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    第6章平面向量及其应用6.2.3向量的数乘运算学案含解析
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    高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算优秀导学案及答案

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算优秀导学案及答案,共10页。

    6.2.3 向量的数乘运算

    学 习 任 务

    核 心 素 养

    1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.(重点)

    2理解并掌握向量数乘的运算律会进行向量的数乘运算.(重点)

    3理解并掌握两向量共线的性质和判断方法并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.(难点)

    4理解实数相乘与向量数乘的区别.(易混点)

    1.通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知再过渡到数乘运算及数乘运算律养成数学抽象和数学运算的核心素养.

    2通过判断向量共线的学习培养逻辑推理和数据分析的核心素养.

    一根细绳东西方向摆放,一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动,如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a,那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示?是3a吗?蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示?是-3a吗?你能用图形表示吗?

    问题:类比实数的运算aaa3a你能猜想实例中aaa的结果吗?

    知识点1 向量的数乘运算

    (1)定义:规定实数λ与向量a的积是一个向量这种运算叫做向量的数乘记作:λa它的长度与方向规定如下:

    |λa||λ||a|

    λ0λa的方向与a的方向相同

    λ0λa的方向与a的方向相反

    (2)运算律:设λμ为任意实数则有:

    λ(μ a)(λμ)a

    (λμ)aλaμa

    λ(ab)λaλb

    特别地(λ)a(λa)λ(a)

    λ(ab)λaλb

    (3)线性运算:向量的加数乘运算统称为向量的线性运算向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量ab以及任意实数λμ1μ2恒有λ(μ1a±μ2b)λμ1a±λμ2b

    1(多选题)已知ab为两个非零向量,下列说法中正确的是(  )

    A2aa的方向相同,且2a的模是a的模的2

    B2a5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的

    C2a2a是一对相反向量

    Dab与-(ba)是一对相反向量

    ABC [先从实数的正负判断两向量方向的关系,再找两向量模的关系,从而得出结论.

    A正确,202aa的方向相同,且|2a|2|a|

    B正确,505aa的方向相同,且|5a|5|a|

    又-202aa的方向相反,且|2a|2|a|

    5a与-2a的方向相反,且-2a的模是5a的模的

    C正确,按照相反向量的定义可以判断.

    D不正确,(ba)ba是一对相反向量,而abba是一对相反向量,

    ab与-(ba)为相等向量.]

    2.若|a|1|b|2,且ab方向相同,则下列关系式正确的是(  )

    Ab2a         Bb=-2a

    Ca2b   Da=-2b

    A [因为ab方向相同,故b2a]

    3.化简:2(3a4b)8a________

    2a8b [原式=6a8b8a=-2a8b]

    知识点2 向量共线定理

    向量a(a0)b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ使bλa

    定理中把a0去掉可以吗?

    [提示] 定理中a0不能去掉.若ab0,则实数λ可以是任意实数;若a0b0,则不存在实数λ,使得bλa

    4判断下列各小题中的向量ab是否共线(其中e1e2是两个不共线向量)

    (1)a5e1b=-10e1

    (2)ae1e2b3e12e2

    (3)ae1e2b3e13e2

    [] (1)b=-2aab共线.

    (2)abab共线.

    (3)aλb,则e1e2λ(3e13e2)

    (13λ)e1=-(13λ)e2

    e1e2是两个不共线向量,

    这样的λ不存在,因此ab不共线.

    类型1 向量的线性运算

    【例1】 (对接教材P145)化简下列各式:

    3(6ab)9

    2

    2(5a4bc)3(a3bc)7a

    [] 原式=18a3b9a3b9a

    原式=ababab0

    原式=10a8b2c3a9b3c7abc

    向量数乘运算的方法

    (1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的同类项”“公因式指向量,实数看作是向量的系数.

    (2)向量也可以通过列方程来解——把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解.在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.

    1(1)化简

    (2)已知向量为ab未知向量为xy向量abxy满足关系式3x2ya4x3yb求向量xy

    [] (1)原式=

    ab

    (2)×3×2得,x3a2b,代入3×(3a2b)2ya,所以y4a3b

    所以x3a2by4a3b

    类型2 向量共线定理

    【例2】 (1)已知e1e2是两个不共线的向量2e18e2e13e22e1e2求证:ABD三点共线;

    (2)已知ABP三点共线O为直线外任意一点xyxy的值.

    1如何证明向量ab共线?

