人教A版高中数学必修第一册第5章5-6-15-6-2第1课时函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换课时学案

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5.6　函数y＝A sin (ωx＋φ)5.6.1　匀速圆周运动的数学模型5.6.2　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象第1课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换1．理解匀速圆周运动的数学模型．(数学建模)2．理解参数A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响．(直观想象)3．掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(逻辑推理)在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数．如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象．(1)　　　　　　　　　　(2)将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝A sin (ωx＋φ)与函数y＝sin x 有什么关系呢？知识点　A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响(1)φ对y＝sin (x＋φ)，x∈R图象的影响(2)ω(ω＞0)对y＝sin (ωx＋φ)图象的影响(3)A(A＞0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)y＝sin 3x的图象向左平移π4个单位长度所得图象的解析式是y＝sin 3x+π4． (　　)(2)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin 2x． (　　)(3)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝12sin x． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．函数y＝sin 2x-π4图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin 2x-π4的图象．[答案]　伸长　3 类型1　匀速圆周运动的数学模型【例1】　如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，射线OA为终边的角为α，则点A的坐标是________，从A点出发，以恒定的角速度ω逆时针转动，经过t秒转动到点B(x，y)，点B在y轴上的投影为点C，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系为________．rcosα，rsinα　y＝r sin (ωt＋α)(t≥0)[设A(x0，y0)，则x0r＝cos α，y0r＝sin α，所以x0＝r cos α，y0＝r sin α，即Arcosα，rsinα．经过t秒，以射线OB为终边的角为ωt＋α，则Brcosωt+α，rsinωt+α，所以点C的纵坐标y与时间t的函数关系为y＝r sin (ωt＋α)(t≥0)．]　匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型函数，求解时注意结合正弦函数的定义．[跟进训练]1．已知以原点O为圆心的单位圆上有一质点P，它从初始位置P012，32开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s做圆周运动．则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系为(　　)A．y＝sin t+π3，t≥0B．y＝sin t+π6，t≥0C．y＝cos t+π3，t≥0D．y＝cos t+π6，t≥0A　[当时间为t时，点P所在角的终边对应的角等于t＋π3，所以点P的纵坐标y关于时间t的函数关系为y＝sin t+π3，t≥0．] 类型2　平移变换【例2】　(1)将函数y＝sin x的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是(　　)A．y＝sin x-π4＋2 B．y＝sin x+π4－2C．y＝sin x-π4－2 D．y＝sin x+π4＋2(2)(2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin 3x+π5图象上所有的点(　　)A．向左平移π5个单位长度 B．向右平移π5个单位长度C．向左平移π15个单位长度 D．向右平移π15个单位长度(1)D　(2)D　[(1)向左平移π4个单位长度得y＝sin x+π4，再向上平移2个单位长度得y＝sin x+π4＋2，故选D．(2)因为y＝2sin 3x＝2sin 3x-π15+π5，所以把函数y＝2sin 3x+π5图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数y＝2sin 3x的图象．故选D．]　图象平移变换的方法(1)确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．(2)当x的系数是1时，若φ＞0，则左移φ个单位长度；若φ＜0，则右移|φ|个单位长度．(3)当x的系数是ω(ω＞0)时，若φ＞0，则左移φω个单位长度；若φ＜0，则右移φω个单位长度．[跟进训练]2．为了得到y＝sin x+π3的图象，只需将函数y＝cos x的图象向右平移__________个单位长度．π6　[y＝sin x+π3＝cos π2-x+π3＝cos π6-x＝cos x-π6，只需把y＝cos x的图象向右平移π6个单位长度即得到y＝sin x+π3．] 类型3　伸缩变换【例3】　已知函数y＝12sin 2x+π6，该函数的图象可由y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到？