数学选择性必修 第一册3.1 椭圆当堂达标检测题

这是一份数学选择性必修 第一册3.1 椭圆当堂达标检测题，共48页。试卷主要包含了1.2　椭圆的简单几何性质等内容，欢迎下载使用。
3．1.2 椭圆的简单几何性质
【考点梳理】
考点一：椭圆的简单几何性质
考点二：直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))
消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．
重难点技巧：弦长的两种方法
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．
(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或|P1P2|＝\r(1＋\f(1,k2))\r(y1＋y22－4y1y2)))，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．
【题型归纳】
题型一：椭圆的焦点、焦距
1．（2023·全国高二课时练习）以椭圆的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国高二课时练习）已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（ ）
A．6B．15C．20D．12
3．（2023·全国）与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
题型二：椭圆的顶点，长短轴
4．（2023·全国）已知椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则（ ）
A．2B．2C．D．4
5．（2023·南京市第十三中学高二开学考试）椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴B．有相等的短轴
C．有相等的焦点D．有相等的焦距
6．（2023·内蒙古包头·高二期末（文））、是椭圆（）的左、右焦点，是椭圆上的动点．若面积的最大值为8，则椭圆长轴长的最小值为（ ）
A．32B．16C．8D．4
题型三：椭圆的范围问题
7．（2023·江西科技学院附属中学高二月考（文））椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·江苏鼓楼·金陵中学高二期末）设椭圆，已知点，点为曲线上的点，若的最大值为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·安徽省泗县第一中学高二期末（理））已知椭圆的一个焦点为，一个顶点为，设，点是椭圆上的动点，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型四：椭圆的离心率问题
10．（2023·福建省宁化第一中学高二月考）已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全国高二课时练习）椭圆的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形FBO，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·蒲城县尧山中学高二月考（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
题型五：椭圆的中点弦问题
13．（2023·全国高二专题练习）已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于、两点，且弦被点平分，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023·全国高二课前预习）直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2023·南京市中华中学）已知椭圆C：（）的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
题型六：直线与椭圆的位置关系问题
16．（2023·江苏南京·高二月考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且该椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆左焦点为F，过F作直线l与椭圆交于A､B两点，若弦AB中点在直线上，求直线l的方程.
17．（2023·全国高二课时练习）已知椭圆经过点，且右焦点为.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）过点的直线交椭圆于，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值.
18．（2023·镇远县文德民族中学校（文））已知椭圆的短轴长为，离心率为.
（1）求的标准方程；
（2）过点且斜率为的直线交于，两点，且，均位于第四象限，求的取值范围.
题型七：椭圆的定点、定值、最值问题
19．（2023·绥德中学高二月考（理））已知椭圆的离心率是，一个顶点是.
（1）求椭圆C的标准方程
（2）设P，Q是椭圆上异于顶点的任意两点，且，求证：直线PQ恒过定点.
