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人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算第1课时测试题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算第1课时测试题，共14页。
一、单选题
1．（2022秋·山西太原·高一统考期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由平面向量数量积的定义对结论逐一判断
【详解】由数量积的定义知，
对于①，若，则或，不一定成立，①错误
对于②，成立，②正确
对于③，与共线，与共线，两向量不一定相等，③错误
对于④，，④正确
故选：B
2．（2022秋·江苏淮安·高一校考阶段练习）在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（ ）
A．与的夹角是锐角B．与的夹角是锐角
C．与的夹角是锐角D．与的夹角是钝角
【答案】C
【分析】作出图形，结合向量夹角的定义可得出合适的选项.
【详解】如下图所示：
对于A选项，与的夹角为，为钝角，A错；
对于B选项，与的夹角为，为钝角，B错；
对于CD选项，与的夹角等于，为锐角，C对D错；
故选：C.
3．（2022·高一课时练习）在△ABC中，∠C=90°，，则与的夹角是 ( )
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【详解】如图，
作向量，则是 与 的夹角，
在△ABC中，因为， ，
所以，
所以．选C．
4．（2022秋·贵州贵阳·高一统考期末）若，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据单位向量的概念，以及向量的模与数量积的计算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，两个单位向量的方向不一定相同，所以A不正确；
对于B中，由，又由，所以，所以B正确；
对于C中，两个单位向量的方向不一定共线，所以C不正确；
对于D中，由，所以 D不正确.
故选：B.
5．（2022秋·河北唐山·高一统考期末）已知等边三角形ABC的边长为2，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】由向量数量积的定义求解即可.
【详解】因为向量的夹角为，
所以，
故选：B.
【点睛】本题关键是注意两向量的夹角，在判断向量夹角时是起点重合，判断夹角.
6．（2022秋·河南许昌·高一统考期末）已知向量，，且，，与的夹角为，则（ ）
A．36B．C．54D．
【答案】D
【分析】根据数量积的定义计算．
【详解】．
故选：D．
7．（2022秋·江苏镇江·高一统考期末）正的边长为1，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据数量积公式，展开求值，即可得答案.
【详解】由题意得.
故选：D
8．（2022秋·四川眉山·高一统考期末）向量，满足，，，则向量，的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平方的方法求得向量，的夹角.
【详解】由两边平方得，
，.
故选：A
9．（2022秋·四川成都·高一统考期末）若，，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量夹角公式直接计算.
【详解】由，，，
得，
所以，
故选：C.
10．（2022秋·四川内江·高一四川省资中县第二中学校考阶段练习）如果向量满足，且，则和的夹角大小为（ ）
A．30°B．45°C．75°D．135°
【答案】D
【分析】利用向量垂直的运算求得，结合向量夹角公式求得和的夹角大小.
【详解】设和的夹角为，
由得，因为所以，
所以，
由于，所以.
故选：D.
11．（2022秋·江苏连云港·高一统考期末）已知，，设，的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据投影向量的求法求得正确答案.
【详解】在上的投影向量是：
.
故选：A
12．（2022·高一课时练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12B．8C．-8D．2
【答案】A
【分析】由投影向量和数量积的定义即可得出结论.
【详解】在方向上投影向量为，
，.
故选：A
二、多选题
13．（2022秋·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）下列说法错误的是（ ）
A．零向量没有方向
B．共线向量是同一条直线上的向量
C．若向量与向量共线，则有且只有一个实数，使得
D．
【答案】ABC
【分析】根据零向量和共线向量的定义即可判断A,B，由共线定理可判断C，根据向量数量积的性质即可判断D.
【详解】对A,零向量的方向规定为任意方向，故错误，
对B,共线向量是能平移到一条直线上的向量，不是一定要在一条直线上的向量，故错误，
对C,根据共线定理可知，，才有唯一实数，使得，若，则实数不唯一，故错误，
对D，，故正确，
故选：ABC
14．（2022秋·贵州遵义·高一遵义四中校考期中）在边长为2的正三角形中，则（ ）
A．B．
C．在上的投影的数量为-1D．
【答案】AB
【分析】A由正三角形即可判断正误；B应用向量数量积的运算律求模；C根据向量数量积的几何意义求投影数量；D由向量数量积的定义求值即可.
