七年级上册2.1 有理数学案

这是一份七年级上册2.1 有理数学案，文件包含第07讲-有理数教师版帮课堂2022-2023学年七年级数学上册同步精品讲义北师大版docx、第07讲-有理数学生版帮课堂2022-2023学年七年级数学上册同步精品讲义北师大版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共21页， 欢迎下载使用。


知识点01 正数和负数
正数：比 大的数；负数：在正数前面加上 的数， 既不是正数，也不是负数.
【答案】0；负号；0.
知识点02 相反意义的量
（1）在同一个问题中，用“+”和 表示具有相反意义的量；
（2）若没有规定哪个量为正或负，习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等记为 ，把“后退、下降、支出、零下温度”等记为 ；相反意义的量一是意义 ，二是要有数量.
【答案】-；+；-；相反.
知识点03 有理数的分类
（1）按照性质分类：
（2）按照符号分类：
（3）小数分类：
和 统称为非负数； 和 统称为非正数.
【答案】正数；0；负数；0.
例1
在1、﹣2、﹣5.6、﹣0、、、π中负数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据负数的定义，直接判断即可．
【解答】解：在1、﹣2、﹣5.6、﹣0、、、π中负数有﹣2、﹣5.6、共3个，
故选：A．
例2
下列结论中正确的是（ ）
【答案】选D.
变1
给出下列各数：-3，0，+5，，+3.1，，2 00 4，+2 00 8．其中是负数的有（ ）
【答案】选B.
变2
下列说法中，正确的为（ ）
【分析】根据正数和负数的定义判断即可．
【解答】解：A、0既不是正数也不是负数，故本选项不合题意；
B、负数比0小，故本选项不合题意；
C、正数都比0大，说法正确，故本选项符合题意；
D、当a≤0时，﹣a是非负数，故本选项不合题意；
故选：C．
变3
以下各数：，0.6，-100，，0，，368中，正数有_________________；负数有_________________，既不是正数也不是负数的是______．
【答案】0.6，，368；，-100，；0.
例1
仔细思考以下各对量：
①胜二局与负三局；②气温为与气温升高；③盈利5万元与亏损5万元；④增加10%与减少20%．其中具有相反意义的量有（ ）
【解答】（1）C；[① = 3 \* GB3 ③④具有相反意义]；
例2
把向北移动记作“+”，向南移动记作“﹣”，下列说法正确的是（ ）
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
【解答】解：A、﹣5米表示向南移动了5米，故本选项不合题意；
B、+5米表示向北移动了5米，故本选项不合题意；
C、向北移动﹣5米表示向南移动5米，故本选项符合题意；
D、向南移动5米，也可记作向北移动﹣5米，故本选项不合题意；
故选：C．
变1
我国是最早使用负数的国家，在我国著名的数学书《九章算术》中，明确提出了“正负术”．如果盈利20元记作“+20元”，那么亏损30元记作（ ）
【答案】A
【分析】利用相反意义量的定义判定即可．
【解答】解：如果盈利20元记作“+20元”，那么亏损30元记作”-30元“，
故选：A．
变2
2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆地球．月球表面白天温度约为零上180℃，可记作+180℃，则夜间温度约为零下150℃，可记作______℃．
【答案】-150．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：月球表面白天温度约为零上180℃，可记作+180℃，则夜间温度约为零下150℃，可记作-150℃．
故答案为：-150．
变3
如图所示的是某用户微信支付情况，表示的意思是（ ）

【答案】A
【解析】
【分析】
根据用正负数表示两种具有相反意义的量解答即可．
【详解】
解：如图某用户微信支付情况，−100表示的意思是发出100元红包
故选：A．
例1
某品牌的大米包装袋上的质量标识为：“50±0.5kg”．质检人员随机抽测了四袋该品牌大米的质量，依次记录为：50.4kg，50.1kg，49.7kg，49.4kg，则所抽测的四袋大米中，符合该品牌大米包装袋上的质量标识要求的有（ ）
【答案】B
【分析】先求出大米的合格重量的范围即可判断．
【解答】解：质量标识为“50±0.5kg”表示50上下0.5即49.5到50.5之间为合格；
分析选项可得49.4 kg不在此范围内，不合格；其余3袋在此范围内，合格．
故选：B．
例2
如图，是图纸上一个零件的标注， 表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际产品的直径最大可以是30.03mm，最小可以是（ ）

【答案】D
【分析】根据标注可知，零件直径标准30mm，最大多0.03mm，最小少0.02mm，则最小为30-0.02=29.98mm．
【解答】解：由零件标注可知，零件的直径范围最大30+0.03mm，最小30-0.02mm，
∴30-0.02=29.98（mm）；
故选：D．
变1
足球是全球最具影响力的单项体育运动，它能增强人们的体质，培养团队意识和拼搏精神．足球的质量有严格标准，如果将超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，以下四个足球质量最接近标准的是（ ）
【答案】C.
