人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课时作业

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课时作业，共29页。试卷主要包含了3抛物线等内容，欢迎下载使用。
3.3抛物线
3.3.1抛物线及其标准方程
【考点梳理】
考点一 抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．
2．焦点：定点F.
3．准线：定直线l.
考点二 抛物线的标准方程
重难点技巧： p的几何意义是焦点到准线的距离．
【题型归纳】
题型一：抛物线的定义（方程、最值）
1．（2023·全国高二课时练习）若抛物线上一点到该抛物线的焦点的距离，则点到轴的距离（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023·东城·北京二中高二月考）抛物线上一点到其焦点的距离为3，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国高二课时练习）已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（2，2）C．D．
题型二：抛物线的四种标准方程
4．（2023·全国高二课时练习）以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
5．（2023·吉林农安·高二期末（理））已知抛物线C：（）的准线为l，圆M：与l相切，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2023·四川省内江市第六中学（理））已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（ ）
A．B．C．D．
题型三：抛物线焦半径的公式
7．（2023·全国）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．3B．C．5D．
8．（2023·全国高二课时练习）过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（ ）
A．3B．2C．D．1
9．（2023·全国高二课时练习）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，设A和B是C上的两点，且M是线段AB的中点，若|AB|＝6，则M到y轴的距离的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
题型四：抛物线的方程常见求法
10．（2023·东城·北京二中高二月考）己知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；
（2）求所在的直线方程.
11．（2023·哈密市第十五中学（理））根据条件求下列方程.
（1）顶点在原点，准线方程是的抛物线方程；
（2）已知双曲线过点并且与有共同的渐近线，求双曲线的标准方程.
12．（2023·全国高二专题练习）根据下列条件求抛物线的标准方程.
（1）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；
（2）过点P(2，-4)；
（3）抛物线的焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.
【双基达标】
一、单选题
13．（2023·山西平城·大同一中高二月考）若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为8，则点P的纵坐标为（ ）
A．6B．C．7D．
14．（2023·全国高二课时练习）在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（ ）
A．B．2C．1D．4
15．（2023·全国高二课时练习）如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（ ）
A．（1，0）B．（2，0）C．（3，0）D．
16．（2023·绥德中学高二月考（文））已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
17．（2023·全国高二课时练习）若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点的横坐标和的值分别为（ ）
A．9，2B．1，18C．9，2或1，18D．9，18或1，2
18．（2023·全国高二课时练习）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．9
19．（2023·全国高二课时练习）已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，过作抛物线的准线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），的周长为12，则（ ）
A．4B．C．D．5
20．（2023·富宁县第一中学高二月考（文））已知抛物线第一象限内一点到焦点的距离等于，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
21．（2023·云南省楚雄天人中学高二月考（理））为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·全国高二课时练习）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则此抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【高分突破】
一：单选题
23．（2023·全国高二单元测试）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2B．3
C．4D．8
24．（2020·河北易县中学高二月考）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为
A．B．C．D．
25．（2023·全国高二课时练习）已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为
A．3B．4C．5D．6
26．（2023·全国高二专题练习）已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为
A．B．C．D．
27．（2023·泉州鲤城北大培文学校高二期中）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为
A．B．C．D．
28．（2020·高台县第一中学高二期中（文））已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
29．（2020·福建省南安市柳城中学高二期中）已知椭圆与抛物线有相同的焦点为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为
A．B．C．D．
30．（2019·河南宛城·南阳中学高二月考（理））抛物线的焦点为 ,过点的直线交抛物线于 、两点，点为轴正半轴上任意一点，则
A．B．C．D．
二、多选题
31．（2023·全国高二专题练习）已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则的值可以是
A．2B．6C．4D．8
32．（2020·如皋市第一中学高二月考）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹曲线是一条线段
B．点P的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点
C．不是“最远距离直线”
D．是“最远距离直线”
33．（2023·全国高二期中）已知双曲线：的实轴长是2，右焦点与抛物线：的焦点重合，双曲线与抛物线交于、两点，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为B．抛物线的准线方程是
C．双曲线的渐近线方程为D．
34．（2020·广东实验中学越秀学校高二期中）设抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，点，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为
B．的最小值为6
C．存在直线，使得、两点关于对称
D．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
35．（2020·江苏高二专题练习）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则（ ）
A．|BF|＝3B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3D．抛物线C的方程为y2＝6x
36．（2023·全国高二课时练习）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，且，.下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．△的面积为
三、解答题
37．（2023·全国高三专题练习（文））已知点，直线，动点P到点F与到直线l的距离相等，求动点P的轨迹C的方程.
