答案】A
【分析】以向量、公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系．可得向量2（2，1）且（1，3），结合向量坐标的线性运算性质，即可得到向量2在平面直角坐标系中的坐标．
【详解】以向量、公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系
∵1＝（1，0），2＝（0，1）
∴2（2，1），得∵（1，3），
∴2（2，1）+（1，3）＝（3，4）
即2在平面直角坐标系中的坐标为（3，4）
故选A．
【点睛】本题给出垂直的单位向量，求第三个向量在这组向量作为基底下的坐标，着重考查了平面向量的正交分解及坐标表示的知识，属于基础题．
4．（2023·高一课时练习）已知为坐标原点，若点的坐标，向量，则（ ）
A．点与点重合
B．点在直线上
C．的位置向量为
D．
【答案】C
【分析】由条件可得，然后可判断出答案.
【详解】因为为坐标原点，点的坐标，向量
所以，所以的位置向量为，故C正确，D错误
其中点的位置定不了，可以移动，故A，B错误
故选：C
5．（2023·高一课时练习）在△ABC中，已知，则BC边的中线AD的长是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据中点坐标公式求得点坐标，从而得到，求解即为结果.
【详解】由题意知：中点为
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量模长的坐标运算，属于基础题.
二、填空题
6．（2023·高一课时练习）已知，且的坐标所表示的点在第四象限，则x的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据正交分解与坐标表示的关系求解.
【详解】由题可得，
因为的坐标所表示的点在第四象限，
所以解得，
故答案为: .
7．（2023·高一课时练习）在平面直角坐标系内，已知 、分别是x轴与y轴正方向上的单位向量，若，则的坐标为______．
【答案】
【分析】根据题意结合，即可求得答案.
【详解】由题意可得，则的坐标为.
故答案为：.
8．（2023·高一课时练习）如图，、、的坐标分别为______、______、______．
【答案】 ； ； .
【分析】根据图象，得到向量的起点与终点坐标，即可得出结果.
【详解】由图可得，，，.
故答案为：；；.
9．（2023·高一课时练习）与同向的单位向量为________．
【答案】
【分析】求出，故与其同方向的单位向量.
【详解】由题得:,
所以与向量同向的单位向量.
故答案为：.
10．（2023·高一课时练习）设，是x，y轴正方向上的单位向量，，，则向量，的夹角为______．
【答案】
【分析】分别求出，的表达式，利用定义求出，的夹角即可.
【详解】①，
②,
得，
得，
，
11．（2023·高一课时练习）平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是___________．
【答案】
【分析】根据向量的正交分解直接可得答案.
【详解】因为点，所以
故答案为：
12．（2023·高一课时练习）已知，，，，用与的线性组合表示______．
【答案】或
【分析】建系，分别表示，，的坐标，设，然后根据坐标列方程，解方程即可求解.
【详解】情况一：
如图建立平面直角坐标系，由题可知，，，,
设，所以，解得，所以 ；
情况二：
此时，，所以，解得，所以.
故答案为：或.
13．（2023·高一课时练习）设是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的单位向量，且，则面积的值等于______．
【答案】5
【分析】由题意，，可得,可先由公式 求出两向量夹角余弦，再求出，代入面积公式，即可求出三角形的面积
【详解】由题意知
又，
又
故答案为:5
【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查了向量坐标的定义，向量夹角的坐标表示，向量模的坐标表示，同角三角函数关系，三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握三角形的面积公式，由公式确定出解题的方向先求出两向量的夹角由题设条件得出两向量的坐标是本题的难点，理解向量坐标表示的定义是突破难点的关键．
14．（2023·高一课时练习）已知向量，点的坐标是，则点的坐标是__．
【答案】
【分析】设点坐标为，表示出，即可求出.
【详解】设点坐标为，点的坐标是，
，
即，，
解得：，，
故点的坐标.
故答案为：.
15．（2023·高一课时练习）若向量的起点的坐标为，且，则终点的坐标为______.
【答案】
【分析】设点，由向量的坐标表示求得，再根据向量相等，即可求解.
【详解】设点，由向量的坐标表示， 可得向量，
因为，所以，解得，即终点的坐标为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了根据向量的坐标表示，以及向量相等的条件的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，以及相等向量的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
三、双空题
16．（2023·高一课时练习）向量的坐标表示为______；坐标为的向量，用正交分解表示为______.
【答案】
【分析】根据向量的坐标表示，以及向量的正交分解，即可求解，得到答案.
【详解】根据向量的坐标表示，可得向量的坐标表示为，
坐标为的向量为，即坐标为的向量的正交分解为.