【详解】A：由△为正三角形，则，正确；
B：，则，正确；
C：在上的投影的数量为，错误；
D：，错误.
故选：AB
三、填空题
15．（2022秋·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考阶段练习）已知，，，则与所成的夹角大小是______.
【答案】####120°
【分析】根据向量夹角公式，由题中条件，即可直接求解.
【详解】因为，，，记与所成的夹角为，
所以，
因此.
故答案为：.
16．（2022秋·北京昌平·高一统考期末）已知向量，满足，，，则_______．
【答案】
【分析】利用平面向量垂直得向量数量积为0，结合向量数量积的定义即可求解.
【详解】解：因为，所以，
又，，所以，解得.
故答案为：.
17．（2022秋·广西百色·高一统考期末）已知，为单位向量，它们的夹角为，则向量在上的投影向量是___________.
【答案】32e→##3e→2
【分析】两个向量成锐角，在上的投影向量和同向共线，求投影向量的模长即可.
【详解】和向量成锐角，于是在上的投影向量和同向共线，故投影向量为.
故答案为：.
18．（2022·高一课时练习）已知，为单位向量，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为______；
【答案】
【分析】根据投影向量的定义及向量数量积的定义即得.
【详解】因为，
所以向量在上的投影向量为.
故答案为：.
19．（2022·全国·高一假期作业）已知等边的边长为3，则________
【答案】
【分析】根据平面数量积概念求解即可.
【详解】.
故答案为：
20．（2022秋·湖南株洲·高一校联考期中）已知 ， 且 ， 则 与 的夹角 的余弦值 ______________________________．
【答案】##-0.5
【分析】利用，得到，根据，列出方程，可求出.
【详解】，，得
，
解得
故答案为：
21．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）已知向量在向量方向上的投影为，且，则__．(结果用数值表示)
【答案】
【分析】首先根据投影公式求得，再代入数量积公式，即可求解.
【详解】因为向量在向量方向上的投影为，且，
所以，所以，
则．
故答案为：
【选做题】
一、单选题
1．（2022秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）已知向量 是单位向量， 且，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设向量 的夹角为，，再利用数量积的公式和运算化简已知等式求解.
【详解】设向量 的夹角为，，
因为为单位向量，
，
因为，
所以，
所以.
因为，所以.
故选：B
二、多选题
2．（2022·高一课时练习）设平面向量，，在方向上的投影向量为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据向量数量积的定义，逐一验证，即可求解.
【详解】设与的夹角为，
对于A, 当为锐角时，不一定相等，故A错误，
对于B. 当为锐角时，=，成立，
当为钝角时，=，成立，
当为直角时，成立，故正确；
对于C.,故C对，
对于D. ，故D错误.
故选：BC.
3．（2022春·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．已知平面上的任意两个向量，，不等式成立
B．若是平面上不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件
C．若非零向量，满足，则，夹角为
D．已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为3
【答案】BC
【分析】利用向量的定义判断A；利用共线向量的定义判断B；求出判断C；求出投影向量判断D作答.
【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，A不正确；
对于B，因是平面上不共线的四点，，有，且，则四边形为平行四边形，
反之，四边形为平行四边形，即有，，与方向相同，则有，
所以当是不共线的四点时，“”是“四边形为平行四边形”的充要条件，B正确；
对于C，由两边平方得，即，而，为非零向量，有，，夹角为，C正确；
对于D，依题意，向量在向量上的投影向量为，D不正确.
故选：BC
三、填空题
4．（2022秋·吉林·高一东北师大附中校考阶段练习）已知是外接圆的圆心，若，，则_________.
