高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线测试题，共40页。试卷主要包含了2.2　双曲线的简单几何性质，曲线与曲线的，下列关于双曲线等内容，欢迎下载使用。
3．2.2 双曲线的简单几何性质
【考点梳理】
考点一：双曲线的性质
考点二：等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为eq \r(2).
考点三:直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq \f(b,a)时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq \f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；
Δ0，b>0)上的点，F1､F2是焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2=90°，△F1PF2的面积是7，则a+b等于（ ）
A．3+B．9+C．10D．16
39．（2023·衡水市第十四中学高二月考）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，在双曲线上，且点为线段的中点，，双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
40．（2023·全国高二课时练习）设点F1，F2分别是双曲线C:的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±B．y=±C．y=±D．y=±
41．（2023·广州市番禺区象贤中学高二期中）已知双曲线：(，)的左､右焦点分别为，，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线，分别交双曲线左､右支于另一点､，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
42．（2023·江苏高二专题练习）已知点P为双曲线的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，若（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
43．（2023·全国高二单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为上的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．△的周长为30
D．点在椭圆上
44．（2023·全国高二课时练习）（多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则双曲线离心率的取值范围为
B．若，则双曲线离心率的取值范围为
C．若，则双曲线离心率的取值范围为
D．若，则双曲线离心率的取值范围为
45．（2023·全国高二单元测试）已知椭圆的左､右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点.若，则下列各项正确的是（ ）
A．B．C．D．
46．（2023·济宁市育才中学高二开学考试）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，．若圆与双曲线的渐近线相切，则（ ）
A．双曲线的离心率
B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上
C．为定值
D．的最小值为
三、填空题
47．（2023·全国高二课时练习）若双曲线的两条渐近线相交所成的锐角为60°，则它的离心率为________．
48．（2023·哈密市第十五中学（理））双曲线的左､右焦点分别是，，过且垂直于轴的直线与双曲线交于､两点，若为正三角形，则双曲线的离心率为___________.
49．（2023·湛江市第二十中学）双曲线的左焦点为，过作轴垂线交于点，过作与的一条渐近线平行的直线交于点，且、在轴同侧，若，则的离心率为_______．
50．（2023·全国）如图，双曲线C：的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是________．
51．（2023·安徽省岳西县店前中学高二期末（文））若双曲线的一个焦点关于其一条渐近线的对称点在双曲线上，且直线与圆相切，则双曲线的方程为______.
四、解答题
52．（2023·全国高二课时练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，且，一条渐近线的倾斜角为60°．
（1）求双曲线C的标准方程和离心率；
（2）求分别以，为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程．
53．（2023·全国高二课时练习）已知是以，为焦点的双曲线上的一点，且，．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过点作直线分别与双曲线两渐近线相交于，两点，若（为坐标原点），，求双曲线的标准方程．
54．（2023·上海市长征中学高二期中）点是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．
（1）求的值；
（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上的一点，满足，求的值．
55．（2023·江苏高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线交双曲线于，两点.
（1）若，四边形的面积为12，求双曲线的方程；
（2）若，且四边形是矩形，求双曲线的离心率的取值范围.
56．（2023·全国高二专题练习）已知双曲线的离心率为2，为双曲线的右焦点，为双曲线上的任一点，且点到双曲线的两条渐近线距离的乘积为.
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点且与坐标轴不垂直的直线与双曲线相交于点，，线段的垂直平分线与轴交于点，求的值.
57．（2023·江苏高二专题练习）已知椭圆，其短轴长为，离心率为，双曲线的渐近线为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右焦点为，动直线（不垂直于坐标轴）交椭圆于、不同两点，设直线和的斜率为、，若，试判断该动直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
【答案详解】
1．C
【详解】
曲线表示椭圆，焦距为，当时，曲线表示双曲线，焦距为，故两条曲线的焦距相等,故本题选C.