故答案为：，
【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的正交分解，其中解答中熟记向量的坐标表示方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
四、解答题
17．（2023·高一课时练习）如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为、、．
(1)写出向量，的坐标；
(2)如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标表示求解；（2）根据平行四边形中对边平行且相等的关系转化为向量的相等关系，利用坐标表示即可求解.
【详解】（1），
.
（2）设，所以
四边形ABCD是平行四边形，
所以，所以解得，
所以.
18．（2023·高一课时练习）已知边长为1的正方形中（如图所示），与轴正半轴成角，求与的坐标．
【答案】，．
【分析】平移正方形，使得点与原点重合，平移后的正方形为，此时、分别是、角的终边与单位圆的交点，然后求出的坐标，然后可得答案.
【详解】
由题知平移正方形，使得点与原点重合，
平移后的正方形为，此时、分别是、角的终边与单位圆的交点．
设、．
由三角函数的定义，
得，，
所以．所以，
同理：，，
所以．所以．
【选做题】
一、单选题
1．（2022春·福建莆田·高一莆田第二十五中学校考期中）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】法一：构建以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴的直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求x、y即可求值；
法二：过C作交AB的延长线于E，作交AD的延长线于F，利用向量加法的平行四边形法则可得求x、y，进而求值；
法三：应用转化法，结合平面向量数量积的运算律、及已知条件构建方程求x、y即可.
【详解】法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设，则，由，，则且，
又，，即，
∴，
由，有，解得，故.
法二：如图，过C作交AB的延长线于E，作交AD的延长线于F，
∴.
由，及，易知：B是线段AE的中点，于是.
由，，得，易知，，
∴，则，故，于是，又，
∴，即.
法三：设，由，，得，，
由，得，又，则.
又，
，
∴，于是，故.
故选：B.
二、多选题
2．（2022春·高一课时练习）下列命题正确的有（ ）．
A．
B．若，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为
C．在中，若点满足，则点是的重心
D．在中，若，则点的轨迹经过的内心
【答案】ACD
【分析】选项A利用向量的加减法运算判定；选项B利用向量的坐标表示判定；选项C利用三角形重心的向量表示判定；选项D根据条件得点在的角平分线上，从而有点的轨迹经过的内心.
【详解】选项A：因为，所以选项A正确；
选项B：若，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标依然是，故选项B错误；
选项C：由三角形的重心的向量表示可知，若点满足，则点是的重心，故选项C正确；
选项D：在中，若，则点在的角平分线上，所以点的轨迹经过的内心，故选项D正确；
故选：ACD.
3．（2022·高一课时练习）如图所示设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，．则下列结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】，则，故A正确；，故B正确；，故C错误；由于在上的投影为，故D正确.
【详解】对于A：，则，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：由于，故在上的投影为，故D正确。
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义，关键在于紧扣新定义，进行向量的坐标运算和模的计算，向量的投影的计算，以及向量的数量积的计算.
三、填空题
4．（2023·高一课时练习）已知向量，，为坐标原点，向量与互为负向量，则点的坐标为______.
【答案】
【分析】根据向量坐标的定义可得，的坐标，根据向量和的运算可得的坐标，由与互为负向量可得的坐标，即得点的坐标.
【详解】∵，，∴，，
∴，
又∵向量与互为负向量，∴，
即点的坐标为，
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了向量坐标的定义，向量线性运算的坐标表示，属于基础题.
5．（2022·高一课时练习）如图，在四边形中，，，点和点分别是边和的中点，延长和交的延长线于两点，则的值为___________.
【答案】0
【分析】由图可知四点共线,则,将问题转化为,以边为轴正方向,建系,设,,,分别写出各点坐标,利用数量积求解即可
【详解】设,,,如图建系,
则,,
因为,所以,,
因为点和点分别是边和的中点,
所以,,
则,,
所以,
因为,
所以
因为四点共线,所以,
则,
故答案为:0
【点睛】本题考查数量积的运算,考查向量的坐标表示的应用,考查三角函数的应用,考查数形结合思想
四、解答题
6．（2022春·福建厦门·高一厦门市第三中学校考阶段练习）如图，已知为平面直角坐标系的原点，，．
（1）求两点与的坐标；
（2）求向量在向量上的投影向量．
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）结合图象以及已知条件求得的坐标.
（2）利用投影向量公式计算出投影向量.
【详解】（1）过作轴，垂足为；过作轴，垂足为；过作，垂足为，如图所示.
依题意可知，
，，，则，
，所以.
