高中人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆练习题

这是一份高中人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆练习题，共30页。试卷主要包含了1椭圆等内容，欢迎下载使用。
3.1椭圆
3.1.1椭圆及其标准方程
【考点梳理】
考点一：椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
考点二：椭圆的标准方程
考点三：求轨迹方程的方法
直译法——“四步一回头”，
四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标；
（2）写出适合条件的点M的集合；
（3）将 “翻译”成代数方程；
（4）化简代数方程为最简形式.
【题型归纳】
题型一：利用椭圆的定义求方程
1．（2023·全国高二课时练习）已知椭圆上任意一点都满足关系式，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020·江苏省灌南高级中学高二月考）已知椭圆对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，该椭圆的一焦点坐标为且过点，求该椭圆的长轴长为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2020·深圳实验学校高二月考）在中，点、 点，且是和的等差中项，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
题型二：椭圆的焦点三角形问题
4．（2023·蒲城县尧山中学高二月考（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线l交C于A，B两点，若的周长为，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·哈密市第十五中学高二期中（理））已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）
A．2B．6C．4D．12
6．（2023·黑龙江鹤岗一中高二月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若△的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
题型三：根据方程表示椭圆求参数问题
7．（2023·全国高二课时练习）已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·山西晋中·（理））“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2023·威远中学校高二月考（文））“”是“为椭圆方程”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
题型四：椭圆的标准方程的求法
10．（2023·江苏）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为则，椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·全国高二课前预习）与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且过点(4，0)的椭圆的方程是（ ）
A．B．＋＝1
C．D．
12．（2023·福建省厦门集美中学高二期中）已知点是椭圆上的一点，椭圆的长轴长是焦距的倍，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型五：与椭圆有关的轨迹问题
13．（2023·全国高二课时练习）已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023·河北迁安·高二期末）已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2023·广西田东中学高二期末（理））在平面直角坐标系中，已知定点、，直线与直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【双基达标】
一、单选题
16．（2020·江苏高二期中）已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（ ）
A．14B．16C．18D．20
17．（2020·江苏高二期中）已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在椭圆上，则的值为（ ）
A．6B．12C．18D．24
18．（2023·全国高二课时练习）设P是椭圆上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为（ ）
A．2B．4C．8D．16
19．（2023·全国高二课时练习）焦点坐标为，（0，4），且长半轴的椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
20．（2023·福建省连城县第一中学高二月考）已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A．B．6C．4D．
21．（2023·全国高二专题练习）已知点的坐标为，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线
22．（2023·蒲城县尧山中学高二月考）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为（ ）
A．B．
C．D．
23．（2023·全国高二单元测试）阿基米德是古希腊著名的数学家､物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
24．（2023·全国高二课时练习）已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的两个焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则点到，两点的距离之和为（ ）
A．6B．8C．12D．36
25．（2023·全国高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则（ ）
A．B．C．5D．
【高分突破】
一：单选题
26．（2023·全国高二课时练习）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A．1B．－1C．D．
27．（2023·全国高二课时练习）已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．或
