人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念导学案

同角三角函数的基本关系

因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系．我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系．如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点．

[问题]　你能根据图形推导出同角三角函数的关系式吗？

知识点　同角三角函数的基本关系

基本关系式的变形公式

sin2α＋cos2α＝1⇒

tan α＝⇒ 　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)对∀x∈R，sin24x＋cos24x＝1.(　　)

(2)对∀x∈R，tan x＝.(　　)

(3)若cos α＝0，则sin α＝1.(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×

2．化简 的结果是(　　)

A．cos　　　　　　 B．－cos

C．sin  D．－sin

答案：A

3．已知cos α＝－，α∈，则tan α＝________．

答案：

4．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于________．

答案：1

角度一　已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值

[例1]　(链接教科书第183页例6)(1)已知sin α＝，求cos α，tan α 的值；

(2)已知α∈，tan α＝2，求cos α的值．

[解]　(1)∵sin α＝＞0，∴α是第一或第二象限角．

当α为第一象限角时，cos α＝＝＝，tan α＝＝；

当α为第二象限角时，cos α＝－，tan α＝－.

(2)由已知得

由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，

∴cos2α＝，又α∈ ，∴cos  α＜0，

∴cos α＝－.

求三角函数值的方法

(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解：

(2)已知tan θ求sin  θ(或cos θ)常用以下方法求解：

[注意]　当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．　　　　

角度二　已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值

[例2]　已知tan α＝2.

(1)求的值；

(2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值.  

[解]　(1)法一(代入法)：∵tan α＝2，

∴＝2，∴sin α＝2cos α.

∴＝＝－.

法二(弦化切)：∵tan α＝2.

∴＝＝＝＝－.

(2)2sin2α－sin αcos α＋cos2α

＝

＝＝＝.

已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法

(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值；

(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．　　　　

[跟踪训练]

1．已知tan α＝－，<α<π，则sin α＝(　　)

A.　　　　　　　 B．－

C．－  D.

解析：选D　由tan α＝＝－，得cos α＝－2sin α.

又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝.

因为<α<π，所以sin α＝.故选D.

2．已知＝，求下列各式的值：

(1)；

(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ.

解：∵＝，

∴＝，解得tan θ＝2.

(1)原式＝＝＝1.

(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ

＝

＝＝－.

[例3]　已知sin α＋cos α＝－，0＜α＜π.

(1)求sin αcos α的值；

(2)求sin α－cos α的值．

[解]　(1)由sin α＋cos α＝－得(sin α＋cos α)2＝，

sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，sin αcos α＝－.

(2)因为0＜α＜π，sin αcos α＜0，

所以sin α＞0，cos α＜0⇒sin α－cos α＞0.

(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，

所以sin α－cos α＝.

sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.

[注意]　求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．　　　　

[跟踪训练]

1．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于(　　)

A.　　 B．－　　　

C．－　　 D.

解析：选C　由已知得(sin α－cos α)2＝，

即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，

又sin2α＋cos2α＝1，

∴1－2sin αcos α＝，

∴sin αcos α＝－.故选C.

2．若0<θ<π，sin θcos θ＝－，求sin θ－cos θ.

解：∵0<θ<π，sin θcos θ＝－<0，

∴sin θ>0，cos θ<0.∴sin θ－cos θ>0.

∴sin θ－cos θ＝＝＝＝ ＝.

角度一　三角函数式的化简

[例4]　(链接教科书第184页练习4题)化简－.

[解]　－

＝

＝＝＝－2tan2α.

三角函数式的化简技巧

(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；

(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；

(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．　　　　

角度二　三角恒等式的证明

[例5]　求证：＝.

[证明]　法一：左边＝

＝＝＝＝右边．

所以等式成立．

法二：右边＝＝

＝

＝＝左边．

所以等式成立．

证明三角恒等式常用的方法

(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；

(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；

(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；

(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等；

(5)比较法，即设法证明“左边—右边＝0”或“＝1”．　　　　

[跟踪训练]

1．化简：＋(1＋tan2α)cos2α.

解：原式＝＋cos2α

＝＋·cos2α＝1＋1＝2.

2．求证：＝.

证明：∵右边＝

＝

＝

＝＝＝左边，

∴原等式成立．

1．已知sin  θ＝，θ∈，则tan θ＝(　　)

A．－2  B．－

C．－  D．－

解析：选D　∵sin θ＝，θ∈，

∴cos θ＝－＝－，

∴tan θ＝＝＝－.

2．化简：＝________．

解析：原式＝

＝ ＝|cos 40°－sin 40°|

＝cos 40°－sin 40°.

答案：cos 40°－sin 40°

3．化简：(1－cos α)．

解：(1－cos α)

＝(1－cos α)

＝·(1－cos α)

＝＝＝sin α.