【分析】由已知和要求，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的球．
【解答】解：通过求4个数的绝对值得：
|-1.2|=1.2，|+0.8|=0.8，|-0.5|=0.5，|+1.4|=1.4，
0.5＜0.8＜1.2＜1.4
-0.5的绝对值最小．
所以这个球是最接近标准的球．
故选：C．
变2
某圆形零件的直径要求是50±0.2mm，下表是6个已生产出来的零件圆孔直径检测结果（以50mm
为标准则）则在这6个产品中合格的有（ ）
【分析】根据直径要求是50±0.2mm，产品若要合格，则|误差|≤0.2，据表格可知|0|＜0.2；|+0.1|＜0.2；|﹣0.05|＜0.2；|+0.12|＜0.2，所以3号、4号、5号、6号产品合格．
【解答】解：根据直径要求是50±0.2mm，即49.8mm～50.2mm都合格，误差±0.2mm内也都合格，
∴有4个，
故选：C．
例3
纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北
京时间晚的时数），当北京9月12日8时，纽约的时间是（ ）
【分析】根据题意，得纽约比北京时间要晚13个小时，也就是9月11日19时．
【解答】解：纽约时间是：9月12日8时﹣13小时＝9月11日19时．
故选：B．
例4
下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若下表给出的是国外四个城市与
北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（ ）

变3
下表是国外几个城市与北京的时差：（“+”表示早于北京时间，“﹣”表示迟于北京时间）
如果现在是北京时间2021年1月10日下午5：00．
（1）现在悉尼时间是多少？伦敦时间是多少？
（2）此时在北京的小明想给在温哥华出差的妈妈打电话，你认为合适吗？请说明理由．
【分析】（1）根据有理数加减法的计算法则，直接计算可求解；
（2）合不合适主要是看时间是不是正好在休息时间，由此判断即可．
【解答】解：（1）∵北京时间2021年1月10日下午5：00，
∴5+2＝7，即悉尼时间为2021年1月10日下午7：00；
17﹣8＝9，即伦敦时间为2021年1月10日上午9：00；
（2）17﹣16＝1，
此时温哥华时间为凌晨1：00，不适合打电话．
考点四 有理数的分类
例1
下列说法正确的是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数的意义和分类逐项进行判断即可．
【详解】
解：A．有理数分为正有理数、0、负有理数，故此选项不符合题意；
B．0既不是正数，也不是负数，是最小的非负整数，故此选项符合题意；
C．0.5就是十分之五，是分数，是有理数，故此选项不符合题意；
D．0不仅可以表示没有，也可以表示实际的意义，如，在标准条件下，冰与水的混合物的冰与水的混合物的温度为，故此项不符合题意．
故选：B．
例2
下列说法正确的是（ ）
【答案】B
【分析】应该正整数和负整数数统称为有理数，正数和分数包括部分无理数，因此，A选项不正确；0既不是正数也不是负数，但它是整数，因此，B选项正确、D选项不正确；有理数中没有最大的数，也没有最小的数，因此，C选项不正确．
【解答】解：0是整数但不是正数正确．
故选：B．
变1
下列说法不正确的是（ ）
【答案】C
【分析】根据有理数的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、有理数可分为正整数、正分数、0、负整数、负分数，正确；
B、一个有理数不是分数就是整数，正确；
C、一个有理数不是正数就是负数，还有可能是0，错误；
D、若一个数是整数，则这个数一定是有理数，正确；
故选：C．
变2
下列说法正确的是（ ）
【答案】D
【分析】根据有理数的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、整数和分数统称有理数，错误；
B、一个有理数不是分数就是整数有理数包括正数、负数、0，错误；
C、整数还有负整数和0，错误；
D若一个数是整数，数一定是有理数则这个，正确；
故选：D．
变3
下面说法中，不正确的是（ ）
【答案】C
【分析】自然数是大于等于0的整数，0是最小的自然数A正确；没有最小的正有理数，故B正确；-1是最大的负整数，故C不正确；无最大非负数，D正确．
【解答】解：A、0是最小的正整数，故本选项正确；
B、没有最小的正有理数，故本选项正确；
C、-1是最大的负整数，故本选项错误；
D、写出自然数列，0，1，2，3，n，易知无最大非负数，故本选项正确．
故选：C．
例3
在数，-0.4，，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），120%，，100，这9个数中，有理数有______个．
【答案】7
【解答】解：根据有理数的定义，-0.4，，3.14，120%，，100，，这7个是有理数.