    [提示] 要证明向量ab共线,只需证明存在实数λ,使得bλa(a0)即可,一般地,把ab用相同的两个向量mn表示出来,观察ab具有倍数关系即可.

    2如何证明ABC三点在同一直线上?

    [提示] 要证三点ABC共线,只需证明共线即可.

    [] (1)证明:e13e22e1e2

    e14e2

    2e18e22(e14e2)

    2

    ABBD有公共点B

    ABD三点共线.

    (2)由于ABP三点共线,所以向量在同一直线上,由向量共线定理可知,必定存在实数λ,使λ

    λ()

    所以(1λ)λ

    x1λyλ,即xy1

    1本例(1)中把条件改为e12e2=-5e16e27e12e2ABCD中哪三点共线?

    [] e12e2=-5e16e27e12e22(e12e2)2

    共线且有公共点BABD三点共线.

    2本例(1)中条件2e18e2改为2e1ke2ABD三点共线如何求k的值

    [] 因为ABD三点共线,则共线.设λ(λR)

    2e1e2(e13e2)e14e2

    2e1ke2λe14λe2e1e2不共线可得

    λ2k=-8

    3试利用本例(2)中的结论判断下列三点PAB是否共线.

    =-23

    [] 1PAB三点共线;

    231PAB三点共线;

    1

    PAB三点不共线.

    1.证明或判断三点共线的方法

    (1)一般来说,要判定ABC三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得λ(λ)即可.

    (2)利用结论:若ABC三点共线,O为直线外一点存在实数xy,使xyxy1

    2利用向量共线求参数的方法

    判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得aλb(b0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,解方程从而求得λ的值.

    2已知ef为两个不共线的向量且四边形ABCD满足e2f=-4ef=-5e3f

    (1)ef表示;

    (2)证明:四边形ABCD为梯形.

    [] (1)(e2f)(4ef)(5e3f)(145)e(213)f=-8e2f

    (2)证明:因为=-8e2f2(4ef)2,所以同向,且的模为的模的2倍,所以在四边形ABCD中,ADBC,且ADBC,所以四边形ABCD是梯形.

    类型3 用已知向量表示未知向量

    【例3】 (1)如图ABCDEBC的中点ab(  )

    Aab      Bab

    Cab   Dab

    (2)如图所示DE分别是ABC的边ABAC的中点MN分别是DEBC的中点已知ab试用ab分别表示

    (1)D [ab]

    (2)[] 由三角形中位线定理,知DEBC,故,即a

    =-aba=-ab

    =-abaab

    1本例(1)ACBD相交于点OF是线段OD的中点AF的延长线交DC于点G试用ab表示

    [] 因为DGAB

    所以DFG∽△BFA

    又因为DFOD×BDBD,所以

    所以ab

    2本例(1)ab改为若点F为边AB的中点abab表示”.

    [] 由题意

     

    解得

    所以ab

    用已知向量表示其他向量的方法有哪些?如何求解此类问题?

    [提示] 用已知向量表示其他向量有直接法和方程法

    (1)直接法.

    (2)方程法.

    当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.

    提醒用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系.

    3.如图所示在四边形ABCDMN分别是DCAB的中点已知abc试用abc表示

    [] =-=-abc

    =-=-cbaabc

    1等于(  )

    A2ab         B2ba

    Cba   Dab

    B [原式=(2a8b)(4a2b)abab=-a2b]

    2C是线段AB靠近点B的三等分点下列正确的是(  )

    A3         B2

    C   D2

    D [由题意可知:=-3=-22.故只有D正确.]

    3(多选题)下列非零向量ab一定共线的是(  )

    Aa2eb=-2e

    Bae1e2b=-2e12e2

    Ca4e1e2be1e2

    Dae1e2b2e12e2

    ABC [对于Ab=-aab对于Bb=-2aab

    对于Ca4b,有ab;对于Dab不共线.]

    4ab是两个不共线的向量.若向量ka2b8akb的方向相反k________

    4 [因为向量ka2b8akb的方向相反,所以ka2bλ(8akb)k=-4(因为方向相反,所以λ0k0)]

    5如图所示已知表示________

     [()=-]

    回顾本节知识,自我完成以下问题:

    (1)向量数乘的定义是什么?其几何意义又是什么?

    (2)向量数乘的运算律有哪些?

    (3)共线向量定理的内容是什么?如何利用共线向量定理解决三点共线问题?

     

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