高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆课时作业

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆课时作业，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023·四川省新津中学高二月考（文））椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023·全国高三专题练习）已知直线与椭圆相交于两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国（理））已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（ ）
A．＋＝1B．＋＝1
C．＋＝1D．＋＝1
4．（2023·全国高二专题练习）设，是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A．，，B．
C．D．
5．（2023·四川武侯·成都七中高二期末（文））已知椭圆：的左右顶点分别为和，是椭圆上不同于，的一点．设直线，的斜率分别为，，则当取最小值时，椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2019·安徽铜陵一中高二月考）若点A，F分别是椭圆的左顶点和左焦点，过点F的直线交椭圆于M，N两点，记直线的斜率为，其满足，则直线的斜率为
A．B．C．D．
7．（2023·广东肇庆·高二期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，为直角三角形，线段交双曲线于点Q，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·河南南阳·高二期末（理））已知椭圆上有三个点､､，，，的中点分别为､､，，，的斜率都存在且不为0，若(为坐标原点)，则（ ）
A．1B．-1C．D．
二、多选题
9．（2023·全国高二课时练习）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于，两点，为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若点坐标为，则直线的方程为
C．若直线的方程为，则点坐标为
D．若直线的方程为，则
10．（2023·浙江）已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为(2,0)､(-2,0)B．椭圆C的长轴长为
C．直线的方程为D．
11．（2023·辽宁抚顺·高二期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，．过点的直线交椭圆于两点，且关于点对称，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆的方程为B．椭圆的焦距为
C．椭圆上存在个点，使得D．直线的方程为
12．（2023·江苏高二专题练习）(多选)已知直线y=kx+1与椭圆，则（ ）
A．直线y=kx+1恒过定点(0，1)
B．方程表示椭圆的条件为m>0
C．方程表示椭圆的条件为00)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
30．（2020·全国高二课时练习）设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值.
参考答案
1．A
【详解】
联立椭圆方程与直线方程，
得，，
，，
，，
中点坐标：，
中点与原点连线的斜率．
故选：A
2．A
【详解】
由，得.
设，，则，，
.
又O到直线的距离，
则的面积 ，
当且仅当，即时，的面积取得最大值.
此时，.
故选：A.
3．D
【详解】
设，所以 ，，
运用点差法，作差可得，
所以直线的斜率为，
又，所以，
又，
所以，
故选：D
4．D
解：①假设椭圆的焦点在轴上，则，
假设位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，
，，，
解得：；
②当椭圆的焦点在轴上时，，
假设位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，
，，，解得：，
的取值范围是，，
故选：D．
5．C
【详解】
设，，
所以，
令，，
构造函数，
，
当，，为减函数，
当，，为增函数，
所以时取最小值，
此时，.
故选：C
6．B
【详解】
点A，F分别是椭圆的左顶点和左焦点
所以椭圆的左焦点坐标为 ，左顶点坐标为
由题意可知，直线MN的斜率一定存在，因为直线MN过椭圆左焦点，所以MN的直线方程可设为 ，
联立直线方程与椭圆方程，化简得

所以
因为
代入，可得
将代入
通过解方程可得
所以选B
7．A
【详解】
双曲线为，由于是直角三角形，可知，
所以，得，即，
所以直线的方程为，
将直线的方程与双曲线方程联立，，得，即，
又，所以.
故选：A.
8．A
【详解】
设，则，
两式作差，可得，
所以，即，
同理可得，
所以.
故选：A.
9．BD
【详解】
设，，，则，两式相减，
得，即，即．
对于A，，所以A不正确；
对于B，由，，得，
所以直线的方程为，即，所以B正确；
对于C，若直线的方程为，，
则，所以C不正确；
对于D，由，得，
解得或，所以，所以D正确 ．
故选：BD．
10．BCD
A：由椭圆方程知：其焦点坐标为，错误；
B：，即椭圆C的长轴长为，正确；
C：由题意，可设直线为，，，则，联立椭圆方程并整理得：，M为椭圆内一点则，
∴，可得，即直线为，正确；
D：由C知：，，则，正确.
故选：BCD.
11．ACD
【详解】
对于A，由椭圆的定义知：，解得：．
，，解得：，
，椭圆的方程为，A正确；
对于B，由知：焦距为，B错误；
对于C，由知，在以线段为直径的圆上，
由知：以线段为直径的圆与椭圆有个交点，
即椭圆上存在个点，使得，C正确；
对于D，由题意知点为弦的中点，
设，，则，，
两式相减得：．
，，则，，
直线的方程为：，即，D正确.
故选：ACD.
12．AD
解析：由于直线y=kx+1可以化为y-1=k(x-0)，恒过点(0，1)，故A正确；
而方程表示椭圆的条件为m>0且m≠5，故B，C错误；
若直线与椭圆总有公共点，则点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0y2>0，故．
又因为，而∠OAB=，故．
由，可得5y1=9y2．
由方程组消去x，可得．
易知直线AB的方程为x+y–2=0，
由方程组消去x，可得．
由5y1=9y2，可得5（k+1）=，
两边平方，整理得，
解得，或．
所以，k的值为或