人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算第2课时同步练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算第2课时同步练习题，共13页。

一、单选题
1．（2022秋·湖南张家界·高一统考期末）已知与均为单位向量，且与的夹角为，则（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】D
【分析】根据结合数量积的运算律即可得解.
【详解】解：因为与均为单位向量，且与的夹角为，
所以.
故选：D.
2．（2022秋·浙江金华·高一浙江师范大学附属中学校联考期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】由已知可得.
故选：A.
3．（2022秋·山东菏泽·高一统考期中）已知，，与的夹角为，那么（ ）
A．4B．3C．2D．
【答案】D
【分析】转化为平面向量的数量积进行求解即可.
【详解】.
故选：D.
4．（2022·全国·高一假期作业）已知、满足：，，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据计算出，再根据即可得结果.
【详解】，
，
，
∴，
所以.
故选：C.
二、多选题
5．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第三十一中学校联考期中）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若，，则
【答案】AB
【分析】根据向量数量积的性质逐一判断选项即可
【详解】 ，故A正确；
可得
，则 ，故B正确
表示与共线的向量，表示与共线的向量，故C错误
对于D选项，当均与垂直时，此时 ，但与不一定相等，故D错误
故选：AB
6．（2022秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考阶段练习）已知正方形ABCD的边长为1，向量，满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由题可得，进而可知，然后逐项分析即得.
【详解】∵，，
∴，又正方形ABCD的边长为1，
∴，故A错误；
∴，，即，故BC正确；
∴，即，故D正确.
故选：BCD.
7．（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）如果是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据向量相等、向量的模、向量的数量积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，是两个单位向量，
单位向量方向不一定相同，所以A选项结论错误.
单位向量的模为，所以，所以BD选项结论正确.
当时，，所以C选项结论错误.
故选：AC
三、填空题
8．（2022秋·北京海淀·高一统考期末）在正方形中，是的中点，则____________．
【答案】0
【分析】根据向量加法的三角形法则化简计算.
【详解】如图，因为，所以；
故答案为：0.
9．（2022秋·河南洛阳·高一统考期末）若，且，则______．
【答案】
【分析】根据，结合数量积的运算律即可得出答案.
【详解】解：因为，且，
所以.
故答案为：.
10．（2022秋·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知向量与的夹角为60°，，则______.
【答案】##
【分析】直接由数量积的定义及运算律求解即可.
【详解】.
故答案为：.
11．（2022秋·河南·高一校联考期中）已知向量的夹角为，，则_________．
【答案】
【分析】由向量数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果.
【详解】，.
故答案为：.
12．（2022秋·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）设向量、满足，则_______．
【答案】2
【分析】由向量的模运算，结合向量的数量积运算律计算即可.
【详解】，故.
故答案为：2
13．（2022秋·辽宁鞍山·高一鞍山市第三中学校考期末）已知，，，则__________.
【答案】4
【分析】利用平面向量模的运算可求得结果.
【详解】因为，，，
所以
故答案为：4
14．（2022秋·河南南阳·高一统考期中）已知向量，，且与垂直，则实数___________.
【答案】或
【分析】根据可求出结果.
【详解】因为与垂直，
所以，
所以，所以，
所以或.
故答案为：或.
15．（2022秋·北京·高一北京十五中校考期中）若向量满足，则_____.
【答案】##
【分析】对两边平方，利用平面向量的数量积运算律，即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
即，所以.
故答案为：.
16．（2022秋·云南红河·高一弥勒市一中校考阶段练习）已知，则_________．
【答案】##
【分析】由，再两边平方可求解.
【详解】因为，
所以，则．
故答案为：
17．（2022·高一课时练习）已知向量的夹角为，，，则______．
【答案】
【分析】根据向量数量积定义以及向量模的定义即可求出结果.
【详解】解：因为向量的夹角为，，，
所以，
因此，，
故答案为：.
18．（2022秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）已知，为单位向量，，则_____．
【答案】
【分析】由题可得，再代入即得.
【详解】因为，为单位向量，，
所以，
所以，
则.
故答案为：.