2．B
【详解】
关于双曲线：，，，，
则渐近线方程为；焦点为；实轴，顶点坐标为．
故选B．
3．A
【详解】
设，由于双曲线的离心率为，，则，
所以，双曲线的方程为，即，
将即代入双曲线的方程可得，，
由于、关于原点对称，、关于原点对称，则四边形是平行四边形，
四边形的面积，解得，.
故选：A.
4．D
【详解】
，则，，
双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，
双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，
焦距为，离心率为，
因此，两双曲线的焦距相等，
故选D.
5．C
【详解】
设C：－＝1．
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，
∴|AB|＝2＝4，
∴a＝2，∴2a＝4．
∴C的实轴长为4．
6．D
【详解】
由题意可得：，
则实轴长为：，虚轴长为，
由题意有：，解得：，
代入可得双曲线方程为.
本题选择D选项.
7．D
【详解】
∵等轴双曲线的一个焦点为，∴，且a=b，
又，
∴，即，
∴双曲线的标准方程为．
故选：D
8．B
【详解】
点在双曲线上，则有，即．
，∴，
又点在右支上，则有，
∴，
∴，，
故选：B．
9．D
【解析】
等轴双曲线的两条渐近线方程为，所以，则，，
则；故选D.
10．C
【详解】
如图，作于点于点B，因为与圆相切，
所以，
在中，，所以．
又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：
所以，
整理得：，所以，
所以双曲线的渐近线方程为．故选C．
11．B
【详解】
由题意得，解得，
所以双曲线的方程为．
故选：B．
12．D
【详解】
因为双曲线的左焦点，所以c=1，即.
设，代入，解得：，即，所以,
所以的面积为.
又有，解得：，.
所以渐近线方程：，
所以到双曲线渐近线的距离为.
故选：D
13．D
【详解】
双曲线中一条渐近线的斜率为，
若过焦点且斜率为2的直线，与双曲线的左右两支有交点，则，
即，即.
故选：D
14．A
解：设双曲线的左焦点为，右焦点为，
以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
15．D
【详解】
设，，则，
又，则，即．
所以=
又的面积为，所以，即，
故双曲线的离心率为．
故选:D．
16．A
解：双曲线关于轴对称，且直线垂直轴，
，
是锐角三角形，
是锐角，即有，
为左焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，
，
，
，即，
由，可得，
解得，
又因，所以
则双曲线的离心率的范围是．
故选：A．
17．C
【详解】
，，
，
，
双曲线的渐近线方程为，
故选：C.
18．D
显然直线与交于原点O，由双曲线对称性知，四边形是矩形，当且仅当|AB|=|F1F2|，
设点，而
由得，解得，
则，而|F1F2|=2c，，
所以化简得，即，，
解得，双曲线C的离心率e有.
故选：D
19．
【详解】
（1）由题意，，，，
双曲线的方程为；
（2）设，，，，
设的方程为，代入双曲线方程，可得，
，
，，
，，
同理，．
．
故得证.
20．（1）；（2）是定值，为
解：（1）由题知双曲线的交点在轴上，，
因为直线过双曲线：的右焦点，
所以，即，
所以，即.
所以双曲线C的方程.
（2）由题知，设，
，，
因为，，
所以，，
所以，，
所以直线与双曲线：联立方程得：，
所以，且，即，
所以，
所以
，
所以当变化时，探究的值是定值，为.
21．
（1）设双曲线方程为
由题知
双曲线方程为：
（2）设直线l的方程为代入
整理得，设
所以：
由弦长公式得：
设AB的中点
则， 代入l得：
AB的垂直平分线方程为
令y=0得，即，所以：为定值.
22．（1）；（2）．
【详解】
（1），则
双曲线C方程是：
（2）设，，，，①
，②，③
由①②③得，此时检验得
∴直线l的方程：
23．
解：设直线的方程为，设，，把直线与双曲线
联立方程组，，可得，
则，
（1），，由，可得，
即①，②，
把①式代入②式，可得，解得，，
即直线的方程为或．
（2）直线的方程为，直线的方程为，
直线与的交点为，故，即，
进而得到，又，
故，解得
故点在定直线上．
24．（1）；（2）或.
