高中数学6.3 平面向量基本定理及坐标表示课后测评

这是一份高中数学6.3 平面向量基本定理及坐标表示课后测评，共23页。

一、单选题
1．（2023·高一课时练习）若点D在的边BC上，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用基底向量表示，再结合已知并借助平面向量基本定理即可作答.
【详解】在中，因，则，
而不共线，且有，
于是得，进而得，
所以等于.
故选：C
2．（2023·高一课时练习）在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【解析】本题可根据向量平行的相关性质依次判断四个选项中的、是否共线，即可得出结果.
【详解】选项A：因为，所以、共线，不能作为基底；
选项B：因为，所以、共线，不能作为基底；
选项C：因为，所以、共线，不能作为基底；
选项D：因为，所以、不共线，可以作为基底，
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量中基底的要求，即共线向量不能作为基底，考查向量平行的相关性质，考查计算能力，是简单题.
3．（2023秋·辽宁沈阳·高一校考期末）在中，点D在BC边上，且.设，，则可用基底，表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减运算法则、数乘运算即可求解.
【详解】因为，所以.
所以
故选：C
二、多选题
4．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）在中，是中线，则下列等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】延长至，使，根据平面向量加法的平行四边形法则，即可判断A是否正确；由题意可知，结合，根据共线定理即可求出，即可判断B,D是否正确；由于，同底，以及，结合相似关系，可得，即可判断C是否正确.
【详解】延长至，使，如下图所示，则是平行四边形，
所以，故A正确；
因为，故B正确，D错误；
分别故作边的垂线，垂足分别为，如下图所示：
则，
又，所以，所以与高之比为，
又，的底均为，所以，故C正确.
故选:ABC.
三、填空题
5．（2023·高一课时练习）设向量，若用表示，则________.
【答案】
【分析】根据平面向量基本定理进行求解即可.
【详解】设，则有，
得，所以，
故答案为：
6．（2023·高一课时练习）如图，在中，、分别为边、的中点. 为边上的点，且，若，，则的值为___________.
【答案】.
【详解】试题分析：为的中点，，，，，.
考点：平面向量的基底表示
7．（2023·高一单元测试）已知，，当______时，向量，不能作为平面向量的一组基底.
【答案】
【分析】利用向量共线即可求解.
【详解】要使向量，不能作为平面向量的一组基底，则向量，共线，
，
，
，
，
即当向量，不能作为平面向量的一组基底.
故答案为：
8．（2023·高一课时练习）如图，向量、、的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则________．
【答案】4
【分析】运用平面向量基本定理，向量加法解决即可.
【详解】如图，
，
所以，
因为，
所以，即，
故答案为：4
四、解答题
9．（2023·高一课时练习）设,是不平行的向量，且，．
(1)证明：,是平面向量的一个基；
(2)用,的线性组合表示．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平面向量共线定理解决即可；（2）根据平面向量基本定理解决即可.
【详解】（1）证明：若,平行，则，即，
所以．
因为,不平行，所以，
因为该方程组无解，
所以，平行不成立，
所以，不平行，
所以，是平面向量的一个基．
（2）设，
又因为，
由向量基本定理，得，解得
所以．
10．（2023·高一课时练习）设两个非零向量，不共线，，，．
(1)求证：A、B、D共线；
(2)试确定实数k，使和共线．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）证明出，即可证得结论成立
（2）根据向量共线得到，进而求解结论
【详解】（1）因为，，，
所以，所以，
因为、共点，所以、、三点共线；
（2）∵和共线，
存在实数，使得，
∵非零向量，不共线，
且，可得或
11．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）如图，在平行四边形中，设．试用求表示及．
【答案】
【分析】结合图形关系，根据平面向量的线性运算即可求解.
【详解】在平行四边形中,,
所以
进而得
12．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，，．设，．
(1)用，表示，；
(2)用向量的方法证明：A，F，C三点共线．
【答案】(1)，；
(2)答案见详解.
【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则，可得，由结合已知可得；
（2）根据可推出，即.再根据有公共点，可证得三点共线.
【详解】（1）解：根据向量加法的平行四边形法则，可得.
.
（2）证明：由（1）知，，所以，
所以，
所以，，共线.
又直线，直线有公共点，
所以，，，三点共线.
13．（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知向量，不共线，且，，．
(1)将用，表示；
(2)若，求的值；
(3)若，求证：A，B，C三点共线．
【答案】(1)；
(2)；
(3)详见解析.
【分析】（1）根据向量的减法运算即得；
（2）根据向量共线定理可得，进而可得，即得；
（3）由题可得，然后根据向量共线定理结合条件即得.
【详解】（1）因为，，
所以；
（2）因为，，，
所以，即，又向量，不共线，
所以，解得，
即的值为；
（3）当时， ，，，
所以，
所以，又有公共点，
所以A，B，C三点共线．
14．（2023·高一单元测试）已知，，是平面上不共线的三点，直线上有一点，满足．
（1）用，表示；
（2）若点是的中点，用向量方法证明四边形是梯形．
【答案】（1）；（2）证明见解析 .
