北师大版七年级上册5.1 认识一元一次方程导学案

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知识清单
知识点01 方程的有关概念
1.定义：含有未知数的等式叫做方程.
【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数．
2.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
知识点02 一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数．
知识点02 等式的性质
性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
考点精析
考点一 一元一次方程的概念
例1
下列①；②；③；④；⑤；⑥，其中是方程的有（ ）
【答案】B
【分析】判断是否为方程需要看两点，一是含有未知数、二是等式，根据这两点进行逐个判断即可．
【详解】解：①、④是方程，共有2个，
故选B
例2
①x﹣2；②0.3x＝1；③x2﹣4x＝3；④5x﹣1；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的个数是（ ）
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程可得答案．
【详解】解：①是分式方程，故①不符合题意；
②，即，符合一元一次方程的定义．故②符合题意；
③的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程．故③不符合题意；
④，即，符合一元一次方程的定义．故③符合题意；
⑤，即，符合一元一次方程的定义．故⑤符合题意；
⑥中含有2个未知数，属于二元一次方程．故⑥不符合题意．
综上所述，一元一次方程的个数是3个．
故选：B．
变1
下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（ ）
【答案】C
【分析】根据方程的定义对各小题进行逐一分析即可．
【详解】解：①2x-1=5符合方程的定义，故本小题正确；
②4+8=12不含有未知数，不是方程，故本小题错误；
③5y+8不是等式，故本小题错误；
④2x+3y=0符合方程的定义，故本小题正确；
⑤2x2+x=1符合方程的定义，故本小题正确；
⑥2x2-5x-1不是等式，故本小题错误．
综上，是方程的是①④⑤．
故选：C．
变2
下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一元一次方程有（ ）
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次是次的整式方程是一元一次方程；逐个进行判断即可．
【详解】解：下列方程：
①含有两个未知数，不是一元一次方程；
②含有分式，不是一元一次方程；
③是一元一次方程；
④是一元一次方程；
⑤，含有不等号，不是一元一次方程；
⑥，未知数的最高次不是次，不是一元一次方程；
⑦，是一元一次方程；
其中一元一次方程有③④⑦，共3个，
故选：C．
例3
关于x的方程是一元一次方程．则m，n应满足的条件为：m______，n______．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义可得，，再解即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程．
∴，，
解得：，，
故答案为：；；
例4
已知是关于x的一元一次方程，则m的值为（ ）
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程，
∴，
解得m＝−2．
故选：A．
例5
若方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
【答案】B
【分析】根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程可得|m|-3=0，-m+3≠0，再解即可．
【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴|m|-3=0且-m+3≠0，
∴m=±3且m≠3，
∴m=-3．
故选：B．
变3
已知方程是关于的一元一次方程，则 ．
【答案】-1．
【分析】根据一元一次方程的定义和已知条件得出k-1≠0且|k|=1，再求出答案即可．
【解答】解：∵方程（k-1）x|k|-2020=2021是关于x的一元一次方程，
∴k-1≠0且|k|=1，
解得：k=-1，
故答案为：-1．
变4
已知方程是关于的一元一次方程，则 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0），据此可得出关于m的方程，继而可求出m的值．
【解答】解：根据题意，得
|m|-2=1，且m-3≠0，
解得，m=-3；
故答案为：-3．
考点二 一元一次方程的解
类型一 一元一次方程的解
例1
已知是关于x的方程的解，则a的值为（ ）
【答案】B
【分析】直接将代入中即可得出的值．
【详解】解：∵是关于x的方程的解，
∴，
解得：，
故选：B．
例2
下列方程的解为的是（ ）
【答案】C
