高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时作业

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时作业，共16页。

一、单选题
1．（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知，，则线段中点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过线段的点和点坐标，由中点坐标公式即可求出线段中点的坐标.
【详解】在线段中，
，
∴线段中点的坐标为.
故选：D.
2．（2023·高一课时练习）已知点M(5，－6)和向量，若，则点N的坐标为（ ）
A．(2，0)B．(－3，6)
C．(6，2)D．(－2，0)
【答案】A
【分析】N(x，y)，由题意结合向量相等的坐标表示即可求解
【详解】设N(x，y)，由，
可得(x－5，y＋6)＝(－3，6)，
∴x＝2，y＝0.
故选：A
二、填空题
3．（2023·高一课时练习）已知点A、B的坐标分别为（－2，5），（1，4），若点P满足，则点P的坐标为______．
【答案】（4，3）
【分析】设出点，根据列方程组解决.
【详解】设，又 A、B的坐标分别为（－2，5），（1，4）
，
所以点.
故答案为：（4，3）
4．（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知向量，，则________．
【答案】
【分析】根据向量坐标运算即得.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：.
5．（2023·高一课时练习）在中，顶点的坐标为，边的中点的坐标为，则的重心坐标为______．
【答案】
【分析】设的重心为，则，即可得到方程组，解得即可.
【详解】解：设的重心为，则，
因为，，
所以，即，解得，即，
即的重心坐标为.
故答案为：
6．（2023·高一课时练习）设，，，若，则______．
【答案】
【分析】应用向量线性关系的坐标表示列方程组求参数x、y，即可得结果.
【详解】由题设，
所以，即，故.
故答案为：
7．（2023·全国·高一专题练习）已知点，，，，则向量在方向上的数量投影为______．
【答案】
【分析】先求得向量，的坐标，再根据数量投影的定义即可求得答案.
【详解】，
所以向量在方向上的数量投影为.
故答案为：.
8．（2022春·山西运城·高一统考期中）已知，，点P是线段MN的一个三等分点且靠近点M，则点P的坐标为______．
【答案】
【分析】设，根据即可求出P的坐标.
【详解】由题可知，
设，则，
，，
∴.
故答案为：.
9．（2023·高一课时练习）已知，，则______.
【答案】1
【分析】先联立求得向量，代入求得，利用求模公式求得结果.
【详解】解：①，②，
由（①+②）/3得，代入②得，
则，
则1，
故答案为：1.
10．（2023·高一课时练习）已知，，且满足，则的坐标是______.
【答案】（-5，1）
【分析】利用算出答案即可.
【详解】因为，，
所以
故答案为：
11．（2023·高一课时练习）已知正方形ABCD的边长为1.若点A与坐标原点重合,边AB,AD分别落在x轴、y轴的正方向上,则向量4-3的坐标为_____.
【答案】(1,-2)
【详解】如图,各顶点的坐标为A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
∴=(1,0),=(0,1),=(1,1).
∴4-3=(1,-2).
12．（2023·高一课时练习）已知, 且点在的延长线上, , 则点的坐标为__________.
【答案】
【详解】如图所示， ，且点在的延长线上，，设，则，即，解得点坐标为，故答案为.
三、双空题
13．（2023·高一课时练习）已知向量，，，若，则实数_________，_________.
【答案】 1 -2
【分析】根据向量相等的充要条件及向量的坐标运算得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，，，且
即，所以，解得
故答案为：；
四、解答题
14．（2023·高一课时练习）在直角坐标系xOy中，已知点，，，点在三边围成的区域（含边界）上．
(1)若，求；
(2)设，用x，y表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量相等列方程即可求得，进而求得
（2）利用向量相等列方程即可求得，进而求得
【详解】（1），，，
则，，
则
则，解之得，经检验符合题意
则
（2），，，
则，，
由
可得，解之得
则
15．（2023·高一课时练习）已知点，，，设，，，且，，
(1)求；
(2)求满足的实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量的坐标运算解决即可；（2）根据相等向量对应坐标相等列方程组解决即可.
【详解】（1）由题得，
所以
（2）由（1）得，
所以，
所以，解得，
所以满足的实数的值为.
16．（2023·高一单元测试）已知，．
(1)当k为何值时，与垂直？
(2)当k为何值时，与平行？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示可得，即可求出k的值；（2）根据平行向量的定义可知需满足即可得出k的值.
【详解】（1），．
若可得，
即，得，
即时，与垂直
（2）因为，不平行，由平行向量的定义可知，
需满足时，
即 时，与平行
17．（2023·高一课时练习）已知，，求向量和．
【答案】，
【分析】由已知向量线性关系的坐标列方程，求和坐标，即可得结果.
【详解】由题设，，可得，
所以，故.
18．（2023·高一课时练习）如图，已知为平面直角坐标系的原点，，.