28．（2023·全国）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．1B．3C．9D．81
29．（2023·全国高二课时练习）如图，椭圆的长轴为，椭圆的短轴为，且与的离心率相同，直线与，相交于四点，这四点按纵坐标从大到小依次为，，，，若，为坐标原点，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
30．（2023·全国）椭圆的左、右焦点分别为，，，的面积为，且，则椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
31．（2023·曲靖市沾益区第四中学高二月考（理））设，分别是椭圆：的左、右两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
32．（2023·永昌县第一高级中学（理））已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A．B．C．4D．6
33．（2023·浙江丽水·高二期中）如图，焦点在轴上的椭圆：的左右焦点分别为，，点是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，若的内切圆在边上的切点为，且，则（ ）
A．2B．3C．4D．
二、多选题
34．（2023·全国高二课时练习）（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（ ）
A．圆B．线段C．椭圆D．直线
35．（2023·全国高二专题练习）已知是椭圆上一动点，，分别是圆与圆上一动点，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最大值为
36．（2023·全国高二专题练习）已知F为椭圆的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（ ）
A．B．C．D．
37．（2023·福建莆田·高二期末）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为10
B．面积的最大值为
C．当时，的面积为
D．存在点P使得
38．（2020·巴南·重庆市实验中学）已知是椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，且，则（ ）
A．的周长为B．
C．点到轴的距离为D．
39．（2020·湖北武汉·高二期中）已知动圆Р与圆C1：外切，且与圆C2：内切，动圆圆心Р的轨迹方程为C，则下列说法正确的是（ ）
A．轨迹方程C为B．轨迹方程C的焦距为3
C．轨迹方程C的长轴为10D．轨迹方程C的离心率为
三、填空题
40．（2023·全国高二课时练习）已知三角形ABC的周长是8，顶点B，C的坐标分别为，（1，0），则顶点A的轨迹方程为________．
41．（2023·全国高二课时练习）若椭圆的两焦点分别为，，点P在椭圆上，且三角形的面积的最大值为12，则此椭圆方程是________．
42．（2023·蒲城县尧山中学高二月考（文））3＜m＜9是方程表示的椭圆的_____条件.（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个正确的填写）
43．（2023·全国高二课时练习）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，直线l：y＝2x与椭圆C相交于点A、B，点P是椭圆C上异于点A、B的动点，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，且k1•k2＝，则椭圆C的标准方程是__．
44．（2023·河南商丘·高二月考）椭圆：（）的左右焦点分别为，，过的直线与过的直线相交于点，点在椭圆上，是等腰三角形，且，则________．
四、解答题
45．（2023·全国高二课时练习）如图，，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，三角形是面积为的正三角形，求此椭圆的方程．
46．（2023·全国高二课时练习）如图，已知A，B是两定点，且．动点M到点A的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，求当M变化时，动点P的轨迹方程．
47．（2023·南昌大学附属中学高二月考）设椭圆的左右焦点分别为，是上的动点，直线经过椭圆的一个焦点，的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为椭圆上一点，求的最小值和最大值（写出严谨的推导过程）.
48．（2023·南昌大学附属中学高二月考）已知是椭圆两个焦点，且.
（1）求此椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且，求的面积.
49．（2023·黑龙江鹤岗一中高二月考）已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值．
50．（2023·全国高二课时练习）如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在第二象限，，求的面积．
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝a2－c2
【答案详解】
1．B
【详解】
由题设可知椭圆的焦点在轴上，其坐标分别为，，，故，，，所以椭圆的标准方程为．
故选：B
2．C
【详解】
由椭圆的一焦点坐标为，可得所求椭圆焦点在轴上，
设所求椭圆方程为：，
则椭圆的另一焦点为，又椭圆过点
由椭圆的定义可得：
故选：C
3．B
解：点、点，，
是和的等差中项，
则，
点的轨迹是以，为焦点，半长轴长是4的椭圆（去掉长轴上的顶点）．
则，，．
点的轨迹方程是：
故选：B．
4．B
【详解】
由题知：，
所以椭圆的标准方程为：.
故选：B
5．C
【详解】
由椭圆＋y2＝1知，该椭圆的长半轴，
A是椭圆的一个焦点，设另一焦点为，而点在BC边上，点B，C又在椭圆上，
由椭圆定义得，
所以的周长
故选：C
6．A
【详解】
由椭圆的定义可得，
∴①，
当点为上顶点或下顶点时，△的面积取得最大值为，
∴②．又③，
由①②③，得，，，
∴椭圆的标准方程为．
故选：A
7．B
【详解】
由于方程表示椭圆，
所以.
故选：B
8．B
充分性：当，方程表示圆，充分性不成立；
必要性：若方程表示椭圆，则，必有，必要性成立.
因此，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B.
9．B
解：因为为椭圆方程，
所以解得且，
所以不能推出且，而且能推出，
所以“”是“为椭圆方程”的必要不充分条件.
故选：B.
