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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教案，共6页。
教学基本信息
课题
6.3.1 平面向量基本定理
学科
数学
学段： 高一下
年级
高一
教材
书名：高中数学必修2 （A版）出版社：人民教育出版社
出版日期：2019 年6 月
教学目标及教学重点、难点
理解平面向量基本定理推导及其意义
会运用平面向量基本定理解决简单的平面几何问题
类比的研究问题的方法，数形结合的研究方法，转化化归的研究方法.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
复习引入：
问题1：设向量是同一平面内两个不共线的向量， 你能做向量a ，使得向量a=2e1+3e2吗？
问题2：当向量设向量是同一平面内两个共线的向量， 你能做向量a ，使得向量a=2e1+3e2吗？
问题3：我们在上一节学习了向量的运算，由向量共线的充要条件得出：位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的非零向量表示，类比这个结论，平面内任意向量是否可以由同一平面内的两个向量表示？
通过上节课的学习，同学们知道了向量的线性运算的结果是一个向量，那么，反之，平面内任一向量是否可以由同一平面内两个不共线的向量表示呢？
在物理课上，我们知道，已知两个力可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力，这种分解通常不是唯一的.事实上，这种力的分解，就反映出平面向量的关系.这节课我们从力的分解出发，研究刻画平面向量的关系.
追问1：我们通过做平行四边形，将力分解为两组大小方向不同的分力？
追问2：受力的分解的启发，我们能不能做平行四边形，将向量分解为两个向量，使得向量是这两个向量的和呢？
从学生熟悉的物理背景引入向量的分解，激发学生学习的主动性.
新课
（探究分解的存在性，体会向量a的任意性）
如图，设是同一平面内的两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量.在平面内任取一点，作， ，.
将按的方向分解，你有什么发现？
因为不共线，若与都不共线，过点分别作与分别平行的直线，结合向量的加法与数乘运算可知，存在实数，使+
追问3：改变向量的方向，因为不共线，若与都不共线，过点分别作与分别平行的直线，结合向量的加法与数乘运算可知，存在实数，使+
追问4-7继续改变向量a的方向？（再改变两次）
如果向量是这一平面内与中的某一个向量共线的非零向量，你能用表示吗？是零向量呢？
若与共线，存在，且使
+；
若与共线，存在，且使
+；
特别地，若，存在，使
+.
小结以上七种形式：
e1
a
e2
O
a1
a2
a3
a4
结论1（存在性），当不共线时，平面内任一向量都能用向量+表示.
问题4（探究分解的唯一性）
给定向量都能用向量+表示，这种表示形式是唯一的吗？
假设这种表示不唯一，即还可以表示成向量+的形式，那么
++，由向量不共线，设法证明，
证出平面向量基本定理：
如果是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数 λ1，λ2 ，使向量a=λ1e1+λ2e2.
基底向量的概念：
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么我们把这组不共线的向量{} 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
问题5对”基底”两字的认识？
对比共线向量基本定理与平面向量基本定理.
学生观察，思考，探究，尝试
让学生探究思考交流，探究平面上是不是每一个向量都可以用形如
+的向量来表示，（证出存在性）
这种表示形式是唯一的吗？
（探究唯一性）
例题
例1
如图，向量不共线，且 向量（t∈R），用 向量表示向量.
解法一：因为向量（t∈R），
解法二：
因为向量（t∈R），
.
小结：
体会三角形法则在进行向量分解的过程中的作用；感悟如何将平面内任一向量分解为两个基底向量来表示.
追问：若 不共线，且使得向量且当时，点P是否在直线AB上？并注明.
结论：
如果OP=λ1OA+λ2OB ，则点A,B,P三点共线的充要条件是λ1+λ2=1，
C
例2：如图，CD是△ABC的中线，，用向量方法证明：△ABC是直角三角形
解：设，
则，，于是，，
因为，所以.
因为，
所以，
因此，
即△ABC是直角三角形.
证法2：如图，设
，
因为向量
所以
因为，所以，
即
所以
所以.
即.
所以，
因此，
即△ABC是直角三角形.
例1体会如何将平面内任意向量用一组基底向量表示.
例2体会根据平面向量基本定理将平面内任一向量用基底向量表示出来在几何证明中的作用，去感受由任意到确定的过程
总结
小结
平面向量基本定理的形成过程与研究方法：
类比的研究方法
共线向量基本定理与平面向量基本定理的类比是一维与二维的类比；
物理中力的分解与向量的分解的类比.
平面向量基本定理的叙述与证明
平面向量基本定理的作用和意义
平面向量基本定理是将平面向量任意化归为确定的理论依据，是由几何到代数的桥梁．在平面向量一章起到承上启下的作用，为向量坐标运算奠定基础.
拓展探究问题：
思考空间向量基本定理；
思考平面向量基本定理的三角形法则证明方法.
.
作业
作业：
作业1：在△ABC中，，点E是CD的中点，设a，b，用向量a，b表示，.
.
作业2：AD,BE,CF是三角形ABC的三条中线，=a，=b。用向量a,b表示向量.