【分析】（1）根据平面向量共线的性质，结合平面向量加法的运算法则进行求解即可；
（2）根据平面向量共线的性质，结合梯形的定义进行证明即可.
【详解】解：（1）由题意：直线上有一点，
∵，
∴，
所以为的中点；
由： ①，
②，
代入①可得： ③
由②③消去可得：．
（2）点是的中点，则．
由： ④
⑤，
由①④⑤可得：，
所以，故得四边形是梯形．
15．（2023·全国·高一专题练习）如图，平行四边形中，.
（1）若，为中点，求证：点，，共线；
（2）若，，求的最小值，及此时的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）取得最大值，此时的值．
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到，即可证明点，，共线；
（2）设，，根据，，可得，转化为关于、的不等式，利用基本不等式可解决此问题．
【详解】解：（1）平行四边形中，，，为中点，
，
所以，，即，所以
，，共线；
（2）设，，根据，，可得，
，，
当且仅当且，即，时，取得最大值，此时的值．
16．（2023·高一课时练习）如图，设是平面内相交成60°角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对（x，y）叫做向量在坐标系xOy中的坐标，设，
（1）计算的大小；
（2）根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理.
【答案】（1）；（2）合理
【解析】（1）结合图形作辅助线在直角三角形中求解；
（2）根据平面向量基本定理，作为一组基底，则平面内任意向量都有唯一有序数对使得.
【详解】解：（1）建立如围所示的直角坐标系，将分解到轴和轴可求得，所以.
（2）作为一组基底，对于任意向量都是唯一确定的，所以本题中对向量坐标的规定合理.
【点睛】此题考查平面向量基本运算，涉及数形结合处理模长问题，对平面向量基本定理辨析
17．（2023·高一课时练习）已知与不平行，并设，．若存在实数x，y，使得，求x，y的值．
【答案】，
【分析】由条件可得，从而得到，由此求得、的值．
【详解】解：由，可得，
即，
，求得.
【选做题】
一、单选题
1．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.
【详解】由题意,
即，
所以
故选：A.
2．（2023·高一课时练习）已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，且，，则①＝－－；②＝＋；③＝－＋；④＋＋＝0.其中正确的等式的个数为
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案．
【详解】
①如图可知＝＋＝＋＝－－
＝－－，故①正确．
②＝＋＝＋
＝＋，故②正确．
③＝＋＝＋＝＋(－－)
＝－＋，故③正确．
④＋＋＝－＋＋
＝－(＋)＋＋
＝－(＋)＋＋－＋＝0，故④正确．
故选D.
【点睛】本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量．
二、填空题
3．（2023秋·辽宁营口·高一校联考期末）在中，，，若（，均大于0），则的值为______.
【答案】15
【分析】利用平面向量基本定理和向量三角形法则，可表示，进而求出，的值，即可求出结果.
【详解】如图所示，在中，，
因为，所以，所以，①
在中，，
因为，所以，所以，代入①，
得，
因为，所以，，
所以，
故答案为：.
4．（2023·高一课时练习）如图所示，已知，由射线和射线及线段构成如图所示的阴影区（不含边界）．已知下列四个向量：
①；
②；
③．
对于点、、落在阴影区域内（不合边界）的点有________．（把所有符合条件的序号都填上）
【答案】①②
【分析】根据平面向量基本定理，可得到，由在阴影区域内可得实数，从而，且，逐项检验即可判断点、、是否落在阴影区域内.
【详解】解：设在阴影区域内，则射线与线段有公共点，记为，
则存在实数,使得，
且存在实数，使得，从而，且．
又由于，故．
对于①中，，解得，，满足也满足，故①满足条件，即点落在阴影区域内．
对于②，，解得，，满足也满足，故②满足条件，即点落在阴影区域内
对于③，，解得，，不满足，故③不满足条件，即点不落在阴影区域内.
故答案为：①②．
5．（2023·高一课时练习）已知平面向量，的夹角为，且，，在△中，，，D为BC的中点，则______．
【答案】2
【分析】用表示出，由已知条件结合向量数量积的运算律求 .
【详解】△中，由D为BC的中点，则，
又，平面向量，的夹角为，
∴.
故答案为：2.
6．（2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）在△ABC中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线，于点，，且，(，)，若的最小值为3，则正数的值为___________.
【答案】
【分析】由平面向量基本定理可得，进而又由点，，三点共线，则，根据“1”的作用由基本不等式的性质，可解得的值．
【详解】解：在中，点是的三等分点，，
，
，，，
，，三点共线，，
，
当且仅当，即时取等号，的最小值为，
即，，．
故答案为：．
7．（2023·高一课时练习）（理）在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求的坐标为_____________________．
【答案】
【分析】根据向量加法平行四边形法则以及菱形性质得,再根据||＝2，求t,即得结果.
【详解】由题意可设
所以，
因为||＝2，所以,即的坐标为.
【点睛】与共线的向量为，当时，为同向；当时，为反向；与共线的单位向量为；与垂直的向量为.与平分线共线的向量为.