【答案】
【分析】根据几何关系可知，由向量数量积定义可得，同理可得；由，根据向量数量积的运算律可求得结果.
【详解】，，
；
同理可得：，
.
故答案为：.
四、解答题
5．（2022秋·四川成都·高一成都七中校考期末）在平面直角坐标系中，平面向量，，的夹角为．
(1)求；
(2)若，求在方向上的投影的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用转化法，即可求模.
(2)根据投影公式即可求解.
（1）
．
所以．
（2）
．
6．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）已知，，与的夹角是．
(1)计算；
(2)当为何值时，？
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量的数量积求出两个向量的数量积；利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的模．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程求出的值．
【详解】（1）解：由已知，
所以．
（2）解：若，则，
，则，
．
7．（2022秋·吉林白城·高一校考期末）已知非零向量与满足，且
(1)若，求向量的夹角.
(2)在（1）的条件下，求的值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据和，得到，再利用向量的夹角公式求解；
（2）根据（1）的结果，利用向量的模公式求解.
（1）
解：因为，
所以，又，，
所以，，
因为，
所以；
（2）
，
8．（2022秋·四川绵阳·高一统考期末）已知平面向量满足，且．
(1)求与的夹角；
(2)求向量在向量上的投影．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两边平方，求出，再根据数量积得定义即可得解；
（2）根据数量积的运算律求出，再根据向量在向量上的投影为即可得解.
（1）
解：∵，∴，即，
又，
∴，
∴，
又向量夹角范围是，
∴与的夹角为；
（2）
解：∵，
∴向量在向量上的投影为．
．
9．（2022秋·重庆铜梁·高一统考期末）已知向量满足：，，．
(1)若，求在方向上的投影向量；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据投影向量定义可得在方向上的投影向量为，结合条件化简即可；
(2)根据向量的模的性质由条件求出的表达式，再通过换元法求其最小值.
（1）
由数量积的定义可知：，所以在方向上的投影向量为：
；
（2）
又，，
所以
令
所以
所以当时，取到最小值为
一、单选题
1．（2022秋·山西太原·高一统考期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由平面向量数量积的定义对结论逐一判断
【详解】由数量积的定义知，
对于①，若，则或，不一定成立，①错误
对于②，成立，②正确
对于③，与共线，与共线，两向量不一定相等，③错误
对于④，，④正确
故选：B
2．（2022秋·江苏淮安·高一校考阶段练习）在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（ ）
A．与的夹角是锐角B．与的夹角是锐角
C．与的夹角是锐角D．与的夹角是钝角
【答案】C
【分析】作出图形，结合向量夹角的定义可得出合适的选项.
【详解】如下图所示：
对于A选项，与的夹角为，为钝角，A错；
对于B选项，与的夹角为，为钝角，B错；
对于CD选项，与的夹角等于，为锐角，C对D错；
故选：C.
3．（2022·高一课时练习）在△ABC中，∠C=90°，，则与的夹角是 ( )
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【详解】如图，
作向量，则是 与 的夹角，
在△ABC中，因为， ，
所以，
所以．选C．
4．（2022秋·贵州贵阳·高一统考期末）若，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据单位向量的概念，以及向量的模与数量积的计算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，两个单位向量的方向不一定相同，所以A不正确；
对于B中，由，又由，所以，所以B正确；
对于C中，两个单位向量的方向不一定共线，所以C不正确；
对于D中，由，所以 D不正确.
故选：B.
5．（2022秋·河北唐山·高一统考期末）已知等边三角形ABC的边长为2，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】由向量数量积的定义求解即可.
【详解】因为向量的夹角为，
所以，
故选：B.
【点睛】本题关键是注意两向量的夹角，在判断向量夹角时是起点重合，判断夹角.
6．（2022秋·河南许昌·高一统考期末）已知向量，，且，，与的夹角为，则（ ）
A．36B．C．54D．
【答案】D
【分析】根据数量积的定义计算．
【详解】．
故选：D．
7．（2022秋·江苏镇江·高一统考期末）正的边长为1，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据数量积公式，展开求值，即可得答案.