例4
把下列各数填入相应的大括号内上：.
有理数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
非正数集合：{ …}.
【答案】有理数集合：{}；
整数集合：{}；
非正数集合：{}.
变4
把下列各数填在相应的集合里：3，﹣1，﹣2，0.5，，﹣0.75，0，30%，π．
负数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
正有理数集合：{ …}．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据有理数的定义分类即可．
【详解】
解：负数集合：{﹣1，﹣2，，﹣0.75…}；
整数集合：{3，﹣1，﹣2，0…}；
正有理数集合：{3，0.5，，30%…}．
故答案为：﹣1，﹣2，，﹣0.75；3，﹣1，﹣2，0；3，0.5，，30%．
变5
把下列各数填入相应的集合内：，-3.5，+7，0，，0.3，15%，-16.
分数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
非正数集合：{ …}．
【答案】；；
【解析】
【分析】
根据有理数的分类“有理数包括整数（正整数，0和负整数）和分数（正分数个负分数）”进行判断即可得．
【详解】
解：由题意得，
分数的集合：；
整数的集合： ；
非正数集合：．
课后强化
1.在﹣1，0，+2020，，﹣0.27中，负数有（ ）
【分析】根据负数小于0判断即可．
【解答】解：在﹣1，0，+2020，，﹣0.27中，负数有﹣1，，﹣0.27共3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正数和负数，熟记定义是解答本题的关键．
2.在﹣2，﹣1.5，1，0，这些数中，是正数的有（ ）
【分析】根据正数和负数的定义解答即可．正数大于0，负数小于0．
【解答】解：在﹣2，﹣1.5，1，0，这些数中，是正数的有1，共2个．
故选：B．
3.下列说法正确的个数是（ ）
①加正号的数是正数，加负号的数是负数；②任意一个正数，前面加上“－”，就是一个负数；③0是最小的正数； ④大于零的数是正数；⑤字母a既是正数，又是负数．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正数、负数的概念逐个判断即可．
【详解】
解：对于①：加正号的数不一定是正数，如+(-5)=-5是负数，加负号的数不一定是负数，如-(-5)=5是正数，故①错误；
对于②：任意一个正数，前面加上“-”，就是一个负数，故②正确；
对于③：0既不是正数，也不是负数，故③错误；
对于④：大于0的数是正数，故④正确；
对于⑤：如果a是正数，就必定不是负数，故⑤错误；
所以正确的有：②、④，
故选：C．
4.通常，我们规定海平面的海拔高度为0m，高于海平面的为正．珠穆朗玛峰的海拔高度为_______m，吐鲁番盆地的海拔高度为_______m．

【答案】 +8844.43 －155
【解析】
【分析】
根据负数的意义，可得海平面以上记作“+”，则海平面以下记作“-”，据此解答即可．
【详解】
解：根据分析，可得
珠穆朗玛峰的海拔高度为+8844.43m，吐鲁番盆地的海拔高度为-155m．
故答案为：+8844.43、-155．
5.《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正
数和负数．若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣8℃表示气温为（ ）
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．
【解答】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣8℃表示气温为零下8℃．
故选：B．
6.一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个，结
果如下：第一个为0.13mm，第二个为﹣0.12mm，第三个为﹣0.15mm，第四个为0.11mm，则质量最差的零
件为（ ）
【分析】此题是理解误差的大小，无论正负，绝对值最小的零件质量最好，反之，绝对值最大的零件质量最差．
【解答】解：∵|0.11|＜|﹣0.12|＜|0.13|＜|﹣0.15|，
∴质量最差的零件是第三个．
故选：C．
【点评】此题考查的知识点是正数负数和绝对值，明确绝对值最大的零件与规定长度偏差最大是解题的关键．
7.綦江区永辉超市出售的三种品牌大米袋上，分别标有质量为（10±0.2）kg，（10±0.3）kg，（10±0.25）kg
的字样，从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差（ ）
【分析】根据正负数的意义，分别求出每种品牌的大米袋质量最多相差多少，再比较即可．
【解答】解：根据题意可得：它们的质量相差最多的是标有（10±0.3）kg的；其质量最多相差（10+0.3）﹣（10﹣0.3）＝0.6（kg）．