四、解答题
19．（2022秋·四川成都·高一统考期末）已知，是夹角为的单位向量，设．
(1)求；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量的数量积计算即可.
（2）根据向量的模长公式计算，在求的最小值.
（1）
由向量，是夹角为的单位向量，可得．
且．
（2）
，
，．
当且仅当时等号成立，
的最小值为．
20．（2022秋·西藏拉萨·高一校联考期末）已知平面向量满足，且．
(1)求；
(2)若，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两边平分，求得，从而可求得夹角的余弦值，即可得解；
（2）由，可得，结合数量积的运算律即可得解.
（1）
解：由，平方得，
∵，∴，∴，
∴，
∴；
（2）
解：∵，
又∵，∴，
化简得，
∴．
21．（2022·高一课时练习）已知向量，满足，，．
(1)求；
(2)若，求实数k的值．
【答案】(1)6
(2)或2
【分析】（1）先求出的平方，进而求出；
（2）根据向量垂直得到方程，求出实数k的值.
【详解】（1）．
所以；
（2）由题意可得：，即，
∴，解得：或2，
所以实数k的值是-1或2.
【选做题】
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）下列式子中，正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．
【答案】C
【分析】根据向量数量积的运算，向量垂直与数量积的关系等知识逐项进项检验即可求解.
【详解】对于，因为 ，当共线时，才有，故选项错误；
对于，若且时，则，而不一定相等，故选项错误；
对于，因为，所以，即，所以，故选项正确；
对于，，故选项错误，
故选：.
二、多选题
2．（2022·高一课时练习）设均为单位向量，对任意的实数有恒成立，则（ ）
A．与的夹角为B．
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】BD
【分析】根据已知条件求得的夹角以及数量积，对每个选项进行逐一分析即可判断和选择.
【详解】对：设的夹角为，，
两边平方可得：，
即对任意的恒成立，
故可得：，即，
则，又，故，故错误；
对：，故正确；
对：
，当且仅当时取得等号，故错误；
对：
，对，当且仅当时取得最小值，
故的最小值为，故正确.
故选：.
三、填空题
3．（2022秋·西藏拉萨·高一校联考期末）边长为2的正方形，E为的中点，则的值为___________．
【答案】2
【分析】以为基底，分别表示，再利用向量的数量积的运算律求解即可.
【详解】，
故答案为：2
4．（2023·高一课时练习）已知，，若，，则______．
【答案】
【分析】化简即得解.
【详解】因为，
所以即，
所以.
故答案为：.
四、解答题
5．（2022秋·黑龙江·高一哈九中校考期中）已知向量，，与的夹角为.
(1)求及；
(2)求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由数量积公式计算，再由求解即可；
（2）展开由数量积公式计算.
【详解】（1），
（2）
6．（2022·高一课时练习）已知两个不共线的向量、的夹角为，且，，为正实数．
(1)若与垂直，求；
(2)若，求的最小值及对应的的值.
【答案】(1)
(2)时，最小值为
【分析】（1）由数量积为0求得后可得；
（2）把平方转化为数量积的运算得的函数，由函数可得最小值．
【详解】（1）因为与垂直，
所以，
所以，，
所以，
；
（2）
，
所以时，取得最小值．
7．（2022·高一课时练习）如图，在△ABC中，，，，，．
(1)设，求x，y的值，并求；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）以为基底，由向量的线性运算求出，再由向量数量积的运算性质求模即可；
（2）根据向量的线性运算转化为基底表示，再由数量积的运算求解即可.
【详解】（1），，
，
，
.
（2）
.
8．（2022·高一课时练习）如图，在平行四边形中，已知，，对角线，试用向量的方法求对角线的长．
【答案】
【分析】设，，由向量数量积的定义和运算律，根据可求得；由可求得的长.
【详解】设，，则，，
，解得：，
，解得：，
即对角线的长为.
9．（2023·高一课时练习）已知非零向量，满足，，试求，的夹角．
【答案】.
【分析】根据向量垂直的表示及向量数量积的运算律可得，，然后利用向量的夹角公式结合条件即得.
【详解】因为，，
所以，，
即，
所以，，，
所以，又，
所以，即，的夹角为．