2023-2024年人教A版2019必修第二、三册 专题练习6.1-6.2 计数原理与排列组合 (学生版+教师版)

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计数原理与排列组合1分类加法计数原理与分步乘法计数原理① 分类加法计数原理做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N=m1+m2+⋯+mn种不同的方法.② 分步乘法计数原理做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1× m2×⋯× mn种不同的方法.③ 分类计数原、理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事.分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．Eg 小芳要去party，衣柜里有3件连衣裙、4件上衣和5件裙子，那她有多少种搭配的方式去party呢？显然是3+4×5=23种方式.2排列① 排列概念从n个不同元素中，任取m(m≤ n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个排列.② 排列数 从n个不同元素中，任取m(m≤ n)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号Anm 表示.其中Anm=nn-1n-2⋯n-m+1 (m , n∈ N* , m≤n)或Anm=n !n-m! ③ 阶乘 n !表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘 规定0 !=1．3 组合① 组合概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.② 组合数从n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cnm表示．其中Cnm=AnmAmm=n-1n-2⋯(n-m+1)m!=n !m!n-m!(n , m∈N* , 且 m≤ n)③ 排列与组合的区别(1) 排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”，比如 (Ⅰ)一个班有50个学生，选两个班长有多少种选法？ (Ⅱ)一个班有50个学生，选正副班长各1人有多少种选法？显然问题Ⅰ，Ⅱ的答案是C502,A502，选正副班长就意味着：选出的班长还要讲“顺序”.(2) 从n个元素中取出m个元素的排列(排列数Anm)可以理解为分为两步：第一步 从n个元素中取出m个元素组合，得到组合数Cnm；第二步 再对m个元素进行排列，得到排列数Amm，根据分步乘法计数原理得到Anm=CnmAmm⇒Cnm=AnmAmm③ 组合数的性质① 规定: Cn0=1② Cnm=Cnn-m(比如C108=C102，从10个抽出8个组合的组合数与从10个抽出2个组合的组合数相等) ③ Cn+1m=Cnm+Cnm-1(从n+1个中抽出m个Cn+1m=抽不到元素A的组合数Cnm+抽到元素A的组合数Cnm-1)④ rCnr=nCn-1r-1(rCnr=r∙n !r!n-r!=n !r-1!n-r! ， nCn-1r-1=n∙n-1!r-1!n-r!=n !r-1!n-r!)PS 若能理解每个公式是怎么推导的，有助于你灵活运用它们！【题型一】 计数原理【典题1】1 8本不同的书，任选3本分给3个学生，每人一本有多少种不同的分法？(2)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？3 5名运动员争夺3项比赛冠军(每项比赛无并列冠军)，那获得冠军有多少种可能?4 5名运动员报名参加3项比赛，每人只能参加一项，那有多少种报名方法？ 【典题2】 某广场中心建造一个花圃，花圃分成5个部分(如图)，现有4种不同颜色的花可以栽种，若要求每部分必须栽种一种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有________种．(用数字作答)巩固练习1(★) 有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？2(★) 有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？3(★) 将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是　 　 4(★★) 如图，用4种不同的颜色给三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的作色方法共有　 　种． 5(★★) 如图，用四种不同的颜色给图中的A , B , C , D , E , F , G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有　 　【题型二】 排列组合数的性质【典题1】 解方程(1)C9x=C92x-3； (2)A8x=6A8x-2．【典题2】 化简Amm+Am+1m+…+A2mm．巩固练习1(★) [多选题]下列等式正确的是(　　)A．(n+1)Anm=An+1m+1 B．n!n(n-1)=(n－2)!C．Cnm=Anmn! D．1n-mAnm+1=Anm 2(★★) 求证：kn-kCn-kk=Cn-k-1k-1(n , k∈N*)；3(★★★) 设m , n∈N* , n≥m，求证：(m+1)Cmm+(m+2)Cm+1m+(m+3)Cm+2m+⋯+nCn-1m+(n+1)Cnm=(m+1)Cn+2m+2．【题型三】 排列组合解题策略方法1 特殊元素和特殊位置优先策略遇到有特殊要求的元素或位置，可以先优先考虑处理他们.【典题1】由0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.【典题2】有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？【练习】6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法. 方法2 相邻元素捆绑策略若某几个元素要求相邻，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并一起视为一个复合元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意复合元素内部也必须排列.【典题1】7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？【练习】小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排．若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为 . 