答案：
教学基本信息
课题
6.3.1 平面向量基本定理
学科
数学
学段： 高一下
年级
高一
教材
书名：高中数学必修2 （A版）出版社：人民教育出版社
出版日期：2019 年6 月
教学目标及教学重点、难点
理解平面向量基本定理推导及其意义
会运用平面向量基本定理解决简单的平面几何问题
类比的研究问题的方法，数形结合的研究方法，转化化归的研究方法.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
复习引入：
问题1：设向量是同一平面内两个不共线的向量， 你能做向量a ，使得向量a=2e1+3e2吗？
问题2：当向量设向量是同一平面内两个共线的向量， 你能做向量a ，使得向量a=2e1+3e2吗？
问题3：我们在上一节学习了向量的运算，由向量共线的充要条件得出：位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的非零向量表示，类比这个结论，平面内任意向量是否可以由同一平面内的两个向量表示？
通过上节课的学习，同学们知道了向量的线性运算的结果是一个向量，那么，反之，平面内任一向量是否可以由同一平面内两个不共线的向量表示呢？
在物理课上，我们知道，已知两个力可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力，这种分解通常不是唯一的.事实上，这种力的分解，就反映出平面向量的关系.这节课我们从力的分解出发，研究刻画平面向量的关系.
追问1：我们通过做平行四边形，将力分解为两组大小方向不同的分力？
追问2：受力的分解的启发，我们能不能做平行四边形，将向量分解为两个向量，使得向量是这两个向量的和呢？
从学生熟悉的物理背景引入向量的分解，激发学生学习的主动性.
新课
（探究分解的存在性，体会向量a的任意性）
如图，设是同一平面内的两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量.在平面内任取一点，作， ，.
将按的方向分解，你有什么发现？
因为不共线，若与都不共线，过点分别作与分别平行的直线，结合向量的加法与数乘运算可知，存在实数，使+
追问3：改变向量的方向，因为不共线，若与都不共线，过点分别作与分别平行的直线，结合向量的加法与数乘运算可知，存在实数，使+
追问4-7继续改变向量a的方向？（再改变两次）
如果向量是这一平面内与中的某一个向量共线的非零向量，你能用表示吗？是零向量呢？
若与共线，存在，且使
+；
若与共线，存在，且使
+；
特别地，若，存在，使
+.
小结以上七种形式：
e1
a
e2
O
a1
a2
a3
a4
结论1（存在性），当不共线时，平面内任一向量都能用向量+表示.
问题4（探究分解的唯一性）
给定向量都能用向量+表示，这种表示形式是唯一的吗？
假设这种表示不唯一，即还可以表示成向量+的形式，那么
++，由向量不共线，设法证明，
证出平面向量基本定理：
如果是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数 λ1，λ2 ，使向量a=λ1e1+λ2e2.
基底向量的概念：
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么我们把这组不共线的向量{} 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
问题5对”基底”两字的认识？
对比共线向量基本定理与平面向量基本定理.
学生观察，思考，探究，尝试
让学生探究思考交流，探究平面上是不是每一个向量都可以用形如
+的向量来表示，（证出存在性）
这种表示形式是唯一的吗？
（探究唯一性）
例题
例1
如图，向量不共线，且 向量（t∈R），用 向量表示向量.
解法一：因为向量（t∈R），
解法二：
因为向量（t∈R），
.
小结：
体会三角形法则在进行向量分解的过程中的作用；感悟如何将平面内任一向量分解为两个基底向量来表示.
追问：若 不共线，且使得向量且当时，点P是否在直线AB上？并注明.
结论：
如果OP=λ1OA+λ2OB ，则点A,B,P三点共线的充要条件是λ1+λ2=1，
C
例2：如图，CD是△ABC的中线，，用向量方法证明：△ABC是直角三角形
解：设，
则，，于是，，
因为，所以.
因为，
所以，
因此，
即△ABC是直角三角形.
证法2：如图，设
，
因为向量
所以
因为，所以，
即
所以
所以.
即.
所以，
因此，
即△ABC是直角三角形.
例1体会如何将平面内任意向量用一组基底向量表示.
例2体会根据平面向量基本定理将平面内任一向量用基底向量表示出来在几何证明中的作用，去感受由任意到确定的过程
总结
小结
平面向量基本定理的形成过程与研究方法：
类比的研究方法
共线向量基本定理与平面向量基本定理的类比是一维与二维的类比；
物理中力的分解与向量的分解的类比.
平面向量基本定理的叙述与证明
平面向量基本定理的作用和意义
平面向量基本定理是将平面向量任意化归为确定的理论依据，是由几何到代数的桥梁．在平面向量一章起到承上启下的作用，为向量坐标运算奠定基础.
拓展探究问题：
思考空间向量基本定理；
思考平面向量基本定理的三角形法则证明方法.
.
作业
作业：
作业1：在△ABC中，，点E是CD的中点，设a，b，用向量a，b表示，.
.
作业2：AD,BE,CF是三角形ABC的三条中线，=a，=b。用向量a,b表示向量.
答案：
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