解析（1）双曲线的，由题意，
且，解得，
.
（2）设点，则，
有，
由，则，得，结合，，
得，故点或.
25．C
【详解】
双曲线的焦点为，，顶点为，，
所以椭圆的焦点坐标为，，顶点为，，
所以，
所依椭圆的方程为.
故选：C
26．C
【详解】
双曲线的一条渐近线为，
焦点为，
焦点到渐近线的距离为，
所以，
由于，所以.
故选：C
27．B
【详解】
由双曲线的方程得，
双曲线的虚轴长是实轴长的倍，，可得，
则双曲线的顶点为，双曲线的渐近线方程为，
不妨取渐近线，即，
则顶点到渐近线的距离.
故选：B.
28．C
【详解】
因为双曲线的一条渐近线方程为，由题意得，
所以双曲线的离心率．
故选：C.
29．B
解：双曲线的顶点为，
渐近线方程为，，
由题意可得，即为，①
双曲线的焦点设为，，
由题意可得，②
由①②可得，，
则双曲线的方程为．
故选：B．
30．B
解： 若是锐角三角形，则只需．
在中，，，则，又，
∴，∴，∴．又，∴．
故选：B．
31．A
解：根据题意可设，
将代入，解得，
则，所以，
因为为等边三角形，
则，即，
又，
所以，即，
则，解得或，
又因为双曲线的离心率，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
32．B
【详解】
设C的渐近线的方程为，
由，得；由，得，
设线段的中点为，
则，
，，，
从而，则.
故选：B.
33．D
【详解】
是双曲线的左焦点，即点，
将代入双曲线的方程可得，解得，故，
设点，则，
因为为等边三角形，则，故，
整理可得，即，
所以，，即，
所以，双曲线的离心率为.
故选：D.
34．A
解：由题意可知，，，，
故双曲线经过，两点，
则，解得，，
所以，
则双曲线的离心率为，
故选：A．
35．D
【详解】
设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．
36．B
【详解】
因为双曲线的一条渐近线方程为，则.①
又因为椭圆与双曲线有公共焦点，
双曲线的焦距，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9.②
由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为.
故选：B.
37．A
【详解】
由题意可知圆心，半径为，又因为渐近线与圆相交所得弦长为2，则圆心到渐近线的距离等于，双曲线的一条渐近线为，运用点到直线的距离公式计算有，即，所以，故，
故选：A.
38．A
【详解】
由题意，不妨设点P是右支上的一点，|PF1|=m，|PF2|=n，则∴a=3，c=4.
∴b=.∴a+b=3+.
故选：A
39．A
解法一：由题意知，，则.
设，，
则两式相减，得.
因为线段的中点为，
所以，，
又，所以，整理得，
所以，即，得.
故选：A.
解法二：由题意知，，则.
设直线的方程为，即，
代人双曲线方程，得
.
设，，则，
所以，
又，所以，
整理得，所以，
即，得，
则
40．D
【详解】
设，则，
∴，
∴，
∴．
又，
∴，
∴，
∴．
∴该双曲线的渐近线方程为．选D．
41．D
如图，
由双曲线的定义可得，
由，可得，，
结合双曲线性质可以得到，
而，结合四边形对角线平分，
可得四边形为平行四边形，
结合，故，
对三角形，用余弦定理，得到，
因为，可得，，，
代入上式子中，得到，即，
由离心率满足，即可得出，
故选：D．
42．B
【详解】
取的中点，则由，得，
即；
在中，为的中位线，
所以，
所以；
由双曲线定义知，且，故，
所以，
解得：，
故选：.