方法3 不相邻问题插空策略若某些元素要求不能相邻，则采取插空法.即先把没有要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端.【典题1】一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？【练习】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 方法4 元素相同问题隔板策略将n个相同的元素分成m份(n , m为正整数)，每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为 Cn-1m-1.【典题1】有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？ 【练习】将12个相同的小球分给甲、乙、丙三个人，其中甲至少1个，乙至少2个，丙至少 3个，则共有多少种不同的分法？ 方法5 定序问题倍缩或空位插入策略对某些元素的顺序要求是固定的，可用倍缩法或者空位法.【典题1】 7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？【练习】停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？方法6 排列组合混合问题先选后排策略【典题1】 有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法.【练习】一个班有6名战士，其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正副班长有且只有1人参加，则不同的选法有 种方法7 平均分组问题除法策略【典题1】 将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，则有多少种不同的分配方案？【练习1】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则有多少种不同的分配方案？【练习2】6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？方法8 环排问题线排策略一般地，n个不同元素作圆形排列，共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有Cmn∙m-1!=1mAnm.【典题1】 7人围桌而坐，共有多少种坐法?【练习】6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？方法9 分类讨论策略 【典题1】 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的分法？【典题2】 已知a1 , a2 , … , a5为1 , 2 , 3 , 4 , 5的任意一个排列．则满足：对于任意n∈{1 , 2 , 3 , 4 , 5}，都有a1+a2+…+an≤na1的排列a1 , a2 , … , a5有多少个？【练习】某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是　 　．方法10 正难则反总体淘汰策略若题目从其正面入手比较麻烦，可能分类太多或不确定，或不清楚是否出现“重复计数”，则可考虑从反面入手用“淘汰法”.【典题1】从0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种？【典题2】 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法巩固练习以下每题尽量用多种方法求解.1(★★) 【多选题】为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．则(　　)A．某学生从中选3门，共有30种选法 B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 2(★★) 将6个数2 , 0 , 1 , 9 , 20 , 19按任意次序排成一行，拼成一个8位数(首位不为0)，则产生的不同的8位数的个数是(　　)A．546 B．498 C．516 D．5343(★★) A , B , C , D , E , F六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次．A , B , C三人去询问比赛结果，裁判对A说：“你和B都不是第一名”；对B说：“你不是最差的”；对C说：“你比A , B的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有　 　种不同情况． 4(★★★) 设集合A={(x1 , x2 , x3 , x4 , x5)|xi∈{-1 , 0 , 1} , i=1 , 2 , 3 , 4 , 5}，则集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”元素个数为　 　． 5(★★★) 一个含有6项的数列{an}满足a1=3，ak+1－ak∈N(k=1 , 2 , ⋅⋅⋅ , 5)，且a6∈{4 , 6 , 8 , 10}，则符合这样条件的数列{an}共有　 　个．6(★★★) 在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：(写出必要的数学式，结果用数字作答)(1)三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？(2)四名男生相邻有多少种不同的排法？(3)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？(4)甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？(甲乙丙三位同学身高互不相等)(5)从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？(6)现在有7个座位连成一排，仅安排4个男生就坐，恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种？7 (★★★) 由0,1,2,3,4,5这六个数字．(1)能组成多少个无重复数字的四位数？(2)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(3)能组成多少个无重复数字且被25整除的四位数？(4)组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？8(★★★) 按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)5个不同的小球放入3个不同的盒子；(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子，恰有1个空盒．