38．（2023·全国高二课时练习）已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长为，求抛物线的方程．
39．（2023·全国高二课时练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，，抛物线与椭圆在第一象限的交点为Q，若.
（1）求三角形的面积；
（2）求此抛物线方程.
40．（2023·江西科技学院附属中学高二月考（理））已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程．
41．（2023·上海市新场中学高二期中）已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离等于它到x=-1的距离.
（1）求曲线的方程；
（2）求直线被曲线截得线段长.
42．（2023·浙江湖州·）已知抛物线，圆，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于､两点，与圆交于点，点是线段的中点.
（1）求抛物线的准线方程；
（2）求的面积.
43．（2023·广西河池·（文））已知椭圆的一个焦点与抛物线：的焦点重合，点是抛物线的准线与轴的交点．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于，，若的面积为72，求直线的方程．
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)
【答案详解】
1．D
【详解】
因为抛物线
所以抛物线焦点，准线方程，
点到准线距离为，到轴距离，
故选：D
2．B
【详解】
因抛物线上一点到其焦点的距离为3，则p>0，抛物线准线方程为，
由抛物线定义得：，解得，
所以抛物线的方程为：.
故选：B
3．B
【详解】
如图所示：
设点P到准线的距离为，准线方程为，
所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为．
故选：B．
4．C
【详解】
依题意设抛物线方程为．因为焦点与原点之间的距离为2，所以，所以，所以抛物线方程为或．
故选：C．
5．B
【详解】
解：抛物线的准线与圆相切，
可得，解得．
故选：B．
6．C
【详解】
抛物线的焦点坐标为，
所以椭圆中，，．
故选：C．
7．B
【详解】
由抛物线方程，得其准线方程为.设，，由抛物线的定义，得，即，所以线段中点的横坐标为，线段的中点到轴的距离为．
故选：B.
8．C
【详解】
方法一：如图，分别过点，作准线的垂线，，垂足分别为，，过点作于点，交轴于点．由已知条件及抛物线的定义，得，，所以．在中，因为，，所以，所以，所以焦点到准线的距离为，即．
方法二：依题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，将其代入抛物线的方程，得．设，，则．因为，所以，即，，所以，解得．
故选：C.
9．A
解：因为C的方程为y2＝4x，所以F（1，0），
过A作准线x＝﹣1的垂线，垂足为E，过B作准线的垂线，垂足为D，过M作准线的垂线，垂足为K，
根据抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝|AE|+|BD|≥|AB|＝6，
则|MK|＝（|AE|+|BD|）≥3，
所以，线段MN的中点M到C的准线x＝﹣1的距离最小值为3，
故点M到y轴的距离最小值为3﹣1＝2.
故选：A.
10．(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为；(2)或.
【详解】
(1)因点在抛物线方程上，则，
所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：；
(2)显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：，
由消去x得：，设，则有，
于是得，解得，即直线AB：，
所以所在的直线方程：或.
11．（1）；（2）.
【详解】
(1)∵ 抛物线的顶点在原点，准线方程是，
∴ 可设抛物线的方程为，且p=4，
∴ 抛物线的标准方程为，
(2)∵双曲线与双曲线有共同的渐近线，
∴ 可设双曲线方程为，
又双曲线过点，
∴ ，
∴ ，
故双曲线的标准方程.
12．（1）y2=-12x；（2）y2=8x或x2=-y；（3）y2=±2x或y2=±18x.