【分析】根据一元一次方程解的定义，逐项验证即可．
【详解】解：A．把代入得到左边，右边，左边不等于右边，故选项不符合题意；
B．把代入得到左边，左边不等于右边，故选项不符合题意；
C．把代入得到左边，左边等于右边，故选项符合题意；
D．把代入得到左边，左边不等于右边，故选项不符合题意．
故选：C．
变1
若关于的方程的解是，则的值是（ ）
【答案】B
【分析】使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．将方程的解代入方程可得关于a的一元一次方程，从而可求出a的值．
【详解】解：∵关于的方程的解是，
∴
解得
故选B
变2
下列方程后所列出的解不正确的是（ ）
【答案】C
【分析】要知道所列出的解是不是前面方程的解，只需要代入验证是否能取等号．
【详解】解：A．当时，方程左边右边，所以A正确，不符合题意；
B．当时，方程左边，右边，左边=右边，所以B正确，不符合题意；
C．当时，方程左边右边，所以C不正确，符合题意；
D．当时，方程左边右边，所以D正确，不符合题意．
故选C．
类型二 一元一次方程无解的条件
例1
如果关于x的方程（a+1）x＝+1无解，那么a的取值范围是（ ）
【答案】A
【分析】根据一元一次方程无解，令未知数的系数为0，进而确定出a的范围即可．
【详解】解：∵关于x的方程（a+1）x＝+1无解，
∴a+1＝0，
解得：a＝﹣1．
故选：A．
例2
如果关于x的方程（m2﹣1）x＝1无实数解，那么m满足的条件是_______．
【答案】±1
【分析】令未知数的系数为0，即可得出结论．
【解答】解：当m2﹣1＝0时，方程无实数解，
∴m＝±1．
故答案为：±1．
变1
如果关于x的方程无解，那么满足的条件是_______．
【答案】m=1
【分析】根据一元一次方程无解，则，即可解答．
【详解】解：∵方程无解，
∴ ，
∴m=1，
故答案为：m=1．
变2
如果关于x的方程无解，那么a满足的条件是_______．
【答案】a=3
类型三 整体代入法的应用
例1
若x=3是关于x的一元一次方程mx-n=3的解，则代数式10-3m＋n的值是_______．
【答案】7
【分析】根据题意得到﹣3m+n＝﹣3，然后代入代数式10﹣3m＋n求解即可．
【详解】解：由题意得：3m﹣n＝3，
∴﹣3m+n＝﹣3，
∴原式＝10﹣3＝7．
故答案为：7．
例2
已知x=-1是关于x的方程的解，则代数式100-3a+3b=_______．
【答案】106
【分析】把x=-1代入2x+ax+b=0，求得-a+b=2，再把100-3a+3b整理后整体代入求值．
【详解】∵x= - 1是关于x的方程的解，
∴-2-a+b=0，
∴-a+b=2，
∴．
故答案为106．
变1
若是一元一次方程的解，则的值是（ ）
【答案】C
【分析】把x=2代入方程mx-n=3得2m-n=3，再把2-6m+3n变形为2-3（2m-n），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x=2代入方程mx-n=3得2m-n=3，
所以2-6m+3n=2-3（2m-n）=2-3×3=2-9=-7．
故选：C．
变2
若是关于的方程的解，则的值为（ ）
【答案】B
【分析】将x=3代入ax-b=5中得3a-b=5，将该整体代入6a-2b-2中即可得出答案．
【详解】解：将x=3代入ax-b=5中得：
3a-b=5，
所以6a-2b-2=2（3a-b）-2=2×5-2=8．
故选：B．
考点三 等式的性质
类型一 等式的性质（1）
例1
下列变形符合等式性质的是（ ）
【答案】D
【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 如果，那么 ，故该选项不正确，不符合题意；
B. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意；
C. 如果，那么 ，故该选项不正确，不符合题意；
D. 如果，那么，故该选项正确，符合题意．
故选D．
例2
下列等式一定成立的是（ ）
【答案】C
【分析】根据等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A.若，当时，和不一定相等，故原等式不一定成立；
B.若，只有当时，才有，故原等式不一定成立；
C. 若，则，一定成立；
D. 若，当时，有，故原等式不一定成立；
故选：C．
例3
下列判断错误的是（ ）
【答案】C
例4
下列变形中，正确的是（ ）
【答案】D
变1
下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）
【答案】B
【分析】根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为零），等式仍成立．
【详解】解：A．，则，此选项正确；
B．若，当时，此选项错误；
C．若，则，此选项正确；
D．若，则，此选项正确；
故选：B．
变2
下列说法错误的是（ ）
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质依次判断即可．
【详解】A．
两边同时乘以-2，得-2a=-2b，
两边同时加3，得3-2a=3-2b，
故A选项正确，不符合题意；
B．
两边同时乘以c，得a=b
故B选项正确，不符合题意；
C． 若则或a=-b;