(至少用两种不同的方法)思路导引：先平移后伸缩还是先伸缩后平移．[解]　法一(先平移后伸缩)：①把函数y＝sin x的图象向左平移π6个单位长度，可以得到函数y＝sin x+π6的图象；②把函数y＝sin x+π6的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可以得到函数y＝sin 2x+π6的图象；③把函数y＝sin 2x+π6的图象上各点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可以得到函数y＝12sin 2x+π6的图象．法二(先伸缩后平移)：①把函数y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，而纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象；②把函数y＝sin 2x的图象向左平移π12个单位长度，可以得到函数y＝sin 2x+π6的图象；③把函数y＝sin 2x+π6的图象上各点的纵坐标缩短到原来的12，而横坐标不变，可以得到函数y＝12sin 2x+π6的图象．　三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点：(1)两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和φω，但平移方向是一致的．(2)虽然两种平移单位长度不同，但平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的．[跟进训练]3．把函数y＝f (x)的图象上各点向右平移π6个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23，所得图象的解析式是y＝2sin 12x+π3，则f (x)的解析式是(　　)A．f (x)＝3cos x B．f (x)＝3sin xC．f (x)＝3cos x＋3 D．f (x)＝sin 3xA　[y＝2sin 12x+π3纵坐标伸长 到原来的32倍 y＝3sin 12x+π3横坐标缩短 到原来的12 y＝3sin x+π3向左平移π6个 单位长度 y＝3sin x+π6+π3＝3sin x+π2＝3cos x．故选A．]1．(2022·北京通州期末)将函数y＝sin x的图象C向左平移π6个单位长度得到曲线C1，然后再使曲线C1上各点的横坐标变为原来的13得到曲线C2，最后再把曲线C2上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线C3，则曲线C3对应的函数是(　　)A．y＝2sin 3x-π6 B．y＝2sin 3x-π6C．y＝2sin 3x+π6 D．y＝2sin 3x+π6C　[由题得C1：y＝sin x+π6，所以C2：y＝sin 3x+π6，得到C3：y＝2sin 3x+π6．故选C．]2．为了得到函数y＝4sin 12x-π6，x∈R的图象，只需将函数y＝4sin x-π6，x∈R的图象上所有点的(　　)A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变A　[函数y＝4sin x-π6的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝4sin 12x-π6的图象．]3．(2022·河南新乡一中月考)已知P是半径为3 cm的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为π2 rad/s．如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系xOy，若∠P0Ox＝π3，则点P到x轴的距离d关于时间t(单位：s)的函数关系为(　　)A．d＝3sin 4t+π3 B．d＝3sin π2t+π3C．d＝3sin 4t-π3 D．d＝3sin π2t-π3D　[由题意可知，经过t秒后，点P在角π2t－π3的终边上，由三角函数定义可知，点P到x轴的距离d＝3sin π2t-π3．故选D．]4．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为________．12　[函数y＝cos x纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍y＝cos 12x．所以ω＝12．]回顾本节知识，自主完成以下问题：你能描述一下由y＝sin x的图象，通过图象变换得到函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种不同的变换途径吗？[提示]　(1)y＝sin x 向左右平移φ个单位长度 y＝sin (x＋φ) 横坐标变为原来1ω倍 y＝sin (ωx＋φ) 纵坐标变为原来的A倍 y＝A sin (ωx＋φ)．(2)y＝sin x 横坐标变为原来的1ω倍 y＝sin ωx 向左右平移φω个单位长度 y＝sin ωx+φω＝sin (ωx＋φ) 纵坐标变为原来的A倍 y＝A sin (ωx＋φ)．课时分层作业(五十八)　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换一、选择题1．将函数y＝sin x图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的解析式为(　　)A．y＝sin 2x-π10 B．y＝sin 2x-π5C．y＝sin 12x-π10 D．y＝sin 12x-π20C　[将函数y＝sin x图象上所有的点向右平移π10个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin x-π10，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的解析式为y＝sin 12x-π10．故选C．]2．为了得到函数y＝sin 2x+π6的图象，可以将函数y＝sin 2x+π3的图象(　　)A．