43．BCD
【详解】
双曲线化为标准形式为，则，，
，故离心率，即A错误；
双曲线的渐近线方程为，即，即B正确；
由双曲线的定义知，，
，则，
△的周长为，即C正确；
对于椭圆，有，，，
，
由椭圆的定义知，点在椭圆上，即D正确，
故选：BCD.
44．BC
【详解】
由题意，，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，
若，可得，
根据双曲线的定义可得，则，解得；
若，可得，
根据双曲线的定义可得，则，解得．
故选：BC．
45．BD
【详解】
因为且，所以为等腰直角三角形.
设椭圆的半焦距为，则，所以.
在焦点三角形中，，设，，双曲线的实半轴长为
则，故，故，
所以，即，故，，，，
故选：BD.
46．ACD
【详解】
由题意双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1，
则，（舍去），
又，所以，离心率为，A正确；
设的内切圆与三边切点分别为，如图，
由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，B错；
设，则，，
渐近线方程是，则，，
为常数，C正确；
由已知的方程是，倾斜角为，所以，，
，当且仅当时等号成立，D正确．
故选：ACD．
47．或
【详解】
当时，离心率为，
当时，离心率为，
当时，离心率为，
当时，离心率为.
所以双曲线的离心率为：或.
故答案为：或
48．
【详解】
∵ 为正三角形，
∴ ，又，
∴
∴，
∴
∴ ,（舍去）
故答案为：.
49．
【详解】
易知点，将代入双曲线的方程，可得，解得，
设点，过点作与直线平行的直线为，
联立，解得，即点，
因为，则直线的倾斜角为，则，
即有，即，即，
所以，，所以，.
故答案为：.
50．6
【详解】
由，可得，设F2为右焦点，连接P2F2，
由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，
所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.
故答案为：6
51．
【详解】
不妨设点在第二象限，设双曲线的左、右焦点分别为、，
则的中点在直线上，且，故，
，
因为、分别为、的中点，则，
由双曲线的定义可得，所以，，
因此，双曲线的标准方程为.
故答案为：.
52．（1），2 （2）
（1）由题意，
又
解得：
故双曲线C的标准方程为：，离心率为
（2）由题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为
故
即椭圆方程为：
53．（1）；（2）.
解：（1）不妨设点在第一象限
，，
，．
，，
．
（2）由（1），知双曲线的方程为，则渐近线的方程为．
不妨设，，，，．
，．
点在双曲线上，，化简，得，
，
，
双曲线的标准方程为．
54．（1）；（2）或
解：（1）因为点是双曲线E：上一点，所以，又，，由直线PM，PN的斜率之积为，所以，即，又，得，所以；
（2）由（1）可得双曲线的方程为，因为，所以，
联立得，设，，所以，设，由，所以，又为双曲线上一点，即，
所以，化简得，
又，在双曲线上，则，，
又有
即有
即，解得或
55．（1）；（2）．
【详解】
（1）因为直线交双曲线于､两点，
所以，两点关于原点对称，
从而四边形是平行四边形，
设双曲线的焦距为，
则四边形的面积，解得，
从而，，所以，，
于是，解得，，
所以双曲线的方程为；
（2）设，则.
由，得．
因为，
所以，化简得．
因为，所以．
由得，解得；
由得，解得．
因此，的取值范围为．
56．（1）；（2）.
（1）由题意，渐近线方程为，若，
∴，又，即，
∴，故，，
∴双曲线的方程为.
（2）由（1）知：，可设直线，
联立，消去y得：，整理得，，
若，，则，，故，
∴，故的中点坐标为，
∴线段的垂直平分线为，整理得，
∴，则，
∴.
57．（1）；（2）直线过定点．
【详解】
（1）由题意可知，双曲线的离心率为，则，则，
椭圆的短轴长为，则，
由题意可得，解得，
因此，椭圆的方程为；
（2）根据椭圆对称性，直线过定点且在轴上，设直线的方程，
联立，消去整理得，
设、，则，，
即，
所以，，即直线过定点.