【详解】
（1）双曲线方程为，其左顶点为(-3，0)，
由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)，则抛物线焦点为，，解得p=6，
所以所求抛物线方程为为y2=-12x；
（2）由于P(2，-4)在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设方程为y2=mx或x2=ny，
将P点坐标代入方程求得m=8，n=-1，
所以所求抛物线方程为y2=8x或x2=-y；
（3）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为：y2=2px(p≠0)，A(m，-3)，则抛物线准线为，
由抛物线定义得，又(-3)2=2pm，显然p，m同号，
从而得 或，解得p=±1或p=±9，
所以所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
13．A
【详解】
设点，
因为抛物线方程为x2=8y，
所以其准线方程为，
又因为抛物线上点P到焦点的距离为8，
由抛物线的定义得：，
交点，
所以点P的纵坐标为6，
故选：A
14．B
解：由题意可得抛物线开口向右，
焦点坐标，，准线方程，
由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，
即，解之可得.
故选：B.
15．D
【详解】
由于抛物线的准线是直线，所以它的焦点为.
故选：D
16．B
【详解】
由题意到准线的距离减去到轴距离等于1，所以，．
故选：B．
17．C
【详解】
因为点到对称轴的距离为6，
所以不妨设．
因为点到准线的距离为10，
所以，
解得或，
故选：C．
18．B
【详解】
因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，
所以，抛物线的方程为．设直线的方程为，
将此方程代入，整理得．
设，，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
故选：B．
19．A
【详解】
因为，
所以.
又是抛物线上一点，
所以，则是等边三角形.
又的周长为12，
所以，
故选：A
20．A
【详解】
抛物线焦点为，
因为点到抛物线的焦点的距离为，所以点到抛物线的准线的距离为，则点的横坐标为，将代入抛物线方程得，
即，所以直线的斜率为.
故选：A
21．A
【详解】
因为抛物线，所以 ，
由抛物线的定义得：，
解得，则，
所以的面积为，
故选：A
22．B
【详解】
由抛物线定义，等于到准线的距离，
因为，
所以，又，
从而，
又因为在抛物线上，
代入抛物线方程，
解得．
故抛物线方程为．
故选：B
23．D
【详解】
因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
24．B
【详解】
由可得抛物线的焦点F(1,0),准线方程为,
如图:过点P作准线 的垂线,垂足为,根据抛物线的定义可知PM=PF=4,
设,则,解得,将 代入可得,
所以△的面积为=.
故选B.
25．B
【详解】
如图所示，利用抛物线的定义知：
当三点共线时，的值最小，且最小值为
抛物线的准线方程：，

本题正确选项：
26．C
【详解】
抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，
因为是该抛物线上的两点，故，
所以，
又为梯形的中位线，所以，故到轴的距离为，故选C.
27．C
【详解】
设C：－＝1．
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，
∴|AB|＝2＝4，
∴a＝2，∴2a＝4．
∴C的实轴长为4．
28．B
【详解】
过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，
∵|PA|=m|PB|， ∴|PA|=m|PN| ∴，
设PA的倾斜角为，则，
当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，
∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1， ∴P（2，1），
∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1）， ∴双曲线的离心率为．
故选B．
29．A
【详解】
由题意，椭圆，即，则椭圆的焦点为，不妨取焦点抛物线，抛物线的焦点坐标为，椭圆与抛物线有相同的焦点，，即，则抛物线方程为，准线方程为，，由抛物线的定义得：到准线的距离为，即点的纵坐标，
又点在抛物线上，，不妨取点坐标，关于准线的对称点的坐标为，则，
即三点共线时，有最小值，最小值为，故选A.
30．B
【详解】
分析：设，则
，由利用韦达定理求解即可.
详解：设，
的焦点，
设过点的直线为，
，
，
，
，故选B.
31．AC
【详解】
设的横坐标为，由题意，，，解得或.