（1）求的坐标；
（2）若四边形为平行四边形，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）通过构造直角三角形求得对应边长，进而求得C点坐标，得出结果；
（2）方法一：设，由平行四边形法则，，计算即可求得结果.
方法二：四边形为平行四边形，由，计算可得D点坐标，进而求得的坐标求得结果.
方法三：设，则为和的中点，由求得中点坐标,进而利用中点坐标公式求得点坐标，计算得出结果.
【详解】解：（1）如图1所示，过点作轴，轴，，、分别为垂足.
显然，，.
故，.
所以，从而.
（2）方法1：如图2所示，设，
由平行四边形法则，，
由于，，所以.
方法2：由（1）知，.
由于四边形为平行四边形，所以，
设点，则.
又，故，解得，即.
所以，从而.
方法3：如图2所示，设，则为和的中点.
由（1）知，，，.
设点，则，
又，故，
故，从而.
19．（2023·高一课时练习）已知，，当取最小值时，以O、P、Q、A四点构成平行四边形，求.
【答案】（3，4）或（-1，0）或（1，0）
【分析】利用向量的模求出最小值时的值，在根据、、、四点构成平行四形，分类讨论分别计算可得．
【详解】解：由题意，，
可得，，，当时，距离最小，
此时，，、、、四点构成平行四形，
若四边形为平行四边形则；
若四边形为平行四边形则，所以；若四边形为平行四边形则，所以；
20．（2023·高一课时练习）已知向量与的对应关系可用表示.
（1）设，，求及的坐标；
（2）证明：对于任意向量、及常数m、n，恒有成立；
（3）求使成立的向量.
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）带入对应关系直接计算即可；（2）设，，求出，带入对应关系求出，然后计算，得出两式相同，即可证明；（3）设，带入对应关系解出.
【详解】（1），
（2）设，，∴，
∴
∴，
故对于任意向量、及常数m、n，恒有成立.
（3）设，因为，则有，解得，所以.
【选做题】
一、多选题
1．（2023秋·辽宁营口·高一校联考期末）在边长为4的正方形中，在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点在上时，则
B．的取值范围为
C．若点在上时，
D．当在线段上时，的最小值为
【答案】AD
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后利用向量的线性坐标运算逐个分析判断即可.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设，
因为，
所以，所以，
对于A，由题意可得线段的方程为，，
因为点在上，所以，
因为，所以，
所以，所以A正确，
对于B，因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，
因为，，
所以，
若，则，得，
因为，所以不满足，
所以不成立，所以C错误，
对于D，
，当且仅当时取等号，
所以当在线段上时，的最小值为，所以D正确，
故选：AD
二、填空题
2．（2023秋·北京·高一校考期末）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和.现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形.若，则__________.
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.
【详解】如图，以A为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形边长为
可知，，，
则，，即
又，
即，即，化简得
故答案为：
3．（2023·高一课时练习）在中，，，，M是外接圆上一动点，若，则的最大值是________．
【答案】##
【分析】以的中点为原点，以为轴，建立平面直角坐标系，结合三角函数的定义可得，再求出点的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案
【详解】解：在中，，，，所以，
以的中点为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则设外接圆上一点，连接，记，则由三角函数定义可知，
则，所以
过点作垂直轴，
，
，，
，，
，
，，，
，
，
，，
，其中，，
当时，有最大值，最大值为，
故答案为：
4．（2023·高一课时练习）若对个向量存在个不全为零的实数，使得成立，则称向量为“线性相关”，以此规定，能说明线性相关”的实数依次可取的一组值是____________（只要写出一组答案即可）
【答案】
【分析】利用题中的定义设出方程，利用向量的坐标运算得到方程组，给其中一个未知数赋值求出方程组的一个解．
【详解】设k1+k2+k3，
则
依次可取的一组值是
故答案为
【点睛】本题考查理解题中给的新定义、向量的坐标运算、平面向量的基本定理．
5．（2023·高一课时练习）的三个顶点坐标分别为，，，是上一点，若，则的坐标为________.
【答案】
【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比,可得,再得到,设出的坐标,代入可解得.
【详解】因为,又因为,所以,
所以,所以,
所以,
设,
所以,,
所以,
所以且,
解得,且,
所以的坐标为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示,平面向量基本定理,属于基础题.
6．（2023·高一课时练习）赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出_________.
【答案】
【分析】利用建系的方法，假设，根据，利用余弦定理可得长度，然后计算，可得点坐标，最后根据点坐标，可得结果.
【详解】设，则
如图
由题可知：，
由
所以，则
所以，
又
所以
所以
即
所以
又
所以
所以
故答案为：
【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题.
三、解答题
7．（2023·高一课时练习）已知向量，，求与同向，且模等于20的向量.
【答案】
【分析】由题意，求得，得到与之同向的单位向量为，进而可求得向量，得到答案.
【详解】由题意，向量，，
则，可得与同向的单位向量为，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及平面向量的坐标运算，其中解答中熟记向量坐标表示和向量的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.