10．A
解：由题意可得，解得，，
所以，
所以椭圆的方程为，
故选：A
11．D
由＋＝1可知，
所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝5，故A，C不正确；
再将点(4，0)分别代入B，D检验可知，只有D选项符合题意．
12．D
【详解】
由题意，解得，所以椭圆方程为．
故选：D．
13．A
解：由题意，可知圆的标准方程为，圆心为，半径为6．
∵线段的垂直平分线交于点，∴，∴，
∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，∴，，，∴其轨迹方程为．
故选：A．
14．B
【详解】
由题可得圆心，半径为6，
是垂直平分线上的点，，
，
点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，
，故点的轨迹方程为.
故选：B.
15．B
解：设动点P的坐标为，则由条件得．即．
所以动点P的轨迹C的方程为．
故选：B．
16．C
【详解】
如图所示设椭圆的左焦点为，则
，
则，
，
的周长，当且仅当三点M，，A共线时取等号．
的周长最大值等于18．
故选：C．
17．B
解：如图
设的中点为，椭圆的左右焦点分别为,连接,,
是的中点, 是的中点, 是，
,
同理:,
在椭圆上,
+=6
+=12.
故选：B.
18．C
【详解】
设该椭圆左焦点为，右焦点为，由题可知，所以，而，所以．
故选：C．
19．B
【详解】
因为，所以，而焦点在轴上，所以椭圆方程为．
故选：B．
20．D
【详解】
由椭圆，得：，
由题意可得的周长为:
.
故选：D.
21．B
【详解】
由题意，圆，可得圆心坐标为，半径为，
因为线段的垂直平分线交于，可得，
所以，
根据椭圆的定义，可得点的轨迹为以、为焦点的椭圆.
故选：B.
22．C
【详解】
由题意椭圆方程是方程为，排除BD，
矩形的四边与椭圆相切，则矩形的周长为，．
在椭圆中，，, 不满足题意，
在椭圆中，, 满足题意．
故选：C．
23．A
【详解】
由题意得，解得，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A
24．C
设椭圆的左、右焦点分别为，，如图所示．
因为线段的中点为，点为的中点，
所以，同理可得．
因为点在椭圆上，所以有，
所以，
即点到，两点的距离之和为12，
故选：C
25．A
【详解】
由题意，知，，
所以．
故选：A
26．A
【详解】
设椭圆的左焦点为，则，可得，
所以，
如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，
此时取得最小值，
又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．
故选：A．
27．D
【详解】
由题意，椭圆的焦距是6，可得，即，
又由椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，可得，即，
则，
当焦点可以在轴上时，椭圆的方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为.
故选：D．
28．A
【详解】
由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，
于是得，解得，
所以的值为1.
故选：A
29．D
【详解】
在椭圆中，，所以，得，则椭圆的标准方程为．
由题意知，将与和的方程分别联立，得，，
又，，所以和的斜率相同，
所以，解得．
故选：D.
30．D
【详解】
由题意可得，且，，
解得，，，所以椭圆的方程为，
故选：D．
31．D
解：由，分别是椭圆：的左、右两个焦点，
则，
当点位于短轴端点时，取最大值，要使上存在点满足，
则的最大值大于或等于，即点位于短轴端点时，大于或等于，
则，解得．
故选：D.
32．B
【详解】
椭圆，则，
由题意可得的周长为.
故选：B
33．D
解：如图，的内切圆在边上的切点为，设内切圆与、分别切于点、，
根据切线长定理可得，，
，
，
，
，
则，
即，，
故选：D．
34．BC
【详解】
由题意知，定点，，可得，
因为，可得，
当且仅当，即时等号成立．
当时，可得的，此时点的轨迹是线段；
当时，可得，此时点的轨迹是椭圆．
故选：BC．
35．AD
解：圆与圆的圆心分别为：；，
则、是椭圆的两个焦点坐标，两个圆的半径为，
所以的最大值为；
的最小值.
故选：AD.