向左平移π12个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向右平移π6个单位长度B　[函数y＝sin 2x+π3＝sin 2x+π6，所以将y＝sin 2x+π3＝sin 2x+π6的图象向右平移π12个单位长度，可得函数y＝sin 2x+π6-π12＝sin 2x+π6的图象．]3．(2021·全国乙卷)把函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sin x-π4的图象，则f (x)＝(　　)A．sin x2-7π12 B．sin x2+π12C．sin 2x-7π12 D．sin 2x+π12B　[依题意，将y＝sin x-π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x)的图象，所以y＝sin x-π4 将其图象向左平移π3个单位长度 y＝sin x+π12的图象 所有点的横坐标扩大到原来的2倍 f (x)＝sin x2+π12的图象．]4．(多选)下列四种变换方式，其中能将y＝sin x的图象变为y＝sin 2x+π4的图象的是(　　)A．向左平移π4个单位长度，再将横坐标缩短为原来的12B．横坐标缩短为原来的12，再向左平移π8个单位长度C．横坐标缩短为原来的12，再向左平移π4个单位长度D．向左平移π8个单位长度，再将横坐标缩短为原来的12AB　[对于A，将y＝sin x的图象向左平移π4个单位长度，可得函数y＝sin x+π4的图象，再将横坐标缩短为原来的12，可得y＝sin 2x+π4的图象，故A正确；对于B，将y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，可得y＝sin 2x的图象，再向左平移π8个单位长度，可得y＝sin 2x+π4的图象，故B正确；对于C，将y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，可得y＝sin 2x的图象，再向左平移π4个单位长度，可得y＝sin 2x+π4＝cos 2x的图象，故C错误；对于D，将y＝sin x的图象向左平移π8个单位长度，可得y＝sin x+π8的图象，再将横坐标缩短为原来的12，可得y＝sin 2x+π8的图象，故D错误．]5．(多选)函数f (x)＝sin (ωx＋φ)的图象上的所有点向左平移π2个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值可能是(　　)A．4　　　B．6　　　C．8　　　D．12ACD　[y＝f (x)的图象向左平移π2后得到y＝sin ωx+π2+φ＝sin ωx+π2ω+φ，其图象与原图象重合，则有π2ω＝2kπ(k∈Z)，即ω＝4k(k∈Z)，故选ACD．]二、填空题6．将函数y＝sin x的图象向左平移φ(0≤φ0)个单位长度，得到函数g(x)＝2sin 2x-π3的图象，则m的最小值是________．17π24　[把函数f (x)＝2cos 2x-π4的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得到g(x)＝2cos 2x+m-π4＝2cos 2x+2m-π4的图象，又g(x)＝2sin 2x-π3＝2cos π2-2x-π3＝2cos 5π6-2x＝2cos 2x-5π6，所以2m－π4＝－5π6＋2kπ，k∈Z，得m＝－7π24＋kπ，k∈Z，因为m>0，所以当k＝1时，m最小，此时m＝π－7π24＝17π24．]14．已知函数f (x)＝3sin (2x＋φ)φ∈0，π2，其图象向左平移π6个单位长度后，关于y轴对称．(1)求函数f (x)的解析式；(2)说明其图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．[解]　(1)将函数f (x)＝3sin (2x＋φ)图象上的所有点向左平移π6个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝3sin 2x+π6+φ＝3sin 2x+π3+φ．因为图象平移后关于y轴对称，所以2×0＋π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，所以φ＝kπ＋π6(k∈Z)，因为φ∈0，π2，所以φ＝π6．所以f (x)＝3sin 2x+π6．(2)将函数y＝sin x的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝sin x+π6，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得函数y＝sin 2x+π6的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y＝3sin 2x+π6的图象．15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图1)．因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如图2)．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画盛水筒(视为质点)的运动规律，将筒车抽象为一个几何图形，建立直角坐标系(如图3)，设经过t秒后，筒车上的某个盛水筒M从点P0运动到点P，由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H(单位：m)，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω(单位：rad/s)，盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t(单位：s)．已知r＝3 m，h＝2 m，筒车每分钟转动(按逆时针方向)1.5圈，点P0距离水面的高度为3.5 m，若盛水筒M从点P0开始计算时间，若将点P距离水面的高度H表示为时间t的函数，求此函数表达式．图1　　　　　　图2　　　　　　图3[解]　过P0向x轴作垂线，垂足为A，则P0A＝3.5－2＝1.5＝12r, ∴∠P0OA＝π6，筒车的角速度ω＝1.5×2π60＝π20，∴H＝3sin π20t+π6＋2(t≥0)．