故选：AC
32．BCD
【详解】
由题意可得，点P到点M的距离比到直线l的距离小1，
即等价于“点P到点M的距离等于到直线：的距离”
故P点轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，
其方程是，故A错误
点P的轨迹方程是抛物线，它与直线没交点，
即两者是没有交会的轨迹，故B正确
要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线有交点，
把代入抛物线，
消去y并整理得
因为，无解，
所以不是“最远距离直线”，故C正确；
把代入抛物线，
消去y并整理得，
因为，有解，
所以是“最远距离直线”，故D正确．
故选：BCD．
33．BC
【详解】
由双曲线：的实轴长为2，可得，
又由抛物线：的焦点重合，可得双曲线的右焦点为，即，
则，可知双曲线：，
所以双曲线的离心率为，抛物线的准线方程是，
双曲线的渐近线方程为，
所以A不正确；B、C正确，
联立方程组 ，解得，
所以，所以D不正确.
故选：BC.
34．BD
【详解】
，故，，故，错误；
过作垂直于准线于，则，当共线时等号成立，故正确；
设，，设中点则，，
相减得到，即，故，故，点在抛物线上，不成立，故不存在，错误；
如图所示：为中点，故，故为直径的圆与轴相切，故正确；
故选：.
35．BCD
【详解】
根据题意，作图如下：
因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，
所以，又，
所以为等边三角形，B正确；
∠ABD＝90°，，过F作FC⊥AB交于C，
则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为，
所以A的横坐标为，
，
，所以A不正确，
焦点到准线的距离为，所以C正确；
抛物线的方程为：y2＝6x，所以D正确.
故选：BCD．
36．BCD
【详解】
选项A. 由抛物线的定义可得，解得，所以A不正确.
选项B. 所以，，抛物线方程为
将点坐标代入抛物线方程，得，所以，所以B正确
选项C. 当时，则，则直线的方程为：
则 ，得，解得或
所以，则，
同理当时，可得，所以C正确.
选项D.由上可知当时，

同理当时，，所以D正确.
故选：BCD
37．
解：设点，根据题意得：，
化简得动点P的轨迹方程为
38．或．
【详解】
由题意，设所求抛物线的方程为，交点，，
因为抛物线与圆相交的公共弦长为，
则，即．
由对称性知，代入上式，解得，
把代入，解得，
当时，点在抛物线上，所以；
当时，点在抛物线上，所以．
于是所求抛物线的方程为或．
故答案为：或．
39．（1）；（2）.
【详解】
（1）椭圆即，
，设，
则，
即，
所以三角形的面积为.
（2）设，在第一象限，
，
，所以，
代入抛物线方程得，
所以抛物线方程为.
40．（1）；（2）．
【详解】
（1）由己知，可设抛物线的方程为，又到焦点的距离是1，
∴点到准线的距离是1，又到轴的距离是，
∴，解得，则抛物线方程是．
（2）假设直线的斜率不存在，则直线的方程为，与联立可得交点、的坐标分别为，，易得，可知直线与直线不垂直，不满足题意，故假设不成立，
∴直线的斜率存在．设直线为，整理得，
设，，联立直线与抛物线的方程得，
消去，并整理得，于是，，
∴，
又，因此，即，
∴，解得或．
当时，直线的方程是，不满足，舍去．
当时，直线的方程是，即，
∴直线的方程是．
41．（1）；（2）8
【详解】
（1）一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离等于它到x=-1的距离，
所以该曲线是以点为焦点，以x=-1为准线的抛物线，
设其方程为，
所以；
（2）设直线与曲线交于，
联立方程，整理得，，
.
所以直线被曲线截得线段长为8.
42．（1）；（2）.
【详解】
（1）因为抛物线，
所以准线方程为；
（2）设直线，，
联立直线与抛物线得，
由韦达定理可得，
故，∴，
将点坐标代入圆方程得，解得(0舍去).
根据抛物线的对称性，
不妨设，联立，消去得，所以
所以，
坐标原点到直线的距离，
所以.
43．（1）；（2）．
解：（1）因为椭圆的焦点坐标为，．
又因为椭圆的焦点与抛物线：的焦点重合，
所以，即，
所以抛物线方程为．
（2）由（1）知，
设的方程为，
联立，消去得，
由得或．
设，，由韦达定理知，，
所以，
点到直线的距离
所以的面积为，
因为，所以，解得，
因为或，所以满足条件，
所以所求直线的方程为．