第五章 -5.2.2同角三角函数的基本关系（课件PPT）

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5.2三角函数的概念第五章5.2.1 同角三角函数的基本关系学习目标1.理解同角三角函数的两个基本关系： .2.会利用这个基本关系解决较简单的求值、化简、恒等式证明等有关问题.核心素养：数学运算、逻辑推理新知学习教材引入&任意角的三角函数定义【导入】因为三个三角函数都是由角的终边与单位圆的交点确定的，所以它们之间 必然有内在的关系.如图，设点P 是角α的终边与单位圆的交点，过P 作 轴的垂线，交 轴与M，则△OMP是直角三角形，且OP=1，由勾股定理有也就是说，同一个角α的正弦余弦的平方和等于1，商等于正切.      OM2+MP2=1，即 ，也就是    显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立.根据三角函数的定义，当 时，有：  教材引入&任意角的三角函数定义  这两个公式称为同角三角函数的基本关系.★ 基本关系成立的前提是“同角”，它揭示了同角而不同名的三角函数关系，但 并不是不同的角这两个关系一定不成立，sin230°+cos2150°=1也成立，不过这 种关系不具有一般性. ★ “同角”指的是广义上的，与表达形式无关，30°和30°是同角，α和α也是同角★ sin2α是(sinα)2的缩写，读作“sinα的平方”，不能写成sinα2★ 等价变形：   知 一求 二基本关系的应用【例1】已知 ，求 ， 的值.   【解】因为 ，所以α是第三或者第四象限角. 由 ，得 ，则 或   若α是第三象限角，则 ,所以  若α是第四象限角，则 ,所以  基本关系的应用【例2】求证：【证法一】由 知 ，所以 ，于是    【证法二】因为 且 ， 所以 基本关系的应用【例3】已知 ，α为第三象限角，求 ， 的值.   【解】由 ，得 ，则 或   又因为α是第三象限角，则 ,所以所以   基本关系的应用【例4】化简：【解】      基本关系的应用【例5】求证：【证明】    左边=右边，得证【题型1】利用弦切互化求值.【例6】已知 ，求下列各式的值. 【解】由 ，得       即时巩固【题型2】与 有关的求值.【例7】已知 ，求下列各式的值.【解】            即时巩固【题型3】利用同角三角函数关系式证明恒等式.【例8】已知 ，求证：【证明】由 ，可得     即 ,也就是   整理得： ，即  展开得： ，即  即时巩固【例9】化简： 【解】原式=     所以原式= 即时巩固 【证明】由题意可知 ，   所以sinA＞0，cosA＜0 联立①②解得：  所以 即时巩固随堂小测√证明　方法一　(比较法——作差)方法二　(比较法——作商)课堂小结1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值.3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.谢 谢！