高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教学设计，共6页。

课题
6.3.1平面向量基本定理
单元
第六单元
学科
数学
年级
高一
教材分析
本节内容是平面向量基本定理，由平面向量共线定理导入，学习平面向量基本定理，为平面向量的坐标表示做铺垫。
教学目标与核心素养
1.数学抽象：利用平面向量共线定理将平面向量基本定理具体化；
2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；
3.数学建模：掌握平面向量基本定理；
4.直观想象：利用平行四边形法则推导并掌握平面向量基本定理；
5.数学运算:能够正确运用平面向量基本定理；
6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点
平面向量基本定理
难点
平面向量基本定理
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
旧知导入：
思考1：向量的加法运算是什么运算法则呢？
三角形法则 作平移,首尾连,由起点指终点

平行四边形法则
作平移,共起点,四边形,对角线
思考2：平面中的非零共线向量该如何表示？
思考3：根据思考1和2，你有什么猜想？
平面内任一向量可以由同一平面内的两个不共线向量表示。 我们知道：已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力。
思考4：物理中我们根据什么方法进行力的分解？
平行四边形法则。
由此我们推断出：可以通过作平行四边形，用同一平面内的两个不共线的向量表示平面内任一向量。
学生思考问题，引出本节新课内容。
设置问题情境，回顾旧知，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。
讲授新课
知识探究（一）：平面向量基本定理
思考1：你能根据上述过程证明以下结论吗?
思考2：根据上述讨论你能得到什么结论?
平面向量基本定理：
思考3：
小试牛刀
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面向量的一个基底{e1，e2}中，e1，e2一定都是非零向量．(√ )
(2)在平面向量基本定理中，若a＝0，则λ1＝λ2＝0.( √ )
(3)在平面向量基本定理中，若a∥e1，则λ2＝0；若a∥e2，则λ1＝0.( √ )
(4)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的．( × )
2．做一做
(1)设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( B )
A．{e1，e2} B．{e1＋e2,3e1＋3e2}
C．{e1,5e2} D．{e1，e1＋e2}
(2)在△ABC中，D为BC边上靠近点B的三等分点，若eq \(AB,\s\up16(→))＝a，eq \(AC,\s\up16(→))＝b，则eq \(AD,\s\up16(→))＝___ (用a，b表示)．
例题讲解
例1：
思考4：
由此可得结论：
例2：
例3 如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且eq \(AN,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(NC,\s\up16(→))，BN与CM相交于点E，设eq \(AB,\s\up16(→))＝a，eq \(AC,\s\up16(→))＝b，试用基底{a，b}表示向量eq \(AE,\s\up16(→)).
[解] 易得eq \(AN,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)b，eq \(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a，
由N，E，B三点共线知存在实数m，
满足eq \(AE,\s\up16(→))＝meq \(AN,\s\up16(→))＋(1－m)eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)mb＋(1－m)a.
由C，E，M三点共线知存在实数n，
满足eq \(AE,\s\up16(→))＝neq \(AM,\s\up16(→))＋(1－n)eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)na＋(1－n)b，
所以eq \f(1,3)mb＋(1－m)a＝eq \f(1,2)na＋(1－n)b，
由于{a，b}为基底，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m＝\f(1,2)n，,\f(1,3)m＝1－n，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5)，))所以eq \(AE,\s\up16(→))＝eq \f(2,5)a＋eq \f(1,5)b.
例4 设{e1，e2}是平面内的一个基底，如果eq \(AB,\s\up16(→))＝3e1－2e2，eq \(BC,\s\up16(→))＝4e1＋e2，eq \(CD,\s\up16(→))＝8e1－9e2，求证：A，B，D三点共线．
[证明] ∵eq \(AB,\s\up16(→))＝3e1－2e2，eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CD,\s\up16(→))＝15e1－10e2＝5(3e1－2e2)＝5eq \(AB,\s\up16(→))，即eq \(AD,\s\up16(→))＝5eq \(AB,\s\up16(→))，∴eq \(AD,\s\up16(→))与eq \(AB,\s\up16(→))共线，又eq \(AD,\s\up16(→))与eq \(AB,\s\up16(→))有公共点A，∴A，B，D三点共线．
(1)三点共线问题的解法
一是利用平面向量基本定理、结合向量的线性运算表示有公共点的两向量之间的共线关系．
二是找直线外一点(任意一点也可)O，若存在唯一实数对λ，μ∈R使eq \(OP,\s\up16(→))＝λeq \(OA,\s\up16(→))＋μeq \(OB,\s\up16(→))(λ＋μ＝1)．则P，A，B三点共线．
(2)注意向量共线与平面向量基本定理放在一起思考解决是否共线问题．
提升训练
1、ABCD中，E、F分别是DC和AB的中点，试判断AE,CF是否平行？
2、
学生根据力的分解探究平面向量基本定理。
学生根据环环相扣的思考题，探究平面向量基本定理。
练一练
学生例题，巩固平面向量基本定理，并能够灵活运用.
学生和教师共同探究完成练习题。
利用力的分解探究得出平面向量基本定理,培养学生探索的精神.
通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
巩固掌握平面向量基本定理
利用例题，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。
通过这3个题，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。
课堂小结
平面向量基本定理
学生回顾本节课知识点，教师补充。
让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。
板书
§6.3.1 平面向量基本定理
一、情境导入 三、课堂小结
二、探索新知 例1、2 四、作业布置
1.定理
教学反思