故选：D．
8.下列说法错误的是（ ）
【答案】B
【分析】按照有理数的分类解答即可．
【解答】解：A、零既不是正数也不是负数，说法正确，故本选项不合题意；
B、-a不一定是负数，如-（-1）=1，故原说法错误，故本选项符合题意；
C、有理数不是整数就是分数，说法正确，故本选项不合题意；
D、正整数、零和负整数统称为整数，说法正确，故本选项不合题意．
故选：B．
9.在数中，负分数有______________________，非负整数有__________________________．
【答案】
【解析】
【分析】
按照有理数的分类填写．
【详解】
解：负分数有，
非负整数有，
故答案为：；．
10.在，，0，-1，0.4，π，2，-3，-6这些数中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，则m-n-k的值为（ ）
【答案】D
【解答】解：根据题意，有理数共有8个，故m=8，自然数有2个，故n=2，分数有2个，故k=2.所以m-n-k=8-2-2=4.
故选D.
11.把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开）：6，-3，2.4，，0，-3.14，，+2，，-1.414，-17，，．
正数：{ …}；
非负整数：{ …}；
负分数：{ …}．
【答案】正数：{6，2.4，，+2，}；
非负整数：{6，0，+2}；
负分数：{，-3.14，，-1.414}．
课程标准
1.掌握正数和负数的数学含义；
2.掌握“0”的含义；
3.掌握有理数的概念；
4.掌握有理数的分类；
5.能够正确理解“0”的含义；
6.能够正确的判断有理数的分类.
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
A．0既是正数，又是负数
B．0是最小的正数
C．0是最大的负数
D．0既不是正数，也不是负数
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
A．一个数不是正数就是负数
B．0是最小的数
C．正数都比0大
D．﹣a是负数
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
A．﹣5米表示向北移动了5米
B．+5米表示向南移动了5米
C．向北移动﹣5米表示向南移动5米
D．向南移动5米，也可记作向南移动﹣5米
A．-30元
B．30元
C．50元
D．-50元
A．发出100元红包
B．收入100元
C．余额100元
D．抢到100元红包
A．4袋
B．3袋
C．2袋
D．1袋
A．30mm
B．30.03mm
C．30.02mm
D．29.98mm
A．
B．
C．
D．
序号
1
2
3
4
5
6
误差（mm）
﹣0.3
﹣0.5
0
+0.1
﹣0.05
+0.12
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
A．9月11日5时
B．9月11日19时
C．9月12日19时
D．9月12日21时
城市
时差/h
纽约
﹣13
悉尼
+2
伦敦
﹣8
罗马
﹣7
A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京
B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约
C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼
D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约
城市
悉尼
莫斯科
伦敦
温哥华
时差（时）
+2
﹣5
﹣8
﹣16
A．正有理数和负有理数组成全体有理数
B．零既不是正数，也不是负数
C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数
D．在有理数中，零的意义表示没有
A．正数和负数统称有理数
B．0是整数但不是正数
C．0是最小的数
D．0是最小的正数
A．有理数可分为正整数、正分数、0、负整数、负分数
B．一个有理数不是分数就是整数
C．一个有理数不是正数就是负数
D．若一个数是整数，则这个数一定是有理数
A．整数、分数和负数统称为有理数
B．有理数包括正数和负数
C．正整数都是整数，整数都是正整数
D．0是整数，也是自然数
A．有最小的正整数
B．没有最小的正有理数
C．没有最大的负整数
D．没有最大的非负数
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A．0
B．1
C．2
D．3
A．零上8℃
B．零下8℃
C．零上2℃
D．零下2℃
A．第一个
B．第二个
C．第三个
D．第四个
A．0.4kg
B．0.5kg
C．0.55kg
D．0.6kg
A．零既不是正数也不是负数
B．-a一定是负数
C．有理数不是整数就是分数
D．正整数、零和负整数统称为整数
A．3
B．2
C．1
D．4