高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线同步训练题，共32页。
【考点梳理】
考点一：双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，00)和双曲线－＝1(s，t>0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（ ）
A．m－sB．(m－s)C．m2－s2D．－
28．（2023·江西科技学院附属中学高二月考（理））双曲线过，右焦点到渐近线的距离为2，的顶点，恰好是双曲线的两焦点，顶点在双曲线上，且，则（ ）
A．B．2C．D．
29．（2020·江苏高二课前预习）过双曲线的右支上的一点分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
30．（2023·全国高二专题练习）已知双曲线的一个焦点为，并且双曲线C的渐近线恰为矩形的边所在直线（O为坐标原点），则双曲线C的方程是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
31．（2023·全国高二）已知方程表示曲线，则（ ）
A．当时，曲线一定是椭圆
B．当或时，曲线一定是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
32．（2023·江苏省天一中学）已知双曲线的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线的方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
33．（2023·全国高二专题练习）在平面直角坐标系中，有两个圆C1：（x+2）2+y2＝r12和C2：（x﹣2）2+y2＝r22，其中r1，r2为正常数，满足r1+r2＜4或|r1﹣r2|＞4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是（ ）
A．两个椭圆B．两个双曲线
C．一个双曲线和一条直线D．一个椭圆和一个双曲线
34．（2023·山东潍坊·高二期末）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当，曲线为椭圆
B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
C．“或”是“曲线为双曲线”的充要条件
D．不存在实数使得曲线为离心率为的双曲线
35．（2023·江苏高二专题练习）已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为（ ）
A．3B．6C．7D．14
36．（2023·全国高二单元测试）已知双曲线（，），，是其左、右顶点，，是其左、右焦点，是双曲线上异于，的任意一点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．直线，的斜率之积等于定值
C．使得为等腰三角形的点有且仅有8个
D．的面积为
三、填空题
37．（2020·全国高二单元测试）设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于__________．
38．（2023·安徽华星学校（理））已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________．
39．（2023·北京人大附中高二期末）已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点．则曲线C的方程为______．
40．（2023·全国高二课时练习）已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为_________________．
41．（2023·江苏高二专题练习）设，分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则__________．
四、解答题
42．（2023·全国高二专题练习）已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．
43．（2023·全国高二（文））已知椭圆的左右焦点分别为，双曲线与共焦点，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程：
（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积．
44．（2023·全国高二专题练习）如图，若是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
45．（2023·江苏高二专题练习）已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
46．（2023·全国高二课时练习）设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点，且，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为．
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为这两曲线的一个交点，求的值．
47．（2023·江苏高二专题练习）已知双曲线(，)的离心率为2，过点且斜率为的直线交双曲线于，两点.且.
（1）求双曲线的标准方程.
（2）设为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，在轴的负半轴上是否存在定点.使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
焦点
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
【答案详解】
1．C
【详解】
由题意，知，当时，
，此时点的轨迹是双曲线的一支；
当时，，
点的轨迹为以为端点沿轴向右的一条射线．
故选：C.
2．D
【详解】
表示：
动点到两定点，的距离之差等于2，
而，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支．
故选：D
3．D
【详解】
解：根据双曲线的定义，，
因为，所以或
故选：D
4．A
【详解】
设定圆的圆心为，半径为，
当两圆内切时，定圆在动圆M的内部，有；
当两圆外切时有，
故，
由双曲线的定义知，
点的轨迹是以为焦点的双曲线，
且，
所以，
故圆心的轨迹方程为.
故选：A.
5．B
【详解】
设动圆的半径为，又圆与圆的半径均为，
则由已知得，
所以.
又点，
则，所以，
根据双曲线的定义可知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支.
因为，
所以，
于是点的轨迹方程为.
故选：B.
6．A
【详解】
如图所示，设两切线分别与圆切于点，，
则，，，
所以
，
所以点的轨迹是以，为焦点，以为实轴的双曲线的右支（不含右顶点），
则，，所以，
因此点的轨迹方程为.
故选：A．
7．D
【详解】
由双曲线：得：，
由双曲线的定义知，，又，
∴或（舍去）.
又为双曲线上一点，，
∴为线段的中点，则.
故选：D.
8．D
设，.由，的面积为，
可得，∴①
由离心率为，可得，代入①式，可得.
故选：D.
9．A
【详解】
设双曲线的左焦点为，则．由题可知，，
∴，，，
∴，的周长为．
∵当，，三点共线时，最小，最小值为，
∴的周长的最小值为．
故选：A
10．A
【详解】
设双曲线方程为：，半焦距为.
在直线中，令，得，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为，∴，∴，
故选：A．
11．B
【详解】
解：双曲线的顶点为，
渐近线方程为，，
由题意可得，即为，①
双曲线的焦点设为，，
由题意可得，②
由①②可得，，
则双曲线的方程为．
故选：B．
12．B
【详解】
由题意得，解得，
所以双曲线的方程为．
故选：B．
13．C
【详解】
设双曲线的方程为：，半焦距为.
则，，则，
故，所以双曲线的标准方程为．
故选：C.
14．D
【详解】
因为双曲线的焦点在横轴上，
所以由题意可得：，
故选：D
15．C
【详解】
由题意可知，，
，，
两式相加得，
即.
故选：C
16．A
【详解】
曲线表示双曲线，则，解得，
因此是的充分不必要条件．
故选：A．
17．A
【详解】
因为，所以，所以在右支上，
所以，
又因为，所以，
所以，
故选：A.
18．B
【详解】
不妨设P是双曲线右支上一点，
在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2，
∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs∠F1PF2，
∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·，
∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴8＝4＋|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝4.
故选：B.
19．B
【详解】
设圆与的三边的切点分别为，如图，
令，，，
根据双曲线的定义可得，化简得，
由此可知，在中，轴于，同理轴于，
轴过圆心作的垂线，垂足为，易知直线的倾斜角与大小相等，不妨设圆的半径，设圆的半径，则，，所以根据勾股定理，，所以，；
故选：B
20．A
【详解】
设直线PM，PN与圆C相切的切点分别为点Q，T，如图，
由切线长定理知，MB=MQ，PQ=PT，NB=NT，于是有|PM|-|PN|=|MQ|-|NT|=|MB|-|NB|=2