36．ACD
【详解】
∵
∴仅有4种情况符合条件，即A为右顶点时，B为左顶点或上、下顶点；A为上顶点时，B为左顶点；
∴①当A为右顶点时，B为左顶点，此时，
解得，椭圆方程为，故D正确；
②当A为右顶点时，B为上或下顶点，此时，解得，椭圆方程为，故A正确；
③A为上顶点时，B为左顶点时，此时，解得，椭圆方程为，故C正确；
故选：ACD
37．AB
由椭圆的方程可得
的周长为，故A正确
当点位于短轴端点时，的面积最大，最大值为，故B正确
当时，由余弦定理可得
所以，所以，可得
所以的面积为，故C错误
设，则
由可得，从而可得解得，不成立，故D错误
故选：AB
38．BCD
【详解】
A．因为，
所以，故错误；
B．因为，，
所以，
所以，所以，故正确；
C．设点到轴的距离为，
所以，所以，故正确；
D．因为，故正确；
故选：BCD.
39．ACD
【详解】
圆C1：的圆心，半径，圆C2：的圆心，半径，
设点，动圆的半径为，则由题意得，
所以，即动点P到两个定点的距离之和为10.
又因为，所以点P在以两定点为焦点，10为长轴长的椭圆上.
所以设此椭圆的轨迹方程为C为，这里，，则，
因此，动圆圆心P所在的曲线方程为：.所以轨迹方程为C的焦距为6，轨迹方程为C的长轴长为10，轨迹方程为C的离心率为，
故选：ACD.
40．
设，，
所以，即点是以顶点为焦点的椭圆，，，
则，
所以椭圆方程，因为三点不能共线，所以，
则顶点A的轨迹方程为.
故答案为：
41．##
【详解】
依题意，椭圆焦点在轴上，
三角形的面积的最大值为，
所以，
所以椭圆方程为.
故答案为：
42．必要不充分
解：若方程表示椭圆，则，解得3＜m＜9，且m≠6；
所以方程表示椭圆的充要条件是3＜m＜9，且m≠6，
所以3＜m＜9是方程表示椭圆的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分.
43．＝1
【分析】
设P（x0，y0），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），代入作差法表示出k1•k2＝，与联立，即可求出椭圆的标准方程.
【详解】
设P（x0，y0），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则，，
两式作差得．
因为直线PA，PB的斜率都存在，所以≠0．
所以＝﹣＝﹣＝﹣k1•k2＝，则，
又因为焦距为4，则，联立两式可得
所以该椭圆的方程为：＝1
故答案为：＝1
44．
因是等腰三角形，且，则，，
由椭圆定义知，即，
所以.
故答案为：
45．.
【详解】
解：设椭圆的焦距为2c，因为三角形是面积为的正三角形，
所以，解得，可得，
将代入，得，
又，解得，
所以椭圆的方程为.
46．
【详解】
设，因为线段MB的垂直平分线l交MA于点P，所以，
即有，所以点P的轨迹是以为焦点，焦距为，长轴长为的椭圆，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，则，，，故动点P的轨迹方程为．
47．
（1）因为椭圆，
所以此椭圆的焦点在轴上，
因为直线经过椭圆的一个焦点，
所以令，则，即半焦距，所以，
因为的周长为，
所以，
所以，即，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由已知得，设，则，.
所以，
代入，得，
对称轴为，又由于，
所以当时，，此时，
当时，，此时，
所以的最小值为，最大值为.
48．
（1）因为是椭圆两个焦点，
所以，①
又因为，②
所以由①②可得，
所以此椭圆的方程为.
（2）设，
由椭圆定义可知，③
在中，由余弦定理得，即，④
由③④式可得，，
所以.
即的面积为.
49．（1）；（2）．
（1）依题意得：，．
由椭圆定义知，
又，则，
在中，，由余弦定理得：
即，解得
又
故所求椭圆方程为
（2）设，直线
联立方程组，得，
，得，
，，
，
由题意知，由，，代入化简得
，
故直线过定点，
由，解得，
，
令，则，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为．
50．（1）；（2）．
（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，
则由已知得，，
所以，所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）在中，．
由余弦定理，得，
即，所以，
所以．
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