【详解】由题意得.
故选：D
8．（2022秋·四川眉山·高一统考期末）向量，满足，，，则向量，的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平方的方法求得向量，的夹角.
【详解】由两边平方得，
，.
故选：A
9．（2022秋·四川成都·高一统考期末）若，，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量夹角公式直接计算.
【详解】由，，，
得，
所以，
故选：C.
10．（2022秋·四川内江·高一四川省资中县第二中学校考阶段练习）如果向量满足，且，则和的夹角大小为（ ）
A．30°B．45°C．75°D．135°
【答案】D
【分析】利用向量垂直的运算求得，结合向量夹角公式求得和的夹角大小.
【详解】设和的夹角为，
由得，因为所以，
所以，
由于，所以.
故选：D.
11．（2022秋·江苏连云港·高一统考期末）已知，，设，的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据投影向量的求法求得正确答案.
【详解】在上的投影向量是：
.
故选：A
12．（2022·高一课时练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12B．8C．-8D．2
【答案】A
【分析】由投影向量和数量积的定义即可得出结论.
【详解】在方向上投影向量为，
，.
故选：A
二、多选题
13．（2022秋·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）下列说法错误的是（ ）
A．零向量没有方向
B．共线向量是同一条直线上的向量
C．若向量与向量共线，则有且只有一个实数，使得
D．
【答案】ABC
【分析】根据零向量和共线向量的定义即可判断A,B，由共线定理可判断C，根据向量数量积的性质即可判断D.
【详解】对A,零向量的方向规定为任意方向，故错误，
对B,共线向量是能平移到一条直线上的向量，不是一定要在一条直线上的向量，故错误，
对C,根据共线定理可知，，才有唯一实数，使得，若，则实数不唯一，故错误，
对D，，故正确，
故选：ABC
14．（2022秋·贵州遵义·高一遵义四中校考期中）在边长为2的正三角形中，则（ ）
A．B．
C．在上的投影的数量为-1D．
【答案】AB
【分析】A由正三角形即可判断正误；B应用向量数量积的运算律求模；C根据向量数量积的几何意义求投影数量；D由向量数量积的定义求值即可.
【详解】A：由△为正三角形，则，正确；
B：，则，正确；
C：在上的投影的数量为，错误；
D：，错误.
故选：AB
三、填空题
15．（2022秋·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考阶段练习）已知，，，则与所成的夹角大小是______.
【答案】####120°
【分析】根据向量夹角公式，由题中条件，即可直接求解.
【详解】因为，，，记与所成的夹角为，
所以，
因此.
故答案为：.
16．（2022秋·北京昌平·高一统考期末）已知向量，满足，，，则_______．
【答案】
【分析】利用平面向量垂直得向量数量积为0，结合向量数量积的定义即可求解.
【详解】解：因为，所以，
又，，所以，解得.
故答案为：.
17．（2022秋·广西百色·高一统考期末）已知，为单位向量，它们的夹角为，则向量在上的投影向量是___________.
【答案】32e→##3e→2
【分析】两个向量成锐角，在上的投影向量和同向共线，求投影向量的模长即可.
【详解】和向量成锐角，于是在上的投影向量和同向共线，故投影向量为.
故答案为：.
18．（2022·高一课时练习）已知，为单位向量，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为______；
【答案】
【分析】根据投影向量的定义及向量数量积的定义即得.
【详解】因为，
所以向量在上的投影向量为.
故答案为：.
19．（2022·全国·高一假期作业）已知等边的边长为3，则________
【答案】
【分析】根据平面数量积概念求解即可.
【详解】.
故答案为：
20．（2022秋·湖南株洲·高一校联考期中）已知 ， 且 ， 则 与 的夹角 的余弦值 ______________________________．
【答案】##-0.5
【分析】利用，得到，根据，列出方程，可求出.