三、解答题
8．（2023秋·北京·高一校考期末）如图所示，在中，点是边的中点，点是线段靠近的三等分点.过点的直线与边分别交于点.设，其中.
(1)试用与表示，写出过程；
(2)求证：为定值，并求此定值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由平面向量基本定理可得答案；
（2）由平面向量基本定理、向量的三点共线可得答案.
【详解】（1）因为点是边的中点，所以
，
；
（2）因为，所以，
因为，
所以，
因为三点共线，所以，
可得为定值.
9．（2023·高一课时练习）如图，在中，A是CB的中点，D是线段OB的靠近点B的三等分点，DC和OA交于点E，设，．
(1)用和的线性组合分别表示、；
(2)若，求实数λ的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用向量加减及数乘运算，求出，；
（2）在第一问的基础上求出，再由，列出方程组，求出实数λ的值.
【详解】（1）因为，
已知，，
所以．
因为，所以．
（2）设（），
所以．
因为，，所以．
又因为，且、不平行，
所以由向量基本定理知，且，解得：，．
10．（2023·高一课时练习）在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且时，（如图1），小明同学提出了如下两个问题，请同学们帮助小明解答．
(1)当或时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由；
(2)如图2，射线，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求实数x的取值范围，并求当时，实数y的取值范围．
【答案】(1)若，则，在直线AB异侧；若，则，在直线AB同侧；理由见解析
(2)实数的取值范围是，
【分析】（1）运用平面向量基本定理、平面共线定理判断即可；
（2）运用平面向量基本定理、平面向量加法的平行四边形法和三点共线的结论可解决此问题．
【详解】（1）若，则，在直线AB异侧；若，则，在直线AB同侧．
理由如下：
设，则由，得：
，
则在直线上有一点，使得，如下图所示：
则，即，
当时，则与同向，且，
由平面共线定理可得，，在直线AB异侧；
当时，与反向，如下图所示，且，
由平面共线定理可得，，在直线AB同侧．
（2）射线，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动
如图所示，阴影部分为点P的运动区域（不含边界），
由（1）可知，，在直线同侧，由于，则．
过点作交射线于，过点作交射线的延长线于,
由平行四边形法则可得，
又与方向相同，则，且，与方向相反，则，且，
则，故，即实数的取值范围是，
当时，此时为中点，过作直线平行与交于，交射线于，则点运动轨迹为线段（不含端点），如下图：
当点运动到时，，此时；
当点运动到时，，此时；
且由平面向量加法的平行四边形法则得.
11．（2023·高一课时练习）已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且与不共线．
（1）在△OAB中，点P在AB上，且，若，求r＋s的值；
（2）已知点P满足 (m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．
【答案】（1）0；（2）-1.
【分析】(1)在由已知条件知，结合求参数值，进而得到r＋s的值；
(2)平行四边形OABP中有，结合且与不共线，求m的值
【详解】（1）∵，即有
∴，又
∴r＝，s＝－，即r＋s＝0.
（2）∵四边形OABP为平行四边形
∴，又
∴
依题意，是非零向量且不共线
∴m＋1＝0，即m＝－1
【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，根据几何图形中各线段代表的向量的线性关系，利用平面向量的基本定理求参数
12．（2023·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，设＝， ＝.
（1）用和表示向量；
（2）若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，求λ＋μ的值.
【答案】（1）＝ ＋，＝＋ ，（2）
【分析】(1)根据向量加法平行四边形法则得结果，（2）根据平面向量基本定理得结果.
【详解】解：(1)在平行四边形ABCD中,
因为E和F分别是边CD和BC的中点，＝，＝，
所以＝ ＋，＝＋ ，
（2）由(1)得＋=（＋），
又∵＝＋，∴＝ (＋)，又∵＝λ＋μ，
∴λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
【点睛】本题考查向量加法平行四边形法则以及向量基本定理，考查基本分析化简能力
13．（2023·高一单元测试）（Ⅰ）如图1，是平面内的三个点，且与不重合，是平面内任意一点，若点在直线上，试证明：存在实数，使得：.
（Ⅱ）如图2,设为的重心,过点且与、（或其延长线）分别交于点，若，，试探究：的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.
【答案】解：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.
【详解】（Ⅰ）由于三点共线，所以存在实数使得：
，即
化简为
结论得证.
（Ⅱ）连结，因为为的重心，
所以：
又因为，
所以
由（Ⅰ）知： 所以为定值.
14．（2023·高一课时练习）如图，三点不共线，，，设，.
（1）试用表示向量；
（2）设线段的中点分别为，试证明三点共线.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由，，三点共线，可得到一个向量等式，由，，三点共线可得到另一个等式，两者结合即可解决（1）；
（2）欲证三点共线，可先证明两向量共线得到．
【详解】解：（1），，三点共线，
，①
同理，，，三点共线，可得，②
比较①，②，得解得，，
．
（2），，，
，，
，
，，三点共线．
【点睛】本题考查平面向量的基本定理和平面向量的共线定理的应用，通过共线定理证明三点共线，考查转化思想和运算能力.