2020-2021学年第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算优质学案设计

6.2.2　向量的减法运算

知识点　向量的减法运算

1．相反向量

(1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a．

(2)性质：①－(－a)＝a．

②对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．

③若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．

2．向量的减法

(1)定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法．

(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示．

在什么条件下，|a－b|＝|a|＋|b|?

[提示]　当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)0－a＝－a． (　　)

(2)－(－a)＝a． (　　)

(3)a＋(－a)＝0． (　　)

(4)a＋0＝a． (　　)

(5)a－b＝a＋(－b)． (　　)

(6)a＋(－a)＝0． (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√　(6)×

2．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是(　　)

A．m＝n　　　　　　　　 B．m＝－n

C．|m|＝|n|   D．方向相反

A　[由条件可知，当m≠0且n≠0时，B，C，D项都成立，故选A．]

3．化简－＋＋的结果等于(　　)

A．　　　B．　　　 C．　　　D．

B　[原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝．]

4．如图，在▱ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，，则＝________，＝________．

a＋b　b－a　[由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知＝a＋b，＝b－a．]

类型1　向量减法的几何意义

【例1】　(1)如图所示，四边形ABCD中，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　)

A．a－b＋c

B．b－(a＋c)

C．a＋b＋c

D．b－a＋c

(2)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c．

(1)A　[＝－＝(＋)－＝a＋c－b．]

(2)[解]　法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c．

法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝－c，连接OC，则＝a＋b－c．

图①　　　　　　　图②

如何作两个已知向量的差向量？

[提示]　求作两个向量的差向量的两种思路

(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．

(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．

1．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c．

[解]　法一：先作a－b，再作a－b－c即可．

如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b．连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量．则向量即为所求作的向量a－b－c．

图①　　　　　　　图②

法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②．

(1)作＝－b和＝－c；

(2)作＝a，则＝a－b－c．

类型2　向量减法的运算及简单应用

【例2】　(1)如图所示：

①用a，b表示；

②用b，c表示．

(2)化简下列各向量的表达式：

①＋－；

②(－)－(－)；

③(＋＋)－(－－)．

[解]　(1)由题意知＝a，＝b，＝c．

①＝－＝－－＝－a－b．

②＝－＝－(＋)＝－b－c．

(2)①＋－＝－＝．

②法一：(加法法则)

原式＝－－＋

＝(＋)－(＋)

＝－＝0．

法二：减法法则(利用相反向量)

原式＝－－＋

＝(－)＋(－)

＝＋＝0．

法三：减法法则(创造同一起点)

原式＝－－＋

＝(－)－(－)－(－)＋(－)

＝－－＋－＋＋－＝0．

③(＋＋)－(－－)

＝(＋)－(－)＝－＝0．

1．向量加减法化简的两种形式

(1)首尾相连且为和．

(2)起点相同且为差．

解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．

2．与图形相关的向量运算化简

首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算．

2．(多选题)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是(　　)

A．＋＝0

B．＋＝

C．＋＝

D．＋＝0

ABD　[由||＝||，且与的方向相反，知与是一对相反向量，因此有＋＝0，故选项A正确；由向量加法的平行四边形法则知＋＝，故选项B正确；由－＝，得＝＋，故选项C错误；与是一对相反向量，故＋＝0，故选项D正确．]

3．化简下列向量的表达式：

(1)－＋－；

(2)(－)＋(－)．

[解]　(1)－＋－＝＋－＝－＝．

(2)(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝．

类型3　向量减法几何意义的应用

【例3】　(1)在四边形ABCD中，＝，若|－|＝|－|，则四边形ABCD是(　　)

A．菱形　　　　　　　　 B．矩形

C．正方形   D．不确定

(2)已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．

1．已知a，b是不共线的向量，如何在同一个平行四边形中作出a－b和a＋b?

[提示]　如图所示，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则a＋b＝，a－b＝．

2．已知向量a，b，那么|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？

[提示]　它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|．

(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立．

(2)当a，b不共线时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图①所示，根据三角形的性质，有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|．同理可证||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|．

(3)当a，b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法同上，如图②所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|．②当向量a，b反向时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图③所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|．

综上所述，得不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|．

(1)B　[∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形，

又∵|－|＝|－|，∴||＝||．

∴四边形ABCD为矩形．]

(2)[解]　∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6，

∴3≤|－|≤15．

当与同向时，|－|＝3；

当与反向时，|－|＝15．

∴|－|的取值范围为[3,15]．

用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键

(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可；

(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．

1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则－等于(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

C　[在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－＝．]

2．(多选题)在菱形ABCD中，下列等式中成立的是(　　)

A．－＝   B．－＝

C．－＝   D．－＝

ABD　[如图，根据向量减法的三角形法则知A、B、D均正确，C中，－＝－－(＋)＝－2≠，故选ABD．]

3．化简－＋－＝________．

0　[－＋－

＝(＋)＋(－)

＝＋＝0．]

4．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是________．

[3,13]　[因为＝－，故

当，同向共线时，||＝||－||＝3；

当，反向共线时，||＝||＋||＝13；

当，不共线时，|||－|||＜|－|＜||＋||，即3＜||＜13．

综上可得3≤||≤13．]

5．若a≠0，b≠0且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角为________．

30°　[如图，设＝a，＝b，

则a－b＝，

因为|a|＝|b|＝|a－b|，

所以||＝||＝||，

所以△OAB是等边三角形，

所以∠BOA＝60°．

因为＝a＋b，且在菱形OACB中，

对角线OC平分∠BOA．

所以a与a＋b所在直线的夹角为30°．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)什么是相反向量？相反向量与相同向量的共同点和不同点分别是什么？

(2)向量的减法与加法之间有什么联系？

(3)向量减法的几何意义是什么？如何作两个已知向量的差向量？