故C选项错误，符合题意；
D．
两边同时乘以，c得ac=bc，
故D选项正确，不符合题意；
故选：C
变3
下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
【答案】B
变4
下列等式变形错误的是（ ）
【答案】C
【分析】利用等式的性质对每个式子进行变形即可解答．
【详解】解：A. 若a=b，∵，∴正确，该选项不符合题意；
B. 若a=b，则正确，该选项不符合题意；
C. 若，则|a|=|b|，则C选错误，该选项符合题意；
D. 若a=b，，则正确，该选不项符合题意.
故选：C
类型二 等式的性质（2）
例1
假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天
平也保持平衡，那么“？”处应放（ ）个■．

【分析】根据前两架天平保持平衡，可得：1个三角形等于1个圆加1个正方形，2个圆等于1个三角形和1个正方形，所以2个圆等于1个圆加2个正方形，据此推得1个圆＝2个正方形，所以要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放6个■．
【解答】解：∵1个▲＝1个●+1个■，2个●＝1个▲+1个■，
∴2个●＝（1个●+1个■）+1个■＝1个●+2个■，
∴1个●＝2个■，
∴3个●＝6个■，
∴如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放6个■．
故选：B．
例2
设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也
平衡，那么以下方案不正确的是（ ）

【答案】A
【分析】根据第一个天平可得2●=▲+■，根据第二个天平可得●+▲=■，可得出答案．
【解答】解：根据图示可得：
2●=▲+■①，
●+▲=■②，
由①②可得●=2▲，■=3▲，
则■+●=5▲=2●+▲=●+3▲．
故选：A．
变1
设“●、▲、■”分别表示三种不同的物体，如图（1），（2）所示，天平保持平衡，如果要使得图
（3）中的天平也保持平衡，那么在右盘中应该放“■”的个数为（ ）

【答案】B
【分析】首先根据图示可知，2×●=▲+■（1），●+■=▲（2），据此判断出●、▲与■的关系，然后判断出结果．
【解答】解：根据图示可得，
2×●=▲+■（1），
●+■=▲（2），
由（1），（2）可得，
●=2■，▲=3■，
∴●+▲=2■+3■=5■，
故选：B．
变2
下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（ ）

【答案】A
【分析】设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，根据天平平衡的条件可得2a=5b，2c=3b，再根据等式的性质得到3a=5c即可．
【详解】解：设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，由题意得，
2a=5b，2c=3b，
即a=b，c=b，
∴3a=b，5c=b，
即3a=5c，
∴右侧秤盘上所放正方体的个数应为5，
故选：A．
课后强化
1.下列是一元一次方程的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧
【答案】C
2.下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其
中是一元一次方程的有（ ）
【答案】B
3.已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的特点求出的值．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是（是常数且），高于一次的项系数是．
【详解】解：由一元一次方程的特点得：，
解得：．
故答案为：．
4.若nx2﹣xm-1+1＝3是关于x的一元一次方程，则m＝ ，n＝ ．
【分析】根据一元一次方程的定义得出n＝0，m﹣1＝1，再求出m即可．
【解答】解：∵nx2﹣xm﹣1+1＝3是关于x的一元一次方程，
∴n＝0，m﹣1＝1，
∴m＝2，
故答案为：2，0．
5.已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0），即可求解．
【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴，
解得．
故选B．
6.已知x=2是方程的解，则m的值是______．
【答案】2
【分析】把代入已知方程列出关于的新方程，通过解新方程即可求得的值．
【详解】解：依题意，把代入，得 ，
解得．
故答案为：2．
7.如果x=1是关于x的方程3x+4m-7=0的解，则m的值是（ ）
【答案】A
【分析】将x＝1代入方程3x＋4m−7＝0，即可求m的值．
【详解】解：∵x＝1是关于x的方程3x＋4m−7＝0的解，
∴3＋4m−7＝0，
∴m＝1，
故选：A．