20．（2023·四川省新津中学高二月考（文））已知椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率不为0的直线，交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）①当时，求弦长(用表示)；
②已知点，若为定值，求面积的最大值．
21．（2023·绥德中学高二月考（理））设椭圆的离心率，过点A（1，）.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆的左顶点，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于两点，若直线的斜率分别为试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
题型八：椭圆中的向量问题
22．（2023·九龙坡·重庆市育才中学高二月考）已知为坐标原点，椭圆，其右焦点为，为椭圆（一象限部分）上一点，为中点，，面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过做圆两条切线，切点分别为，求的值．
23．（2023·石门县第六中学）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足（O为坐标原点）若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
24．（2023·安徽华星学校高二期中（理））已知椭圆的焦距为4，过焦点且垂直于轴的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线交椭圆于点，设椭圆的左焦点为，求的取值范围．
【双基达标】
一、单选题
25．（2023·全国高二课时练习）椭圆与的关系为（ ）
A．有相同的长轴长与短轴长B．有相同的焦距
C．有相同的焦点D．有相同的离心率
26．（2023·全国高二课时练习）如图所示，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线与BF交于点D，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
27．（2022·全国高三专题练习）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，使得过点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
28．（山东省2021-2022学年高二10月“山东学情”联考数学试题（D））已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆的直径，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
29．（2022·江苏高三专题练习）已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
30．（2023·全国）设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
31．（2023·全国高二单元测试）若用周长为24的矩形截某圆锥，所得截线是椭圆，且与矩形的四边相切．设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，若的离心率为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
32．（2023·广西高三开学考试（理））已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则（ ）
A．1B．2C．4D．
33．（2023·河北张家口·高二期末）已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，以为直径的圆交直线于点B（不同于原点O），设的面积为S．若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
34．（2022·全国高三专题练习）已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
35．（2023·九龙坡·重庆市育才中学高二月考）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【高分突破】
一：单选题
36．（2023·全国高二课时练习）过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ）
A．B．C．D．
37．（2023·全国高二单元测试）已知椭圆，，分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
38．（2023·蒲城县尧山中学高二月考（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线l交C于A，B两点，若的周长为，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
39．（2023·荆州市沙市第五中学高二期中）过原点的直线与椭圆：交于，两点，是椭圆上异于，的任一点.若直线，的斜率之积为，则椭圆的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
40．（2023·全国高二课时练习）设椭圆＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
41．（2023·全国高二课时练习）已知直线，若椭圆上的点到直线的距离的最大值与最小值之和为，则唨圆的离心率范围是（ ）
A．B．
C．D．
42．（2023·浙江高二学业考试）如图，椭圆的左焦点为F，点P在y轴上，线段交椭圆于点Q．若，，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
43．（2023·全国高二课时练习）（多选）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（ ）
A．当时，满足的点有2个
B．当时，满足的点有4个
C．的周长小于
D．的面积大于等于
44．（2023·全国）已知椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（ ）
A．B．C．D．
45．（2023·全国高二期中）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8
B．椭圆上存在点，使得
C．椭圆的离心率为
D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3
46．（2023·全国高二期中）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为B．椭圆的短轴长为
C．的最小值为D．过点的圆的切线斜率为
47．（2023·湖南长沙·）已知椭圆C：（）的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则（ ）
A．椭圆焦距为B．椭圆方程为
C．弦长D．
48．（2023·全国高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．椭圆的短轴长可能为
C．椭圆的离心率的取值范围为
D．若，则椭圆的长轴长为
三、填空题
49．（2023·全国高二课时练习）椭圆短轴的一个端点与长轴两端点的连线成120°角，则椭圆的离心率为________．
50．（2023·江苏广陵·扬州中学高二月考）椭圆（）的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的最大值为___________.
51．（2023·全国）设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率，则椭圆的方程为______．
52．（2023·全国高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，斜率为的直线过，且与椭圆的交点为，，与轴的交点为，为线段的中点．若，则椭圆的离心率的取值范围为______．
53．（2023·全国高二课时练习）已知椭圆的左、右顶点分别为，．是圆上不同于，两点的动点，直线与椭圆交于点．若直线斜率的取值范围是，则直线斜率的取值范围是______．
四、解答题
54．（2020·梅河口市朝鲜族中学高二期末（理））已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．
（1）若为等边三角形，求C的离心率；
（2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
55．（2020·全国高二课时练习）设椭圆，右顶点是，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点(不同于点)，若，求证:直线过定点，并求出定点坐标.
56．（2020·揭西县河婆中学）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
57．（2023·广西崇左高中（理））设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.
58．（2019·安徽省怀宁中学高二月考（理））已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
59．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高二月考（理））已知椭圆：的一个焦点为，点在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：与椭圆相交于，两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.
60．（2020·苏州大学附属中学高二期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，若斜率为的直线与轴，椭圆顺次交于点在椭圆左顶点的左侧）且，求证：直线过定点；并求出斜率的取值范围.
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±eq \r(a2－b2)，0)
(0，±eq \r(a2－b2))
焦距
|F1F2|＝2eq \r(a2－b2)
对称性
对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
直线与椭圆
解的个数
Δ的取值
两个不同的公共点
两解
Δ>0
一个公共点
一解
Δ＝0
没有公共点
无解
Δ