（2），
所以向量在向量上的投影向量为.
7．（2022春·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，，记．
（1）试用向量表示向量，并求向量的坐标；
（2）若函数的最大值为，求实数的值．
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）利用向量的加法法则，即可求解.
(2)先得到的解析式，再通过换元，得到一个关于t的一元二次函数，再对m进行分类讨论，即可求出答案.
【详解】（1）
（2），
记
①当时
②当时舍去；
③当时舍去；
综上
8．（2022·高一课时练习）平面直角坐标系中，已知向量，且．
（1）求与之间的关系式；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）16.
【解析】（1）由题知，再根据即可得；
（2）由题知，，进而根据得，结合（1）联立方程得或，再结合分类讨论即可得答案.
【详解】解：（1）由题意得，
因为，，
所以，即，
所以与之间的关系式为： ①
（2）由题意得，，
因为，
所以，即，②
由①②得或
当时，，，
则
当时，，，
则
所以，四边形的面积为16.
【点睛】本题解题的关键在于由得，故只需解决即可求解，考查向量的坐标运算，是中档题.
9．（2022春·安徽淮南·高一淮南市第五中学校考阶段练习）已知，，其中.
（1）求向量与所成的夹角；
（2）若与的模相等，求的值（为非零的常数）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先求出，利用数量积运算法则可求得，从而证得结论；（2）利用向量坐标运算求得和，利用模长相等可求得，根据角的范围可确定最终取值.
【详解】（1）由已知得：，
则：，
因此：，
因此，向量与所成的夹角为；
（2）由，，
可得，
，
，
，
，
整理可得：，
即：，
，
，
即，
，
因此：，
即：.
【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，根据向量模长相等关系求解参数值的问题；关键是能够熟练掌握向量的坐标运算，属于中档题.
10．（2022秋·北京·高一牛栏山一中校考阶段练习）已知向量，其中，，是两两不相等的正整数.记，，其分量之间满足递推关系，，，.
(1)当时，直接写出向量；
(2)证明：不存在，使得中；
(3)证明：存在，当时，向量满足.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）利用并结合题意写出，，，，，，发现规律即可得到答案；
（2）假设存在，使得中，通过推导可得到，能得到，以此类推能得到，与题意矛盾，故可证；
（3）设三个数中最大的为，能得到，因为，故存在，使得，结合题目中的定义可得中三个数中必有0，故可证
【详解】（1）因为，根据题意可得，，，，，
观察到，所以从开始，周期为3，所以；
（2）假设存在，使得中，
设，所以，，，
不妨设，则由，，，
由可得，解得，即，
以此类推，可得，，，这与，，是两两不相等的正整数矛盾，
故假设不成立，所以不存在，使得中；
（3）设三个数中最大的为，记作，
因为，，，，
所以，，
若单调递减，由可得存在，使得，
由（2）的证明可得，这与题设矛盾，
所以不可能单调递减，即存在，使得，
根据的定义，可得中三个数中必有0，
假设三个数中有两个为0，显然，
不妨设，则，，即，这与矛盾，舍去；
假设三个数中有三个为0，显然，通过（2）已经证明不成立；
故三个数中只有一个数为0，
不妨设，则，
设，所以，即
，，
故，则，，
所以存在，当时，向量满足
【点睛】关键点点睛:本题考查平面向量中的新定义，解题的关键在于理解题中运算的含义,在第（3）问中讨论三个数中有两个为0或三个为0的情况并不满足题意，故三个数中只有一个数为0
11．（2022春·北京西城·高一北京四中校考期中）已知集合 .对于，给出如下定义：①；②；③A与B之间的距离为.说明：的充要条件是.
(1)当时，设，求；
(2)若，且存在，使得，求证：；
(3)记.若，且，求的最大值.
【答案】(1)
(2)见解析
(3)26
【分析】（1）当 时，直接利用求得的值
（2）设，则由题意可得
，使得，其中，得出 与同为非负数或同为负数，由此计算 的结果，计算 的结果，从而得出结论
（3）设 中有 项为非负数， 项为负数
不妨设 时， ， 时，
利用，得到
得到
求出 ， ，即可得到 的最大值
得到，再验证得到成立的条件即可；
【详解】（1）解：由于，
则
故
（2）解：设
使，
使得：，
，使得 ，其中 ，
与 同为非负数或同为负数，
，故得证；
（3）解：
设 中有 项为非负数， 项为负数
不妨设 时，
时，
所以
，整理得
又
即
对于
有 ，且
综上所得，的最大值为
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