8.已知是关于的一元一次方程的解，则的值为______．
【答案】2
【分析】根据方程的解为x=3，得到3m+n=1，变形2×（3m+n）=2，整理即可．
【详解】∵是关于的一元一次方程的解，
∴3m+n=1，
∴2×（3m+n）=2，
即=2，
故答案为：2．
9.已知，则代数式的值为（ ）
【答案】C
【分析】将变形为与所求代数式相关的式子，即可代入求解．
【详解】将等式两边乘以，得，
则代数式，
故答案为：C．
10.下列各式运用等式的性质变形，错误的是（ ）
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】A．两边都乘以，结果不变，故A正确，不符合题意；
B．两边都乘以，结果不变，故B正确，不符合题意；
C．当等于零时，除以无意义，故C错误，符合题意；
D．因为，故等式两边可都除以，结果不变，故D正确，不符合题意；
故选：C
11.下列等式的变形不正确的是（ ）
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质，等式两边同时加上或者减去同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，以此判断即可得出正确选项．
【详解】A、若2a﹣3＝b﹣3，等式两边同时＋3，则2a＝b，选项正确，不符合题意；
B、若x＝y，因为，等式两边同时除以，则，选项正确，不符合题意；
C、若（m2+1）a＝﹣（m2+1），因为，等式两边同时除以，则a＝-1，选项错误，符合题意；
D、若mx＝my，则等式两边×（-1），得﹣mx＝﹣my，两边同时+1，则1﹣mx＝1﹣my，选项正确，不符合题意；
故选C．
12.下列等式变形错误的是（ ）
【答案】D
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A．∵x=y，∴x+5=y+5，正确；
B．∵x=y，∴mx=my，正确；
C．∵，∴等式两边都乘a得：x=y，正确；
D．当m=0时，由m2x=m2y不能推出x=y，错误；
故选：D．
13.如图，●，■，▲分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三果天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放的物体是（ ）

【答案】D
【分析】设●，■，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，根据前面两幅图可以得到，进而推出，，由此即可得到答案．
【详解】解：设●，■，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，
由左边第一幅图可知①，由中间一幅图可知②，
∴得，
∴，
∴，
∴，
故选D ．
课程标准
1.掌握一元一次方程的定义；
2.掌握一元一次方程的解的概念；
3.掌握等式的性质及其应用.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A．2
B．3
C．4
D．5
A．①②④⑤
B．①②⑤
C．①④⑤
D．6个都不是
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
A．-2
B．
C．2
D．0
A．3
B．-3
C．±3
D．
A．
B．1
C．
D．3
A．
B．
C．
D．
A．2
B．3
C．4
D．5
A．
B．
C．
D．
A．a=−1
B．a>−1
C．a≠−1
D．任意实数
A．11
B．-11
C．-7
D．7
A．2
B．8
C．-3
D．-8
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么x=4
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
A．若则
B．若则
C．若则
D．若则
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
A．若a=b，则
B．若a=b，则
C．若，则a=b
D．若a=b，则
A．5
B．6
C．7
D．8
A．
B．
C．
D．
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
A．5
B．4
C．3
D．2
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
A．2
B．-3
C．
D．1
A．1
B．-1
C．6
D．-6
A．3021
B．1021
C．21
D．4021
A．若，则a=b
B．若，则a=b
C．若，则a=b
D．若，则a=b
A．若2a-3=b-3，则2a=b
B．若x=y，则
C．若（m2+1）a=-（m2+1），则a=1
D．若mx=my，则1-mx=1-my
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．，则
A．
B．
C．
D．