【详解】，，得
，
解得
故答案为：
21．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）已知向量在向量方向上的投影为，且，则__．(结果用数值表示)
【答案】
【分析】首先根据投影公式求得，再代入数量积公式，即可求解.
【详解】因为向量在向量方向上的投影为，且，
所以，所以，
则．
故答案为：
【选做题】
一、单选题
1．（2022秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）已知向量 是单位向量， 且，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设向量 的夹角为，，再利用数量积的公式和运算化简已知等式求解.
【详解】设向量 的夹角为，，
因为为单位向量，
，
因为，
所以，
所以.
因为，所以.
故选：B
二、多选题
2．（2022·高一课时练习）设平面向量，，在方向上的投影向量为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据向量数量积的定义，逐一验证，即可求解.
【详解】设与的夹角为，
对于A, 当为锐角时，不一定相等，故A错误，
对于B. 当为锐角时，=，成立，
当为钝角时，=，成立，
当为直角时，成立，故正确；
对于C.,故C对，
对于D. ，故D错误.
故选：BC.
3．（2022春·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．已知平面上的任意两个向量，，不等式成立
B．若是平面上不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件
C．若非零向量，满足，则，夹角为
D．已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为3
【答案】BC
【分析】利用向量的定义判断A；利用共线向量的定义判断B；求出判断C；求出投影向量判断D作答.
【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，A不正确；
对于B，因是平面上不共线的四点，，有，且，则四边形为平行四边形，
反之，四边形为平行四边形，即有，，与方向相同，则有，
所以当是不共线的四点时，“”是“四边形为平行四边形”的充要条件，B正确；
对于C，由两边平方得，即，而，为非零向量，有，，夹角为，C正确；
对于D，依题意，向量在向量上的投影向量为，D不正确.
故选：BC
三、填空题
4．（2022秋·吉林·高一东北师大附中校考阶段练习）已知是外接圆的圆心，若，，则_________.
【答案】
【分析】根据几何关系可知，由向量数量积定义可得，同理可得；由，根据向量数量积的运算律可求得结果.
【详解】，，
；
同理可得：，
.
故答案为：.
四、解答题
5．（2022秋·四川成都·高一成都七中校考期末）在平面直角坐标系中，平面向量，，的夹角为．
(1)求；
(2)若，求在方向上的投影的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用转化法，即可求模.
(2)根据投影公式即可求解.
（1）
．
所以．
（2）
．
6．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）已知，，与的夹角是．
(1)计算；
(2)当为何值时，？
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量的数量积求出两个向量的数量积；利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的模．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程求出的值．
【详解】（1）解：由已知，
所以．
（2）解：若，则，
，则，
．
7．（2022秋·吉林白城·高一校考期末）已知非零向量与满足，且
(1)若，求向量的夹角.
(2)在（1）的条件下，求的值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据和，得到，再利用向量的夹角公式求解；
（2）根据（1）的结果，利用向量的模公式求解.
（1）
解：因为，
所以，又，，
所以，，
因为，
所以；
（2）
，
8．（2022秋·四川绵阳·高一统考期末）已知平面向量满足，且．
(1)求与的夹角；
(2)求向量在向量上的投影．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两边平方，求出，再根据数量积得定义即可得解；
（2）根据数量积的运算律求出，再根据向量在向量上的投影为即可得解.
（1）
解：∵，∴，即，
又，
∴，
∴，
又向量夹角范围是，
∴与的夹角为；
（2）
解：∵，
∴向量在向量上的投影为．
．
9．（2022秋·重庆铜梁·高一统考期末）已知向量满足：，，．
(1)若，求在方向上的投影向量；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据投影向量定义可得在方向上的投影向量为，结合条件化简即可；
(2)根据向量的模的性质由条件求出的表达式，再通过换元法求其最小值.
（1）
由数量积的定义可知：，所以在方向上的投影向量为：
；
（2）
又，，
所以
令
所以
所以当时，取到最小值为
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